Tutorat PHYS 245 · Concordia

La force est $F(x)=-U'(x)$. Les équilibres satisfont $U'(x_e)=0$, où $x_e$ désigne une position d’équilibre. Une dérivée seconde positive indique un minimum local strict du potentiel. Linéarisez la force à l’aide du déplacement $\xi=x-x_e$.

Comme $U'(x)=\alpha x^3-\beta x=x(\alpha x^2-\beta)$, les équilibres sont $x_e=0$ et $x_e=\pm\sqrt{\beta/\alpha}=\pm1\,\mathrm m$. On a aussi $U''(x)=3\alpha x^2-\beta$. En zéro, elle vaut $-4\,\mathrm{J/m^2}$ : c’est un maximum local, donc l’équilibre est instable. Aux deux autres équilibres, elle vaut $8\,\mathrm{J/m^2}$ : ce sont des minima locaux stricts et des équilibres stables.

Pour un petit $\xi$, gardez le terme linéaire de la force :

Les points désignent les dérivées temporelles et $\omega$ la pulsation. Le quotient a pour unité $\mathrm{s^{-2}}$, puisque $\mathrm{J/m^2}=\mathrm{kg/s^2}$. Il s’agit d’une approximation locale de petite amplitude; le potentiel quartique complet ne donne pas un mouvement exactement sinusoïdal à toute amplitude. Stable ne signifie pas que le mouvement s’arrête : sans amortissement, une oscillation voisine ne décroît pas.

Résoudre $U=0$ repérerait un niveau d’énergie arbitraire, pas les équilibres. Si $U''=0$, il faudrait poursuivre l’analyse au-delà de ce test.

On a désormais $U'(x)=x(\alpha x^2+2\,\mathrm{J/m^2})$. Seul $x_e=0$ est réel. À ce point, $U''=2\,\mathrm{J/m^2}>0$ : l’équilibre est stable et $\omega=\sqrt{2/2}=1\,\mathrm{rad/s}$. La paire d’équilibres extérieurs du modèle initial n’existe plus.