Incertitude de mesure : comprendre ± et comparer une référence

Nablio · 6 questionsPublié le 11 octobre 2026

Un résultat comme $g=(9{,}6\pm0{,}3)\,\mathrm{m/s^2}$ contient deux nombres qui jouent des rôles différents. Le premier est une estimation. Le second décrit son incertitude selon une convention à préciser. Avant de comparer le résultat à une référence, vérifiez cette convention.

Avant de commencer : maîtrisez les unités, les pourcentages, les racines carrées et les substitutions simples. Le cœur de la leçon ne demande pas de calcul différentiel; une démonstration facultative explique la formule de propagation.

Objectif : expliquer une mesure, distinguer son incertitude d’un écart avec une référence et propager l’incertitude à l’aide d’un modèle approprié. Les données et exercices sont des exemples pédagogiques originaux, et non un rapport de laboratoire évalué.

1. Comprendre le sens de ±

Notons $x$ une valeur estimée par mesure. Une incertitude absolue s’exprime dans la même unité que $x$ . Le mot « absolue » décrit les unités; il ne garantit pas que l’incertitude soit une borne.

Incertitude-type $u(x)$ : une incertitude exprimée comme un écart-type estimé.
Incertitude élargie $U$ : $U=k\,u_c$ , où $u_c$ est l’incertitude-type composée et $k$ , le facteur d’élargissement indiqué. Une probabilité de couverture exige d’autres hypothèses.
Borne indiquée $b$ : un exercice peut plutôt supposer que la valeur appartient à $[x-b,x+b]$ . Cette borne n’est pas automatiquement une incertitude-type.

Le symbole ± ne précise pas à lui seul quelle interprétation utiliser. Consultez les consignes du laboratoire, les caractéristiques de l’instrument ou l’énoncé d’incertitude. On ne peut pas déduire un niveau de confiance de ce seul symbole. Même si ± désigne une incertitude-type, l’interprétation « environ 68 % » exige un modèle approximativement normal approprié et une estimation fiable de l’incertitude.

Pour une estimation non nulle, l’incertitude-type relative compare l’incertitude à la valeur absolue de l’estimation :

$u_r(x)=\frac{u(x)}{|x|}.$

Multipliez par 100 pour l’exprimer en pourcentage. Ce rapport n’a pas d’unité. À $x=0$ , cette forme relative est indéfinie; utilisez une incertitude absolue.

2. Comparer une mesure à une référence

Une mesure de l’accélération gravitationnelle

Dans cet exemple, posons $g_m=9{,}6\,\mathrm{m/s^2}$ et $u(g_m)=0{,}3\,\mathrm{m/s^2}$ . Ainsi, dans $g=(9{,}6\pm0{,}3)\,\mathrm{m/s^2}$ , ± indique une incertitude-type. Utilisez la référence fournie $g_{\mathrm{ref}}=9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$ , dont l’incertitude est supposée négligeable ici. Il s’agit d’une valeur de comparaison donnée, et non d’une affirmation que la gravité est identique partout.

Différence signée : $g_m-g_{\mathrm{ref}}=-0{,}2\,\mathrm{m/s^2}$ . L’estimation mesurée est plus faible.
Écart absolu : $|g_m-g_{\mathrm{ref}}|=0{,}2\,\mathrm{m/s^2}$ .
Erreur en pourcentage par rapport à cette référence : $100|g_m-g_{\mathrm{ref}}|/|g_{\mathrm{ref}}|\approx2{,}04\%$ . Le dénominateur est la référence.
Incertitude-type relative : $100u(g_m)/|g_m|=3{,}125\%$ , soit environ $3{,}1\%$ . Le dénominateur est l’estimation mesurée.

L’intervalle à une incertitude-type est $[9{,}3;9{,}9]\,\mathrm{m/s^2}$ ; il contient 9,8. L’écart représente environ $0{,}67$ incertitude-type :

$\frac{|g_m-g_{\mathrm{ref}}|}{u(g_m)}=\frac{0{,}2}{0{,}3}\approx0{,}67.$

Interprétation : la référence appartient à l’intervalle ± indiqué. Cette observation ne prouve pas que la mesure est correcte, que tous les effets systématiques sont inclus ou qu’un niveau de confiance particulier s’applique. Un test formel d’accord exige un modèle et une règle de décision définis.

