ENRéserver une séance
Vanier · 201-SN4-RE

Tutorat en algèbre linéaire et géométrie vectorielle 201-SN4-RE

Obtenez de l’aide individuelle sur les vecteurs, les matrices et les déterminants pour 201-SN4-RE à Vanier. Essayez le court exemple ci-dessous ou apportez une question et l’étape que vous voulez comprendre.

Demander une séanceEssayer l’exemple résolu

L’algèbre linéaire et la géométrie vectorielle à Vanier

Le cours Linear Algebra & Vector Geometry de Vanier présente les vecteurs, les matrices, les déterminants et la géométrie vectorielle euclidienne avec ses applications. L’exemple ci-dessous relie ces notions en deux dimensions : construire un vecteur cible à partir de deux vecteurs donnés, puis expliquer ce que le déterminant révèle sur l’unicité et l’aire.

Notions à travailler

  • Additionner des vecteurs et les multiplier par des nombres réels
  • Interpréter les colonnes d’une matrice comme les vecteurs d’une combinaison linéaire
  • Calculer un déterminant et en expliquer le sens géométrique
  • Vérifier si l’on peut former un vecteur cible et si ses coefficients sont uniques

Avant d’essayer l’exemple

Révisez les couples de coordonnées, la multiplication par un scalaire et la résolution de deux équations à deux inconnues. Un scalaire est un nombre : multipliez chaque composante d’un vecteur par ce nombre, puis additionnez les composantes correspondantes. Gardez la composante horizontale en premier et la composante verticale en second.

Deux étapes à vérifier

  • Distinguer les coefficients d’une combinaison de vecteurs des composantes du vecteur obtenu
  • Examiner le vecteur cible avant de conclure sur le nombre de solutions lorsque le déterminant est nul

Exemple résolu : deux vecteurs, une cible et une aire

Dans le plan cartésien, on donne u=(2,1)\mathbf u=(2,1), v=(1,3)\mathbf v=(1,3) et le vecteur cible w=(8,9)\mathbf w=(8,9). Trouvez les nombres réels aa et bb tels que au+bv=wa\mathbf u+b\mathbf v=\mathbf w. Expliquez pourquoi ce couple de coefficients est unique, puis trouvez l’aire du parallélogramme dont les côtés adjacents sont les vecteurs u\mathbf u et v\mathbf v, tracés à partir du même point.

Voir un indice

Égalez les composantes horizontales et verticales pour obtenir deux équations. Placez u\mathbf u et v\mathbf v dans les colonnes d’une matrice. Son déterminant relie les deux questions sur l’unicité et l’aire.

Voir le raisonnement

  1. 1. Traduire l’équation vectorielle

    Les nombres aa et bb multiplient les deux vecteurs donnés. L’égalité des composantes donne

    {2a+b=8,a+3b=9.\begin{cases}2a+b=8,\\a+3b=9.\end{cases}

    Notons AA la matrice dont les colonnes sont ces vecteurs. Les mêmes équations s’écrivent

    A=[2113],A[ab]=[89].\begin{gathered}A=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix},\\A\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\9\end{bmatrix}.\end{gathered}

    La première colonne correspond au premier coefficient. Changer l’ordre des colonnes sans changer celui des coefficients modifierait la combinaison de vecteurs.

  2. 2. Trouver et vérifier les coefficients

    La première équation donne b=8−2ab=8-2a. En remplaçant dans la seconde, on obtient a+3(8−2a)=9a+3(8-2a)=9, donc −5a=−15-5a=-15. Ainsi, a=3a=3 et b=2b=2. Vérifions l’équation vectorielle initiale :

    3(2,1)+2(1,3)=(6,3)+(2,6)=(8,9)=w.\begin{gathered}3(2,1)+2(1,3)\\=(6,3)+(2,6)\\=(8,9)=\mathbf w.\end{gathered}

    Les coefficients sont (3,2)(3,2); le vecteur obtenu a pour composantes (8,9)(8,9). Ces couples décrivent des choses différentes.

  3. 3. Expliquer pourquoi la réponse est unique

    Pour une matrice deux par deux, multipliez l’entrée en haut à gauche par celle en bas à droite, puis soustrayez le produit de l’entrée en haut à droite par celle en bas à gauche. La notation det⁡(A)\det(A) désigne le déterminant de AA :

    det⁡(A)=2⋅3−1⋅1=5.\det(A)=2\cdot3-1\cdot1=5.

    Ce déterminant est non nul : les deux vecteurs colonnes sont donc linéairement indépendants, c’est-à-dire qu’aucun n’est un multiple de l’autre. Ils donnent un couple de coefficients unique pour chaque vecteur du plan. Dans ce calcul, l’équation −5a=−15-5a=-15 détermine aa, puis b=8−2ab=8-2a détermine bb.

  4. 4. Interpréter le déterminant comme une aire

    Pour deux vecteurs du plan, la valeur absolue du déterminant de leurs colonnes donne l’aire du parallélogramme qu’ils forment. Ici, cette aire vaut ∣5∣=5|5|=5 unités carrées. Le signe du déterminant indique l’orientation; l’aire est positive ou nulle.

    Pour vérifier, échangez les colonnes : le déterminant devient 1⋅1−2⋅3=−51\cdot1-2\cdot3=-5. Leur ordre est inversé, mais le parallélogramme reste le même. Son aire reste donc de 55 unités carrées.

