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Vanier · Sciences de la nature · 201-SN3-RE

Tutorat en calcul intégral 201-SN3-RE

Obtenez de l’aide individuelle sur les intégrales définies et indéfinies pour 201-SN3-RE à Vanier. Essayez la courte application ci-dessous ou apportez une question, même si vous ne savez pas par où commencer.

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Bilan de révision avec solutions

Le calcul intégral à Vanier

Le cours de calcul intégral de Vanier présente les intégrales définies et indéfinies et leurs applications. Un bon point de départ est de déterminer ce qu’une intégrale mesure. L’exemple ci-dessous utilise une vitesse variable pour relier aire signée, déplacement et distance parcourue.

Notions à travailler

  • Trouver des primitives et les vérifier en les dérivant
  • Calculer une intégrale définie à l’aide d’une primitive et des deux bornes
  • Interpréter une intégrale comme une variation cumulée
  • Utiliser les signes et les unités pour expliquer le résultat d’une application

Avant d’essayer l’exemple

Révisez la règle des puissances pour les primitives, la factorisation d’un polynôme du second degré et l’étude du signe d’une fonction. Intégrer un taux sur un intervalle de temps donne une variation cumulée : des mètres par seconde multipliés par des secondes donnent des mètres.

Deux étapes à vérifier

  • Déterminer si la question demande une variation nette ou un total qui compte positivement les deux sens du mouvement
  • Découper l’intervalle aux changements de signe du taux avant de calculer ce total

Choisissez la question qui vous aide

Calcul intégral : choisir une méthode et construire un volume

Intégrez un logarithme par parties, puis construisez une intégrale de volume à partir d’aires de disques. Écrivez la méthode ou le rayon avant de calculer.

Avant de commencer : Prévoyez 20 à 25 minutes pour essayer les deux questions, puis 15 minutes pour vérifier et reprendre les étapes manquées.

1. Transformer un logarithme en intégrale plus simple

Calculez ∫1eln⁡(x) dx\int_1^e \ln(x)\,dx par intégration par parties. Indiquez uu et dvdv, puis expliquez pourquoi l’intégrale obtenue est plus simple.

Voir la solution expliquée
  1. Choisissez u=ln⁡xu=\ln x et dv=dxdv=dx. Alors du=dx/xdu=dx/x et v=xv=x; le produit v duv\,du se simplifie en dxdx.
  2. Une primitive est xln⁡x−xx\ln x-x. Sa dérivée vaut ln⁡x+1−1=ln⁡x\ln x+1-1=\ln x.
  3. ∫1eln⁡(x) dx=0−(−1)=1.\int_1^e\ln(x)\,dx=0-(-1)=1. Le résultat positif concorde avec ln⁡x>0\ln x>0 pour 1<x≤e1<x\le e.

Choisir une méthode d’intégration

2. Le rayon est une fonction

Faites tourner autour de l’axe horizontal la région sous y=xy=\sqrt{x}, au-dessus de cet axe, pour 0≤x≤40\le x\le4. Trouvez le volume par la méthode des disques.

Voir la solution expliquée
  1. Une section perpendiculaire à l’axe a pour rayon r=xr=\sqrt{x}, donc pour aire πr2=πx\pi r^2=\pi x.
  2. V=π∫04x dx=8π.V=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi.
  3. Le résultat est en unités cubes. Intégrer πx\pi\sqrt{x} oublierait le carré dans la formule de l’aire d’un disque.

Exercices d’intégration et de volumes

Construire votre révision à partir de vos réponses
  1. Choix de méthode

    Expliquez ce qui devient plus simple avec votre méthode. Vérifiez une primitive proposée en la dérivant.

  2. Construction géométrique

    Dessinez une section représentative; indiquez son rayon et son épaisseur avant d’écrire l’intégrale du volume.

Apportez les méthodes d’intégration au programme de votre groupe et un schéma qui vous a posé problème. Une séance peut cibler le choix de méthode ou la mise en équation des applications.