Dans les exercices d’introduction, « erreur en pourcentage » désigne souvent le calcul relatif à la référence ci-dessus. Il s’agit d’une comparaison avec la référence fournie, et non d’une mesure de l’erreur vraie inconnue. Ce calcul est indéfini pour une référence nulle. Une petite erreur en pourcentage ne démontre pas une faible incertitude : une estimation peut se trouver près de la référence par hasard.

Pour aller plus loin : une référence incertaine

Définissons la différence signée $\Delta g=g_m-g_{\mathrm{ref}}$ . Si la référence possède elle-même une incertitude-type $u(g_{\mathrm{ref}})$ , et si les deux estimations sont indépendantes, l’incertitude-type de leur différence est :

$u(\Delta g)=\sqrt{u(g_m)^2+u(g_{\mathrm{ref}})^2}.$

Comparez $|\Delta g|$ à $u(\Delta g)$ plutôt que d’ignorer l’incertitude de la référence. Une corrélation modifie cette expression. Le chevauchement des barres d’erreur ne constitue pas, à lui seul, un test statistique universel.

3. Repérer les sources d’incertitude

Commencez par examiner la méthode de mesure. Des lectures répétées révèlent la dispersion, mais pas tous les effets. Une règle dont le zéro est décalé peut produire des lectures très rapprochées qui partagent toutes le même décalage. Corrigez un décalage connu lorsque c’est approprié et tenez compte de l’incertitude de la correction.

Pour des mesures répétées indépendantes dans des conditions stables, la moyenne de l’échantillon estime la grandeur. L’écart-type de l’échantillon $s$ décrit la dispersion des lectures individuelles. La contribution de cette dispersion à l’incertitude-type de la moyenne est $s/\sqrt n$ , où $n$ est le nombre de lectures. Ce n’est pas automatiquement l’incertitude totale. La répétition n’élimine pas un décalage d’étalonnage commun.

Le pas d’affichage d’un instrument apporte de l’information, mais ne représente pas automatiquement son incertitude totale. Par exemple, si l’arrondi est le seul effet et si son erreur suit un modèle uniforme entre $-q/2$ et $+q/2$ , un pas d’affichage $q$ contribue une incertitude-type $q/\sqrt{12}$ . D’autres caractéristiques ou un autre modèle peuvent donner un résultat différent.

Présentation du résultat : gardez des chiffres supplémentaires pendant les calculs, puis arrondissez ensemble l’incertitude et l’estimation. Dans cette leçon, les incertitudes calculées sont données avec deux chiffres significatifs, et l’estimation est arrondie au même rang décimal. Suivez une autre convention si votre laboratoire l’exige. L’arrondi présente le calcul; il n’établit pas l’exactitude de l’instrument.

4. Propager les incertitudes-types

Un chariot parcourt une distance mesurée $d=1{,}20\,\mathrm m$ pendant une durée mesurée $t=0{,}80\,\mathrm s$ . Les incertitudes-types sont $u(d)=0{,}02\,\mathrm m$ et $u(t)=0{,}01\,\mathrm s$ . Ces données sont indépendantes, leurs incertitudes relatives sont petites, et le modèle de mesure est $v=d/t$ . Ici, $v$ désigne la vitesse scalaire moyenne sur cette distance. Les autres effets sont supposés négligeables dans cet exemple pédagogique.

Calculer l’estimation, puis son incertitude

$v=\frac{1{,}20}{0{,}80}=1{,}50\,\mathrm{m/s}.$

Pour des données indépendantes, la propagation au premier ordre donne :

$\begin{gathered}\frac{u(v)}{|v|}\approx\\ \sqrt{\left(\frac{u(d)}d\right)^2+\left(\frac{u(t)}t\right)^2}.\end{gathered}$

$\begin{gathered}\frac{u(v)}{|v|}\approx\\ \sqrt{\left(\frac{0{,}02}{1{,}20}\right)^2+\left(\frac{0{,}01}{0{,}80}\right)^2}\\ =0{,}020833\ldots\end{gathered}$

$\begin{gathered}u(v)\approx1{,}50(0{,}020833\ldots)\\ =0{,}03125\,\mathrm{m/s}.\end{gathered}$

Selon notre convention de présentation, écrivez $v=(1{,}500\pm0{,}031)\,\mathrm{m/s}$ , où ± indique l’incertitude-type composée issue de ce modèle au premier ordre. La valeur affichée 1,500 s’aligne sur le rang décimal de l’incertitude; elle n’indique pas une mesure exacte.

Pourquoi additionner les carrés des contributions relatives?

