Tutorat MAT1600 · Université de Montréal

Vérifier l’indépendance linéaire

En additionnant les coordonnées, on trouve $$u+v=(1,3,1)=w$$. Ainsi, $u+v-w=(0,0,0)$ est une combinaison linéaire égale au vecteur nul, avec des coefficients qui ne sont pas tous nuls. C’est précisément ce qui rend les trois vecteurs dépendants.

Ramener à deux vecteurs indépendants et comparer les coefficients

La cible vérifie $(2,5,1)=2u+v$. En remplaçant $w$ par $u+v$, on obtient $$\begin{aligned}&(a+c)u+(b+c)v\\&=2u+v\end{aligned}$$.

Pour justifier la comparaison des coefficients, supposons $\alpha u+\beta v=(0,0,0)$, où $\alpha$ et $\beta$ sont réels. La première coordonnée impose $\alpha=0$ et la troisième impose $\beta=0$. Les vecteurs $u$ et $v$ sont donc indépendants : $a+c=2$ et $b+c=1$.

Décrire toutes les solutions et le paramètre libre

Aucune de ces équations ne fixe $c$. Notons donc $t$ sa valeur réelle choisie librement. Alors $c=t$, $a=2-t$ et $b=1-t$.

L’ensemble des solutions est $$\begin{aligned}&(a,b,c)\\&=(2-t,1-t,t)\end{aligned}$$, pour $t\in\mathbb{R}$. Ce paramètre repère une infinité de triplets de coefficients; ce n’est ni une équation supplémentaire ni une inconnue à déterminer.

Vérifier les coordonnées et comparer une cible impossible

après substitution, $$\begin{aligned}&(a+c,2a+b+3c,b+c)\\&=(2,5,1)\end{aligned}$$, pour tout $t$.

À titre de comparaison, toute combinaison de ces vecteurs possède une deuxième coordonnée égale au double de la première plus la troisième. La cible $(2,5,2)$ ne respecte pas cette condition, car $5\ne 2(2)+2$; cette autre cible n’aurait donc aucune solution.