Demander de l’aide pour réviser 201-SN3-RE

Exercices originaux de Nablio, et non un examen officiel. Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

Sources pour les sujets du cours

Exemple résolu : revenir au point de départ

Un objet se déplace en ligne droite, le sens positif étant vers la droite. On note tt le temps en secondes, v(t)v(t) sa vitesse algébrique en mètres par seconde et s(t)s(t) sa position en mètres. Dans ces unités, v(t)=t2−2tv(t)=t^2-2t pour 0≤t≤30\le t\le3, et s(0)=5s(0)=5. Trouvez son déplacement, sa position finale et la distance totale parcourue pendant ces trois secondes.

Voir un indice

La vitesse est le taux de variation de la position. Son intégrale donne le déplacement. Repérez les changements de signe de v(t)v(t) avant d’additionner les distances parcourues dans chaque sens.

Voir le raisonnement

  1. 1. Choisir ce qu’il faut intégrer

    Le déplacement est la position finale moins la position initiale. Puisque s′(t)=v(t)s^{\prime}(t)=v(t), intégrez la vitesse sur [0,3][0,3]. Pour la distance, intégrez le module de la vitesse, ∣v(t)∣|v(t)|, afin que le trajet dans chaque sens contribue positivement. La règle des puissances permet d’intégrer le polynôme terme par terme.

  2. 2. Repérer le changement de sens

    Factorisez v(t)=t(t−2)v(t)=t(t-2). La vitesse est négative pour 0<t<20<t<2 et positive pour 2<t<32<t<3. L’objet se déplace vers la gauche, s’arrête à t=2t=2, puis repart vers la droite. Découpez le calcul de la distance à t=2t=2. Le zéro à t=0t=0 est déjà une borne.

  3. 3. Calculer les contributions signées

    Choisissez la primitive F(t)=t33−t2F(t)=\tfrac{t^3}{3}-t^2. Alors F(0)=0F(0)=0, F(2)=−43F(2)=-\tfrac43 et F(3)=0F(3)=0. Les variations de position sont

    ∫02v(t) dt=F(2)−F(0)=−43,∫23v(t) dt=F(3)−F(2)=43.\begin{aligned}\int_0^2 v(t)\,dt&=F(2)-F(0)\\&=-\frac43,\\\int_2^3 v(t)\,dt&=F(3)-F(2)\\&=\frac43.\end{aligned}

    Ces valeurs sont en mètres. La contribution négative correspond au mouvement vers la gauche; la contribution positive, au mouvement vers la droite.

  4. 4. Interpréter et vérifier les résultats

    Le déplacement est de −43+43=0-\tfrac43+\tfrac43=0 mètre, donc la position finale est s(3)=5+0=5s(3)=5+0=5 mètres. La distance totale, notée DD, est la somme des deux longueurs :

    D=∫03∣v(t)∣ dt=−∫02v(t) dt+∫23v(t) dt=43+43=83 meˋtres.\begin{aligned}D&=\int_0^3|v(t)|\,dt\\&=-\int_0^2v(t)\,dt+\int_2^3v(t)\,dt\\&=\frac43+\frac43=\frac83\text{ mètres}.\end{aligned}

    L’objet revient à sa position de départ après avoir parcouru 8/38/3 mètres. Sur un graphique de la vitesse en fonction du temps, les deux régions ont la même aire et sont situées de part et d’autre de l’axe du temps. En dérivant FF, on obtient F′(t)=t2−2t=v(t)F^{\prime}(t)=t^2-2t=v(t), ce qui vérifie la primitive.

À vous : l’objet arrive à une autre position

Pour un autre mouvement en ligne droite, gardez les mêmes unités et le même sens positif, mais prenez v(t)=t2−4v(t)=t^2-4 sur 0≤t≤30\le t\le3, avec la position initiale s(0)=5s(0)=5. (1) Trouvez quand l’objet change de sens. (2) Calculez le déplacement et la position finale. (3) Trouvez la distance totale et expliquez pourquoi la valeur absolue du déplacement ne donne pas cette distance.

Voir un indice

Résolvez t2−4=0t^2-4=0 en ne gardant que les instants de l’intervalle donné. Choisissez une primitive, évaluez-la aux bornes et à l’instant du changement de sens, puis gardez les contributions signées séparées.

