John Abbott · Sciences de la nature · 201-SNB-AB

Tutorat en calcul multivariable à John Abbott, 201-SNB-AB

Comprenez les dérivées partielles, les surfaces et les intégrales avec de l’aide individuelle. Essayez le court exemple de plan tangent ci-dessous ou apportez une question, même si vous ne savez pas par où commencer.

Demander une séance Essayer l’exemple résolu

Travailler avec plusieurs variables

Le cours 201-SNB-AB, Multivariate Calculus, relie la géométrie vectorielle à la dérivation et à l’intégration en plusieurs variables. L’exemple ci-dessous utilise les dérivées partielles pour estimer une valeur voisine sur une surface.

Cours à option au catalogue. Il n’est pas nécessairement offert chaque session.

Notions à travailler

Fonctions vectorielles : dérivées et intégrales
Dérivées partielles, dérivées directionnelles et gradient
Champs vectoriels, fonctions potentielles et intégrales curvilignes
Intégrales doubles et changements de variables, surtout en coordonnées polaires
Théorème de Green, rotationnel et divergence

Avant de calculer

Révisez la règle des puissances, le calcul de la valeur d’une fonction et les équations de plans. Pour une dérivée partielle, précisez quelle variable change et laquelle reste constante. Pour une approximation, distinguez les coordonnées de départ des petites variations de ces coordonnées.

Deux étapes à vérifier

Garder l’autre variable constante sans supprimer les termes qui dépendent encore de la variable de dérivation
Utiliser les variations de coordonnées dans la formule du plan tangent, puis distinguer valeur estimée et valeur exacte

Choisissez l’objet que vous étudiez

Une surface près d’un point : approximation par le plan tangent Recalculez les dérivées partielles au nouveau point de départ dans l’exercice à refaire.
Une région du plan : les bornes d’une intégrale double Dessinez la région et décidez quelle variable décrit chaque tranche.
Une courbe orientée : une intégrale curviligne Identifiez le trajet et son orientation avant de choisir l’intégrale.

Exemple résolu : passer des dérivées partielles au plan tangent

Soient $x,y$ des coordonnées réelles indépendantes sans unité et $f(x,y)=x^2+xy+2y^2$ . Le graphique $z=f(x,y)$ est une surface dont $z$ représente la hauteur. Trouvez le plan tangent au point $P=(1;-1;2)$ , puis utilisez-le pour estimer $f(1{,}02;-1{,}01)$ . Vérifiez l’estimation par un calcul direct.

Voir un indice

Calculez chaque dérivée partielle avant de remplacer les coordonnées par $(1;-1)$ . Le plan tangent passe par $P$ et utilise ces deux dérivées comme pentes dans les directions des axes. Multipliez les pentes par les variations des coordonnées depuis le point de départ.

Voir la solution expliquée

1. Garder une variable constante
Notons $f_x$ la dérivée par rapport à $x$ , en gardant $y$ constant, et $f_y$ la dérivée par rapport à $y$ , en gardant $x$ constant. Dans $f_x$ , le terme $xy$ donne $y$ , tandis que $2y^2$ donne zéro :
$f_x(x,y)=2x+y,\qquad f_y(x,y)=x+4y.$
Au point de départ, $f(1;-1)=2$ , $f_x(1;-1)=1$ et $f_y(1;-1)=-3$ . Dans la coupe où $y=-1$ , la surface a une pente de $1$ dans le sens positif de l’axe des $x$ . Dans la coupe où $x=1$ , elle a une pente de $-3$ dans le sens positif de l’axe des $y$ .
2. Construire un plan passant par le point de la surface
Cette fonction polynomiale est différentiable : ses dérivées partielles permettent donc une approximation par un plan tangent. Notons $L(x,y)$ la hauteur du plan. Partons de la hauteur $2$ , puis ajoutons chaque pente multipliée par la variation de la coordonnée correspondante :
$L(x,y)=2+1(x-1)-3(y+1).$
Le plan tangent a pour équation $z=L(x,y)$ . En $(1;-1)$ , les deux variations sont nulles et $L=2$ : le plan passe donc par $P$ . Près de ce point, $f(x,y)\approx L(x,y)$ .
3. Estimer, puis vérifier
Notons $\Delta x$ et $\Delta y$ les variations depuis $(1;-1)$ . Ici, $\Delta x=0{,}02$ et $\Delta y=-0{,}01$ . Les deux contributions du premier ordre à la variation de hauteur sont $0{,}02$ et $0{,}03$ : diminuer $y$ donne une contribution positive puisque la pente selon $y$ est négative.
$L(1{,}02;-1{,}01)=2+0{,}02-3(-0{,}01)=2{,}05.$
Pour vérifier, calculons la valeur de la fonction initiale :
$\begin{aligned}f(1{,}02;-1{,}01)&=(1{,}02)^2+(1{,}02)(-1{,}01)\\&\quad+2(-1{,}01)^2\\&=2{,}0504.\end{aligned}$
L’estimation est inférieure à la valeur exacte de $0{,}0004$ . Le plan donne la variation du premier ordre; la surface courbe comporte aussi des termes d’ordre supérieur. L’égalité en $P$ ne rend pas le plan exact à tous les points voisins.