Pour $v=d/t$ , les coefficients de sensibilité sont $\partial v/\partial d=1/t$ et $\partial v/\partial t=-d/t^2$ . Si la covariance est nulle :

$\begin{aligned}u(v)^2&\approx\left(\frac1t\right)^2u(d)^2\\ &\quad+\left(\frac d{t^2}\right)^2u(t)^2.\end{aligned}$

La division par $v^2=d^2/t^2$ donne la formule relative. Le signe négatif disparaît avec le carré. Si les données sont corrélées, l’expression de la variance contient aussi $2(1/t)(-d/t^2)\operatorname{cov}(d,t)$ ; ne supprimez pas ce terme sans justification.

Pour aller plus loin : puissances et produits

Pour une constante exacte $C$ et des données indépendantes dans $y=Cx^az^b$ , la propagation au premier ordre donne $u(y)/|y|\approx\sqrt{a^2[u(x)/x]^2+b^2[u(z)/z]^2}$ , si les données et le résultat sont non nuls et si le modèle est régulier dans la plage pertinente. Les exposants multiplient les contributions relatives. Si une constante est mesurée plutôt qu’exacte, incluez aussi son incertitude. De grandes incertitudes, une forte non-linéarité ou un dénominateur proche de zéro demandent une analyse plus poussée.

5. Utiliser les bornes fournies

Changeons maintenant les hypothèses : les mêmes valeurs numériques ± désignent des bornes, avec $d\in[1{,}18;1{,}22]\,\mathrm m$ et $t\in[0{,}79;0{,}81]\,\mathrm s$ . Toutes les combinaisons de ces intervalles sont supposées possibles. Les deux grandeurs étant positives, la vitesse est minimale pour la plus petite distance et la plus grande durée, et maximale pour la plus grande distance et la plus petite durée :

$v_{\min}=\frac{1{,}18}{0{,}81}\approx1{,}45679\,\mathrm{m/s}.$

$v_{\max}=\frac{1{,}22}{0{,}79}\approx1{,}54430\,\mathrm{m/s}.$

Un intervalle englobant, arrondi vers l’extérieur, est $[1{,}456;1{,}545]\,\mathrm{m/s}$ . Ce n’est pas le résultat ±0,031 obtenu avec des incertitudes-types. Le sens des données a changé, donc le calcul aussi. Une somme des contributions absolues au premier ordre peut approximer une borne du pire cas, mais le calcul aux extrémités donne ici la plage réelle selon le modèle d’intervalles indiqué.

6. Essayer six exercices

Identifiez la convention d’incertitude avant de calculer. Chaque exercice ajoute une décision.

1. Quelle information manque?

Une étiquette indique $L=(20{,}0\pm0{,}2)\,\mathrm{cm}$ , sans autre explication. Trouvez les extrémités de l’intervalle et indiquez ce que vous ne pouvez pas déduire.

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Le calcul donne les extrémités. Le symbole ne détermine pas la couverture.

Voir la solution expliquée

L’intervalle affiché va de 19,8 à 20,2 cm. On ignore si 0,2 cm est une incertitude-type, une incertitude élargie ou une borne. On ne peut pas lui attribuer un niveau de confiance. Demandez la définition de l’incertitude, la méthode et tout facteur d’élargissement utilisé.

2. Choisir le dénominateur

Une estimation vaut $4{,}80\,\mathrm s$ , son incertitude-type vaut $0{,}12\,\mathrm s$ , et une référence fournie vaut $5{,}00\,\mathrm s$ . Calculez l’écart absolu, l’erreur en pourcentage par rapport à la référence et l’incertitude-type relative.

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Les deux pourcentages utilisent des dénominateurs différents.

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L’écart absolu vaut $|4{,}80-5{,}00|=0{,}20\,\mathrm s$ . L’erreur en pourcentage vaut $100(0{,}20/5{,}00)=4{,}0\%$ . L’incertitude-type relative vaut $100(0{,}12/4{,}80)=2{,}5\%$ . Ces valeurs ne sont pas interchangeables.

3. Inclure l’incertitude de la référence

Reprenez l’exemple de gravité, mais attribuez maintenant à la référence indépendante une incertitude-type de $0{,}4\,\mathrm{m/s^2}$ . Trouvez l’incertitude-type de la différence et le rapport entre l’écart absolu et cette incertitude.

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Combinez les incertitudes-types en quadrature avant de former le rapport.