Vérifier les trois étapes

  1. 1. Trouver l’instant du changement de sens

    Les racines sont t=−2t=-2 et t=2t=2; seule t=2t=2 appartient à [0,3][0,3]. La vitesse est négative avant 2 secondes et positive ensuite. Découpez l’intégrale de la distance à 2 secondes.

  2. 2. Calculer le déplacement et la position

    Posons G(t)=t33−4tG(t)=\tfrac{t^3}{3}-4t. C’est une primitive puisque G′(t)=t2−4G^{\prime}(t)=t^2-4. On obtient G(0)=0G(0)=0, G(2)=−163G(2)=-\tfrac{16}{3} et G(3)=−3G(3)=-3.

    Le déplacement vaut G(3)−G(0)=−3G(3)-G(0)=-3 mètres. L’objet termine son trajet à la position s(3)=5−3=2s(3)=5-3=2 mètres, soit trois mètres à gauche de sa position de départ.

  3. 3. Additionner les deux distances

    Sur [0,2][0,2], le déplacement vaut −16/3-16/3 mètres. Sur [2,3][2,3], il vaut −3−(−16/3)=7/3-3-(-16/3)=7/3 mètres. Donc

    D=163+73=233 meˋtres.D=\frac{16}{3}+\frac73=\frac{23}{3}\text{ mètres}.

    La valeur ∣−3∣=3|-3|=3 mètres donne la distance entre les positions de départ et d’arrivée. Elle omet le trajet supplémentaire dû au changement de sens. Pour calculer la distance parcourue, prenez la valeur absolue de chaque contribution signée avant de les additionner.

Si vous avez obtenu une distance nulle, revoyez le signe sur chaque intervalle. Si une contribution était incorrecte, vérifiez la primitive et écrivez la valeur à la borne supérieure moins celle à la borne inférieure avant de simplifier.

Reprendre l’étape difficile avec un tuteur

Votre tuteur peut vous aider à repérer la quantité qui s’accumule, à préciser le taux et ses unités, puis à esquisser son graphique en repérant les intervalles où le taux est positif ou négatif. Ensemble, vous pouvez déterminer ce que représente chaque borne et si l’intervalle doit être découpé avant d’intégrer.

Pour un calcul, votre tuteur peut vous demander d’expliquer votre choix de méthode, repérer avec vous un facteur ou un terme oublié aux bornes, puis vérifier la primitive en la dérivant. Essayez ensuite une autre fonction ou un autre intervalle et expliquez ce qui change dans la mise en place de l’intégrale.

Organiser votre révision

Choisissez une question de méthode d’intégration et un problème d’accumulation parmi les notions à réviser dans votre groupe. Justifiez votre méthode et vérifiez la primitive en la dérivant. Pour l’application, précisez le taux et les unités, distinguez variation nette et total, puis découpez l’intervalle au besoin. Reprenez une mise en place incorrecte sans la solution. Respectez les consignes de votre professeur sur les outils permis.

Pratique autonome

Choisir les prochains exercices

35 min

Choisir une méthode d’intégration

Comparez la substitution, l’intégration par parties et la décomposition en fractions partielles lorsque la règle des puissances ne suffit pas.

Information sur le cours à Vanier

Avant de demander une séance

Puis-je demander de l’aide pour 201-SN3-RE?

Oui. Envoyez le sujet et vos disponibilités. Vous pouvez joindre une question et ce que vous avez commencé, ou demander de l’aide pour commencer. Ajoutez le code ou le plan de cours si cela peut aider. Nous confirmerons la disponibilité du tuteur, les détails de la séance et le prix avant le paiement.

Comment me préparer à une évaluation?

Partez de la liste actuelle des notions, des exercices donnés et des consignes d’évaluation de votre section. Apportez une question que vous avez le droit de partager. Votre tuteur peut vous aider à choisir la première étape ou à revoir une étape que vous ne pouvez pas expliquer.

Comment se déroulent les séances?

Ce guide est disponible en français et en anglais. Les séances de tutorat sont actuellement en anglais, en ligne sur Zoom ou Google Meet.

Nablio fait-il partie de Vanier?

Nablio offre un service de tutorat indépendant, sans affiliation ni approbation du Collège Vanier.

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