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Tutorat en calcul multivariable en ligne

Analysez les fonctions de plusieurs variables par la géométrie, les dérivées partielles, les intégrales multiples et les méthodes vectorielles.

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McGill University

MATH 262: Calcul intermédiaire

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Notions couvertes

Géométrie tridimensionnelleDérivées partiellesGradients et dérivées directionnellesOptimisation et contraintesIntégrales doubles et triplesChamps vectoriels

Difficultés fréquentes

Visualiser les surfaces et régions
Choisir les coordonnées et les bornes
Reconnaître quand un théorème ou une méthode s’applique

Comment le tutorat aide

Nous utilisons des croquis et le raisonnement géométrique pour concrétiser la notation, puis construisons les calculs en portant attention aux coordonnées, domaines et résultats.

Comprendre et pratiquer

Gradient et dérivées directionnelles : une surface, deux taux

Imaginez une colline vue du dessus. Dans les calculs qui suivent, $x$ et $y$ sont les valeurs numériques des coordonnées sur la carte horizontale, exprimées en mètres, et $h(x,y)$ est la valeur numérique de la hauteur en mètres au-dessus d’un niveau de référence. Le modèle de la colline est $h(x,y)=20-x^2-y^2$ . On part du point $P=(2,1)$ sur la carte. Nous calculerons d’abord la variation de hauteur par mètre dans une direction horizontale donnée, puis l’effet de la vitesse de déplacement sur la variation par seconde.

1. Calculer le gradient au départ

Une dérivée partielle mesure le taux de variation de la hauteur lorsqu’une coordonnée varie et que l’autre reste fixe. On note $h_x$ la dérivée par rapport à $x$ , à $y$ constant, et $h_y$ celle par rapport à $y$ , à $x$ constant. Le gradient, noté $\nabla h=(h_x,h_y)$ , regroupe ces deux taux dans un vecteur. En $P$ , la hauteur vaut $15\,\mathrm m$ et le gradient vaut $(-4,-2)$ . Un petit déplacement dans le sens positif de l’une ou l’autre coordonnée fait donc initialement diminuer la hauteur. Le gradient indique la direction horizontale de montée la plus forte.

h_x=-2x,\qquad h_y=-2y

\nabla h(2,1)=(-4,-2),\qquad h(2,1)=15

2. Normaliser pour un taux par mètre horizontal

Choisissons le vecteur de direction horizontale $\mathbf v=(-3,4)$ : on diminue $x$ et on augmente $y$ , dans un rapport de trois à quatre. Sa norme vaut $5$ . Divisez par cette norme pour obtenir le vecteur unitaire $\mathbf u$ . La notation $D_{\mathbf u}h(P)$ désigne la variation de hauteur par mètre horizontal en $P$ , dans cette direction unitaire. Elle se calcule par le produit scalaire $\nabla h(P)\cdot\mathbf u$ : multipliez les composantes correspondantes, puis additionnez. Le résultat positif indique une montée initiale. Si $\Delta s$ est une petite distance horizontale parcourue vers l’avant en mètres, le gain de hauteur approximatif en mètres est $\frac45\Delta s$ .

\lVert\mathbf v\rVert=\sqrt{9+16}=5,\qquad\mathbf u=\left(-\frac35,\frac45\right)

D_{\mathbf u}h(P)=\nabla h(P)\cdot\mathbf u

=(-4)\left(-\frac35\right)+(-2)\left(\frac45\right)=\frac45\,\mathrm{m/m}

Cercles du centre vers l’extérieur :

h = 16

15

11

m.Pointillés : direction du trajetTrait plein : montée la plus forte

P = (2, 1)

;

h(P) = 15

Cette vue du dessus montre des cercles de hauteur constante. La hauteur augmente vers le centre. La flèche pointillée donne la direction du trajet et la flèche pleine, celle du gradient. Le trajet monte au départ, sans suivre la montée la plus forte. Les flèches indiquent des directions; leur longueur dessinée ne représente ni la vitesse ni la norme du gradient.

3. Garder la vitesse pour un taux par seconde

Introduisons maintenant le temps. Soit $t\geq0$ le nombre de secondes depuis le départ et $\mathbf r(t)=(2-3t,1+4t)$ la position horizontale. Sa première composante est $x(t)$ et sa seconde est $y(t)$ , donc $\mathbf r(0)=P$ . La dérivation donne le vecteur vitesse horizontale $\mathbf r^{\prime}(t)=(-3,4)$ , en mètres par seconde. Sa norme, la vitesse horizontale, vaut $5\,\mathrm{m/s}$ . La fonction composée $h(\mathbf r(t))$ donne la hauteur à l’instant $t$ . La règle de la chaîne combine le gradient avec le vecteur vitesse pour calculer la dérivée temporelle. Utilisez le vecteur vitesse tel quel, sans le diviser par sa norme : le normaliser ferait perdre l’information sur la vitesse.