À vous : quand les deux directions se confondent

Gardez u=(2,1)\mathbf u=(2,1), mais remplacez le second vecteur par q=(4,2)\mathbf q=(4,2). (1) Trouvez le déterminant de la matrice BB dont les colonnes sont u,q\mathbf u,\mathbf q, puis décrivez les vecteurs que au+bqa\mathbf u+b\mathbf q peut produire. (2) Pour la cible r=(6,3)\mathbf r=(6,3), donnez tous les couples de coefficients réels (a,b)(a,b). (3) Les deux mêmes vecteurs peuvent-ils produire la cible s=(6,4)\mathbf s=(6,4)? Expliquez.

Voir un indice

Écrivez d’abord q\mathbf q comme un multiple de u\mathbf u. Factorisez au+bqa\mathbf u+b\mathbf q, puis comparez les deux composantes de chaque cible à cette seule direction.

Vérifier les trois étapes

  1. 1. Déterminer la droite accessible

    q=2u\mathbf q=2\mathbf u : les deux vecteurs sont donc linéairement dépendants. Leur matrice et son déterminant sont

    B=[2412],det⁡(B)=2⋅2−4⋅1=0.\begin{gathered}B=\begin{bmatrix}2&4\\1&2\end{bmatrix},\\\begin{aligned}\det(B)&=2\cdot2-4\cdot1\\&=0.\end{aligned}\end{gathered}

    Toute combinaison s’écrit au+bq=(a+2b)ua\mathbf u+b\mathbf q=(a+2b)\mathbf u. Posons c=a+2bc=a+2b; les vecteurs possibles sont (2c,c)(2c,c), où cc est un nombre réel quelconque. Leurs extrémités se trouvent sur la droite y=x/2y=x/2, où xx et yy sont les coordonnées horizontale et verticale usuelles. Le parallélogramme est réduit à un segment de droite et son aire est nulle.

  2. 2. Donner tous les coefficients pour la première cible

    Comme r=(6,3)=3u\mathbf r=(6,3)=3\mathbf u, il faut a+2b=3a+2b=3. Soit tt un nombre réel quelconque; choisissons b=tb=t. Toutes les solutions s’écrivent alors

    (a,b)=(3−2t,t),t∈R.\begin{gathered}(a,b)=(3-2t,t),\\t\in\mathbb R.\end{gathered}

    Par exemple, (3,0)(3,0) et (1,1)(1,1) produisent tous deux (6,3)(6,3). Il existe une infinité de couples de coefficients, mais ils produisent tous le même vecteur cible.

  3. 3. Tester la seconde cible

    Pour produire s=(6,4)\mathbf s=(6,4), la composante horizontale 2c=62c=6 imposerait c=3c=3, tandis que la composante verticale imposerait c=4c=4. Ces deux conditions sont incompatibles. La cible n’est pas sur la droite accessible : il n’y a aucune solution.

    Un déterminant nul indique qu’un couple unique de coefficients est impossible. L’examen de la cible permet de distinguer une infinité de solutions de l’absence de solution.

Si vos coefficients étaient incorrects, vérifiez les équations obtenues à partir des composantes, puis remplacez aa et bb par les valeurs trouvées dans l’équation vectorielle initiale. Si vous avez conclu qu’un déterminant nul signifie toujours aucune solution, reprenez les deux cibles de l’exercice.

Travailler l’étape difficile avec un tuteur

Votre tuteur peut vous aider à tracer les vecteurs, à nommer les coefficients et à traduire une équation vectorielle en équations sur les composantes. Vous pouvez comparer une matrice correctement construite à une matrice contenant une entrée mal placée, puis expliquer comment la géométrie change.

Après la vérification du calcul, votre tuteur peut modifier un vecteur ou la cible et vous demander de prévoir le résultat avant de résoudre. Ensemble, vous pouvez relier le déterminant aux directions disponibles, vérifier une réponse proposée et écrire une famille complète de solutions au besoin.

Organiser votre révision

Parmi les notions de votre groupe, choisissez un système linéaire et un problème de combinaison de deux vecteurs du plan. Vérifiez une solution proposée par substitution. Pour les vecteurs, traduisez les composantes en équations et expliquez ce que le déterminant indique sur l’unicité. Si le déterminant est nul, vérifiez si la cible peut être atteinte avant de conclure sur le nombre de solutions. Refaites un exercice corrigé sans la solution, avec seulement les outils permis par votre enseignant.

Pratique autonome

Pour poursuivre votre pratique

Information sur le cours à Vanier

Avant de demander une séance

Puis-je demander de l’aide pour 201-SN4-RE?

Oui. Indiquez la notion, une question avec votre tentative et vos disponibilités. Ajoutez le code ou le plan de cours si c’est utile. Nous confirmons la disponibilité du tuteur, les détails de la séance et le prix avant le paiement.

Que devrais-je apporter à une séance?

Apportez une question que vous avez le droit de partager, votre démarche et la première étape que vous ne pouvez pas expliquer. Votre liste de notions actuelles peut nous aider à choisir un bon point de départ.

Comment les séances se déroulent-elles?

Ce guide est disponible en français et en anglais. Les séances de tutorat se déroulent actuellement en anglais, en ligne sur Zoom ou Google Meet.

Nablio fait-il partie de Vanier?

Nablio offre un service de tutorat indépendant, sans affiliation ni approbation du Collège Vanier.

Apportez l’étape que vous voulez comprendre

Indiquez la notion, ce que vous avez essayé et quelques disponibilités. Ajoutez le code ou le plan de cours si c’est utile.

Demander une séance