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$u(\Delta g)=\sqrt{0{,}3^2+0{,}4^2}=0{,}50\,\mathrm{m/s^2}$ . Le rapport vaut $0{,}2/0{,}5=0{,}4$ . L’écart est inférieur à une incertitude-type de la différence. Aucun niveau de confiance ni critère formel d’acceptation n’a été fourni.

4. Répéter élimine-t-il toute incertitude?

Pour 16 lectures indépendantes dans des conditions stables, $s=0{,}08\,\mathrm s$ . Trouvez la contribution de la dispersion à l’incertitude-type de la moyenne. Des lectures supplémentaires élimineraient-elles un décalage temporel commun inconnu?

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Distinguez la dispersion des lectures individuelles de l’incertitude sur leur moyenne.

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$u_{\mathrm{dispersion}}(\bar t)=0{,}08/\sqrt{16}=0{,}020\,\mathrm s$ . La moyenne ne réduit pas un décalage commun. Examinez la méthode de chronométrage ou l’étalonnage et incluez la contribution pertinente; 0,020 s peut ne pas représenter l’incertitude totale.

5. Une puissance dans le modèle de mesure

Le côté d’un carré vaut $L=0{,}500\,\mathrm m$ , avec une incertitude-type $u(L)=0{,}005\,\mathrm m$ . Utilisez la propagation au premier ordre pour $A=L^2$ , en supposant qu’il s’agit de la seule source d’incertitude. Présentez le résultat avec deux chiffres significatifs dans l’incertitude.

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Les deux occurrences de $L$ sont la même donnée mesurée, pas deux mesures indépendantes.

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$A=0{,}250\,\mathrm{m^2}$ . L’incertitude-type relative vaut $2u(L)/L=0{,}020$ , donc $u(A)\approx0{,}0050\,\mathrm{m^2}$ . Écrivez $A=(0{,}2500\pm0{,}0050)\,\mathrm{m^2}$ , où ± désigne l’incertitude-type. Traiter $L\times L$ comme deux données indépendantes donnerait à tort un facteur $\sqrt2$ plutôt que 2.

6. Borner une différence

Supposez $A\in[9{,}8;10{,}2]\,\mathrm{cm}$ et $B\in[6{,}9;7{,}1]\,\mathrm{cm}$ , toutes les combinaisons étant possibles. Trouvez l’intervalle exact de $A-B$ . Pourquoi la somme en quadrature ne convient-elle pas aux bornes fournies?

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Soustrayez le plus grand B du plus petit A pour obtenir le minimum.

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Le minimum vaut $9{,}8-7{,}1=2{,}7\,\mathrm{cm}$ ; le maximum vaut $10{,}2-6{,}9=3{,}3\,\mathrm{cm}$ . Ainsi, $A-B\in[2{,}7;3{,}3]\,\mathrm{cm}$ , soit un centre de 3,0 cm avec une borne ±0,3 cm. Les demi-largeurs fournies sont des bornes, et non des incertitudes-types associées à un modèle probabiliste de données indépendantes.

7. Choisir la prochaine étape

Avant de présenter un résultat, vérifiez : quelle grandeur ai-je estimée? Que signifie ±? Les unités sont-elles compatibles? Quelles hypothèses justifient ma règle de propagation? Quelle comparaison ma conclusion permet-elle réellement?

Pour une application en mécanique, reprenez les graphiques du mouvement et la cinématique. Pour interpréter la pente d’une droite, essayez la leçon sur les points, la pente et les graphiques de droites. Une pente issue de données mesurées peut aussi avoir une incertitude; cette leçon ne traite pas de l’incertitude d’un ajustement linéaire.

Pour du tutorat en physique, apportez la convention d’incertitude reçue et une étape que vous avez essayée. Nous pouvons travailler le choix du modèle, les unités et l’interprétation avec un nouvel exemple d’entraînement. Respectez les règles d’intégrité académique de votre cours pour les travaux évalués; votre analyse et votre rapport remis doivent rester les vôtres.

8. Références et portée de la leçon

Cette leçon indépendante, organisée par sujet, propose des exercices de mesure en physique d’introduction. Utilisez-la si l’incertitude de mesure apparaît dans les consignes actuelles de votre cours ou laboratoire. Elle n’établit pas le programme ni les exigences d’évaluation d’une section actuelle.

Les exemples et exercices ont été rédigés pour cette leçon. Les références appuient les conventions d’incertitude et leurs hypothèses.

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