Tutorat MATH10600 · HEC Montréal

1. Écrire la fonction de profit. Notons $P(q)$ le profit en dollars. C’est le revenu moins le coût : $P(q)=R(q)-C(q)=-200+30q-0{,}5q^2$. Dans ce modèle, le coût fixe subsiste même si la production est nulle. 2. Trouver un maximum possible à l’intérieur de l’intervalle permis. Une apostrophe désigne une dérivée par rapport à la quantité produite. Le taux de variation du profit, appelé profit marginal, est $P'(q)=30-q$, en dollars par unité. L’équation $P'(q)=0$ donne $q=30$, qui appartient à l’intervalle admissible. La dérivée seconde est $P''(q)=-1$ : le graphique est strictement concave, donc courbé vers le bas partout. 3. Vérifier tout le domaine. Puisque le profit est continu sur un intervalle fermé, comparons le profit à la production candidate et aux deux extrémités : $P(0)=-200$, $P(30)=-200+900-450=250$ et $P(60)=-200$, en dollars. Le profit maximal est donc de $250$ dollars pour $30$ unités. À cette production, le revenu marginal $R'(q)=40$ égale le coût marginal $C'(q)=10+q=40$, tous deux exprimés en dollars par unité. 4. Appliquer la nouvelle contrainte. Avec une capacité de $20$, le domaine devient $[0,20]$, ce qui exclut la production trouvée précédemment. Sur tout cet intervalle, $P'(q)=30-q\ge10>0$ : le profit augmente avec la production. Le maximum se trouve donc à l’extrémité $q=20$, où $P(20)=-200+600-200=200$ dollars. Une dérivée nulle indique un maximum possible à l’intérieur de l’intervalle. Il faut encore vérifier que cette production est permise et comparer le profit aux extrémités.