Tutorat 201-SN1-RE · Vanier

201-SN1-RE : corrélation, régression et limites d’un modèle

Utilisez les observations fictives sans unité (1; 2), (2; 3), (3; 7). Trouvez la droite de régression par la méthode des moindres carrés, interprétez l’association et expliquez pourquoi une prédiction hors de l’intervalle observé demande de la prudence. Ces trois points inventés servent d’exemple pédagogique; ils ne constituent pas une étude statistique.

Les moyennes sont $\bar x=2$ et $\bar y=4$. Les écarts aux moyennes sont −1, 0, 1 pour x et −2, −1, 3 pour y.

$$\begin{aligned}S_{xx}&=\sum(x-\bar x)^2\\&=1+0+1=2.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}S_{xy}&=\sum(x-\bar x)(y-\bar y)\\&=2+0+3=5.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}S_{yy}&=\sum(y-\bar y)^2\\&=4+1+9=14.\end{aligned}$$

La pente vaut $S_{xy}/S_{xx}=5/2=2{,}5$. L’ordonnée à l’origine vaut $\bar y-2{,}5\bar x=-1$. La droite ajustée est donc $\hat y=2{,}5x-1$. Le coefficient de corrélation vaut

$$\begin{aligned}r&=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}\\&=\frac5{\sqrt{28}}\approx0{,}945.\end{aligned}$$

Pour $x=2{,}5$, la droite prédit $\hat y=5{,}25$. Les points observés montrent une forte association linéaire positive, mais une association ne démontre pas une relation causale. Une prédiction hors de l’intervalle observé $[1,3]$ est une extrapolation; ces trois points ne permettent pas de supposer que la même relation se poursuit au-delà.