À vous : déplacer le point de tangence

Gardez $f(x,y)=x^2+xy+2y^2$ , mais partez de $Q=(0;1;2)$ . (1) Calculez les deux dérivées partielles en $(0;1)$ . (2) Écrivez le nouveau plan tangent et utilisez-le pour estimer $f(0{,}01;0{,}98)$ . (3) Comparez avec un calcul direct : votre estimation est-elle trop grande ou trop petite?

Voir un indice

Les formules des dérivées restent les mêmes, mais leurs valeurs au nouveau point changent. Les variations de coordonnées sont $0{,}01-0$ et $0{,}98-1$ . Gardez le signe négatif de la seconde variation.

Vérifier les trois étapes

1. Recalculer les pentes
$f_x(0;1)=1,\qquad f_y(0;1)=4,\qquad f(0;1)=2.$
La pente selon $y$ est maintenant positive. Reprendre $-3$ du premier exemple donnerait le mauvais plan tangent.
2. Utiliser les nouvelles coordonnées de départ
Notons $L_Q(x,y)$ la hauteur du nouveau plan. Alors
$L_Q(x,y)=2+x+4(y-1).$
$L_Q(0{,}01;0{,}98)=2+0{,}01+4(-0{,}02)=1{,}93.$
Le plan prévoit une diminution de hauteur de $0{,}07$ . Une pente positive selon $y$ , combinée à une variation négative de $y$ , contribue à cette diminution.
3. Comparer avec la surface
$\begin{aligned}f(0{,}01;0{,}98)&=(0{,}01)^2+(0{,}01)(0{,}98)\\&\quad+2(0{,}98)^2\\&=1{,}9307.\end{aligned}$
L’estimation est inférieure à la valeur exacte de $0{,}0007$ . Vérifiez les deux dérivées partielles, le point de départ et les variations de coordonnées avant d’attribuer un écart à l’erreur d’approximation.

Si votre plan ne passe pas par le point de départ indiqué, vérifiez la hauteur de départ et les différences de coordonnées. Si seule l’estimation voisine est incorrecte, écrivez séparément $\Delta x$ et $\Delta y$ avant de remplacer les valeurs.

Quoi travailler avec un tuteur

Apportez une question, même si vous ne l’avez pas commencée. Vous pouvez choisir ensemble la première étape ou revoir ce que vous avez essayé. Votre tuteur peut vous aider à relier chaque dérivée partielle à une coupe de la surface, à construire un plan tangent passant par le bon point et à expliquer le signe de chaque contribution. Essayez ensuite un nouveau point sans recopier les anciennes pentes.

Pour une intégrale, votre tuteur peut vous aider à dessiner la région ou à paramétrer le trajet avant de calculer. Votre tuteur peut ensuite vérifier avec vous les bornes, l’orientation et les conditions d’utilisation d’une fonction potentielle ou du théorème de Green dans le problème étudié.

Choisir votre révision à partir du plan de cours

Choisissez des exercices parmi les notions annoncées pour votre évaluation. Pour une dérivée partielle, précisez quelle variable reste constante. Pour un plan tangent, vérifiez le point de départ et distinguez les variations de coordonnées des coordonnées elles-mêmes. Pour une intégrale, tracez la région ou le trajet et expliquez les bornes avant de calculer. Reprenez une mise en place incorrecte sans regarder la solution et respectez les règles de votre groupe concernant les outils permis et le travail évalué.

Pratique autonome

Poursuivre avec une leçon ciblée

6 questions

Intégrales doubles : régions et changement d’ordre

Dessinez une région, choisissez les bornes et exercez-vous à changer l’ordre d’intégration.

18 min

Intégrales curvilignes : suivre le trajet et son orientation

Paramétrez un trajet, vérifiez l’orientation et découvrez comment une fonction potentielle peut simplifier l’intégrale.

35 min

Choisir une méthode d’intégration

Révisez les méthodes d’intégration à une variable lorsque la mise en place est claire, mais que le calcul bloque.

Renseignements sur le cours

John Abbott : descriptions des cours de sciences

Avant de demander une séance

Puis-je demander du tutorat pour 201-SNB-AB?

Oui. Dites-nous que vous suivez Multivariate Calculus à John Abbott, la notion à travailler et quelques disponibilités. Nous confirmons la disponibilité du tuteur, les détails de la séance et le prix avant le paiement.

Dois-je connaître mon code de cours?

Non. Le collège, le nom du cours et la notion suffisent pour commencer. Ajoutez le code si vous l’avez.

Que dois-je apporter?

Apportez votre plan de cours actuel et une question que vous avez le droit de partager, si vous les avez. Vous pouvez demander de l’aide pour commencer ou montrer ce que vous avez essayé et l’étape que vous voulez comprendre.

Comment les séances se déroulent-elles?

Les séances se déroulent actuellement en anglais, en ligne sur Zoom ou Google Meet.

Nablio fait-il partie de John Abbott?

Nablio offre du tutorat indépendant et n’est ni affilié à John Abbott College ni approuvé par cet établissement.

Demander de l’aide pour votre question

Indiquez la notion et vos disponibilités. Vous pouvez joindre une question ou ce que vous avez commencé. Ajoutez votre code de cours si vous l’avez.

Demander une séance