Tutorat en calcul différentiel — Calculus I en ligne

Une dérivée nulle ne suffit pas

Considérez la fonction $f(x)=x^3$, où $x$ est réel. Sa dérivée $f^{\prime}(x)$ mesure son taux de variation local. En $x=0$, cette dérivée est nulle. La fonction possède-t-elle un maximum ou un minimum local à cet endroit?

Le raisonnement

La dérivation donne $f^{\prime}(x)=3x^2$. Cette dérivée est positive pour tout $x$ non nul, négatif ou positif : la fonction croît donc de chaque côté de zéro. Elle passe par $(0,0)$ sans changer de sens de variation. Zéro n’est donc ni un maximum ni un minimum local. Une dérivée nulle désigne un point à examiner; un changement de signe de la dérivée permet de repérer un extremum. En optimisation, vérifiez aussi les extrémités pertinentes et les points où la fonction est définie sans être dérivable.

Préparer votre séance

Apportez une question d’analyse de courbe ou d’optimisation, même si vous n’avez pas commencé. Si vous avez du travail à revoir, séparez le calcul de la dérivée de l’étude de son signe. Votre tuteur peut vous aider à expliquer le comportement de part et d’autre de chaque point candidat avant de conclure à un extremum.

Exemple original de Nablio, non tiré d’un examen universitaire. Votre plan de cours détermine la matière à travailler.