\left.\frac{d}{dt}h(\mathbf r(t))\right|_{t=0}=\nabla h(P)\cdot\mathbf r^{\prime}(0)

=(-4)(-3)+(-2)(4)=4\,\mathrm{m/s}

\left(\frac45\,\mathrm{m/m}\right)\left(5\,\mathrm{m/s}\right)=4\,\mathrm{m/s}

4. Vérifier par substitution

Vérifiez le taux temporel sans utiliser le gradient : remplacez directement $x$ par $2-3t$ et $y$ par $1+4t$ dans la formule de hauteur, simplifiez, puis dérivez par rapport à $t$ . Le taux initial vaut encore $4\,\mathrm{m/s}$ . Pour vérifier le taux par distance, soit $s\geq0$ la distance horizontale parcourue depuis $P$ , en mètres. La vitesse constante donne $s=5t$ . Remplacer $t$ par $s/5$ dans la position donne $\mathbf q(s)$ , la même trajectoire décrite par la distance plutôt que par le temps. Dérivez sa hauteur par rapport à $s$ pour retrouver $\frac45\,\mathrm{m/m}$ . Les termes quadratiques montrent pourquoi ces taux initiaux ne restent pas constants.

h(\mathbf r(t))=20-(2-3t)^2-(1+4t)^2

=15+4t-25t^2

\frac{d}{dt}h(\mathbf r(t))=4-50t

\mathbf q(s)=\left(2-\frac35s,1+\frac45s\right)

h(\mathbf q(s))=15+\frac45s-s^2

\frac{d}{ds}h(\mathbf q(s))=\frac45-2s

Trois questions pour progresser

1. Bases

Gardez la même fonction de hauteur $h(x,y)=20-x^2-y^2$ et le même point de départ $P=(2,1)$ , avec la même convention de valeurs numériques exprimées en mètres. Pour cette question, prenez la direction horizontale $\mathbf v=(1,0)$ . Calculez $\nabla h(P)$ , vérifiez si $\mathbf v$ est unitaire et trouvez la variation initiale de hauteur par mètre horizontal. Monte-t-on ou descend-on au départ? Reprenez sans notes dans la direction $\mathbf w=(0,-2)$ , en normalisant au besoin, avant d’ouvrir la réponse.

Voir la solution expliquée

Le gradient est $\nabla h(P)=(-4,-2)$ . Comme $\lVert\mathbf v\rVert=1$ , la pente initiale vaut $(-4,-2)\cdot(1,0)=-4\,\mathrm{m/m}$ : on descend au départ. Pour la reprise, $\lVert\mathbf w\rVert=2$ , donc on utilise $\mathbf w/2=(0,-1)$ . La pente initiale vaut $(-4,-2)\cdot(0,-1)=2\,\mathrm{m/m}$ : on monte au départ. Sans normalisation, le produit scalaire donnerait 4, ce qui n’est pas la variation par mètre horizontal.

2. Appliquer la méthode

Soit $\mathbf r_2(t)=(2-6t,1+8t)$ un second déplacement, où $t$ est toujours mesuré en secondes et les coordonnées en mètres. Comparez sa direction initiale, sa vitesse horizontale, sa variation de hauteur par mètre horizontal et sa variation par seconde avec celles du trajet initial.

Voir la solution expliquée

Le vecteur vitesse vaut $(-6,8)\,\mathrm{m/s}$ , de norme $10\,\mathrm{m/s}$ . Sa direction unitaire est encore $(-3/5,4/5)$ : la pente initiale reste donc $\frac45\,\mathrm{m/m}$ . La vitesse horizontale double, donc le taux initial de hauteur double à $8\,\mathrm{m/s}$ . La substitution le vérifie : $h(\mathbf r_2(t))=15+8t-100t^2$ , dont la dérivée en zéro vaut $8$ .

3. Défi

Sur la trajectoire initiale, pour $t\geq0$ , quand cesse-t-on de monter et quelle hauteur maximale atteint-on?

Voir la solution expliquée

Le taux de variation de la hauteur vaut $4-50t$ . L’annuler donne $t=2/25$ : on cesse donc de monter après $\frac{2}{25}\,\mathrm{s}$ . Ce taux est positif avant cet instant et négatif après, ce qui établit la hauteur maximale sur ce trajet pour $t\geq0$ . La substitution dans les formules de position et de hauteur donne $\mathbf r(2/25)=(44/25,33/25)$ et une hauteur de $\frac{379}{25}\,\mathrm m$ . La distance horizontale parcourue vaut $5(2/25)=2/5$ mètre. Il s’agit du maximum sur le trajet; la colline atteint $20\,\mathrm m$ à l’origine, un point que ce trajet n’atteint jamais.

Explications et exercices originaux Nablio; aucune question d’examen officielle n’est reproduite.

MATH 222 à McGill : région et intégrale double MAT1115 à l’UQAM : calcul multivariable

Pratique autonome

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35 min

Notions et méthodes à réviser

La préparation peut combiner visualisation, mise en équation et calcul pour les dérivées partielles, l’optimisation et les intégrales multiples.

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Difficultés fréquentes

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Gradient et dérivées directionnelles : une surface, deux taux

1. Calculer le gradient au départ

2. Normaliser pour un taux par mètre horizontal

3. Garder la vitesse pour un taux par seconde

4. Vérifier par substitution

Trois questions pour progresser

1. Bases

2. Appliquer la méthode

3. Défi

Guides et exercices gratuits

Optimisation sous contraintes : ensemble admissible et Lagrange

Optimisation sous contraintes : six exercices corrigés

Flux de surface avec normales et surfaces de fermeture

Six exercices de flux de surface avec solutions expliquées

Intégrales doubles : régions et changement d’ordre

ENGR 233 Concordia : exercices de calcul vectoriel

Intégrales curvilignes : suivre le trajet et son orientation

Notions et méthodes à réviser

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Gradient et dérivées directionnelles : une surface, deux taux

1. Calculer le gradient au départ

2. Normaliser pour un taux par mètre horizontal

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