Dérivation implicite et taux liés

La variable qui change à l’intérieur de la formule

Si $y$ dépend de $x$, alors $y^2$ est une fonction composée : on élève au carré la valeur de $y(x)$. La règle de la chaîne donne

$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}.$$

Le facteur $dy/dx$ tient compte de la variation de la fonction intérieure. Le produit $xy$ contient lui aussi deux facteurs qui dépendent de $x$ :

$$\frac{d}{dx}(xy)=y+x\frac{dy}{dx}.$$

La dérivation implicite consiste à dériver une relation sans d’abord isoler $y$. On travaille sur une portion de la courbe où $y$ est une fonction dérivable de $x$. On ne suppose pas que la courbe entière passe le test de la droite verticale.

Exemple résolu 1 Trouver une pente sans isoler la fonction

Considérons la courbe

$$x^2+xy+2y^2=28.$$

Ici, $x$ et $y$ sont des coordonnées sans dimension. Trouvez la pente de la tangente au point $(2,3)$.

Vérifier le point et dériver

Le point appartient à la courbe, car $2^2+2(3)+2(3^2)=28$. Traitez $y$ comme une fonction de $x$ et dérivez chaque terme :

$$2x+y+x\frac{dy}{dx}+4y\frac{dy}{dx}=0.$$

La constante $28$ a pour dérivée zéro. Le terme $xy$ demande la règle du produit, et $2y^2$, la règle de la chaîne.

Regrouper la dérivée inconnue

$$\begin{aligned}(x+4y)\frac{dy}{dx}&=-(2x+y),\\\frac{dy}{dx}&=-\frac{2x+y}{x+4y}.\end{aligned}$$

Cette division est permise lorsque $x+4y\ne0$. Au point $(2,3)$, le dénominateur vaut $14$, donc

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,3)}=-\frac{7}{14}=-\frac12.$$

La tangente a pour équation $y-3=-\tfrac12(x-2)$. Près de ce point, une petite augmentation de $x$ entraîne une variation de $y$ environ deux fois plus petite et de signe opposé. Si le dénominateur avait été nul, ce quotient n’aurait pas fourni de pente finie; il aurait fallu examiner la courbe au point concerné.

Prendre le temps comme variable indépendante

Dans un problème de taux liés, la variable indépendante est généralement le temps $t$. Les deux grandeurs $x=x(t)$ et $y=y(t)$ peuvent alors varier. Comparez attentivement :

$$\begin{aligned}\frac{d}{dt}(x^2)&=2x\frac{dx}{dt},\\\frac{d}{dt}(y^2)&=2y\frac{dy}{dt}.\end{aligned}$$

En particulier, $d(x^2)/dt$ ne vaut généralement pas $2x$. En dérivant la relation de l’exemple 1 par rapport au temps, on obtiendrait

$$\begin{aligned}&(2x+y)\frac{dx}{dt}\\&\quad +(x+4y)\frac{dy}{dt}=0.\end{aligned}$$

Au point $(2,3)$, cela donne $dy/dt=-\tfrac12\,dx/dt$. La pente de la courbe relie les taux de variation des deux coordonnées; elle ne détermine pas la rapidité du déplacement tant qu’aucun taux par rapport au temps n’est fourni.

Construire le modèle avant de remplacer les variables

1. Définir les variables. Précisez ce que mesure chaque grandeur, son unité et son sens positif. Écrivez explicitement le taux recherché.
2. Distinguer les données fixes des valeurs instantanées. Une longueur rigide reste constante pendant le mouvement. Une hauteur variable qui vaut $3$ à un instant donné reste une variable.
3. Écrire une relation valable près de cet instant. Utilisez la géométrie ou un autre modèle indiqué. S’il reste trop de taux inconnus, cherchez une deuxième relation.
4. Dériver, puis évaluer. Les constantes fixes peuvent être remplacées dès le départ. Remplacez les valeurs instantanées des grandeurs variables seulement après la dérivation.
5. Interpréter le résultat. Vérifiez le signe, les unités et si le taux est instantané ou constant sur un intervalle.

Écrire $r(t_0)=4$ à un instant particulier $t_0$ ne signifie pas que $r(t)=4$ aux instants voisins. Remplacer un rayon variable par $4$ avant de dériver supprimerait précisément la variation à mesurer.

Exemple résolu 2 Une échelle rigide dont les deux extrémités bougent

Dans un modèle géométrique idéal, une échelle droite de longueur fixe $13\,\mathrm{m}$ reste en contact avec un mur vertical et un sol horizontal. Son pied s’éloigne du mur à $0{,}60\,\mathrm{m/s}$. À quel taux le sommet se déplace-t-il verticalement lorsque le pied se trouve à $5\,\mathrm{m}$ du mur?

Soit $t$ le temps en secondes, $x(t)$ la distance horizontale entre le pied et le mur en mètres, et $y(t)$ la hauteur du sommet en mètres. Une augmentation de $x$ correspond à un éloignement du mur; une augmentation de $y$, à un mouvement vers le haut. On connaît $dx/dt=0{,}60\,\mathrm{m/s}$ et on cherche $dy/dt$.

Utiliser la relation qui reste vraie pendant le mouvement

Dans cet exemple, utilisez les valeurs numériques des longueurs en mètres et du temps en secondes. Le triangle rectangle donne

$$x^2+y^2=13^2.$$

Dérivez par rapport à $t$, en conservant les deux longueurs variables :

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0.$$

La longueur fixe de l’échelle contribue zéro. Isolez le taux avant d’évaluer :

$$\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.$$

Évaluer à l’instant demandé

Lorsque $x=5$, la hauteur positive vaut $y=\sqrt{169-25}=12$. Ainsi,

$$\frac{dy}{dt}=-\frac{5}{12}(0{,}60)=-0{,}25\,\mathrm{m/s}.$$

Le sommet descend donc à $0{,}25\,\mathrm{m/s}$. Son taux de déplacement vertical signé est négatif. Le rapport $x/y$ est sans dimension; la réponse conserve donc les unités de $dx/dt$.

Pourquoi les extrémités n’ont pas la même vitesse. La rigidité fixe la distance entre les extrémités, pas leurs vitesses horizontale et verticale respectives. Même si la vitesse du pied est constante, $x/y$ varie : la vitesse du sommet varie donc généralement aussi. La formule suppose $y>0$ et le maintien du contact avec les deux surfaces; elle ne décrit ni l’instant où l’échelle est à plat ni une perte de contact réelle.

Exemple résolu 3 Remplir un cône muni d’un drain

Un réservoir fixe en forme de cône circulaire droit a sa pointe dirigée vers le bas. Sa hauteur est $H=6\,\mathrm{m}$, et son rayon supérieur, $R=2\,\mathrm{m}$. L’eau entre à $0{,}20\,\mathrm{m^3/min}$ et sort par un drain à $0{,}08\,\mathrm{m^3/min}$. La surface reste horizontale. À quel taux la profondeur de l’eau augmente-t-elle lorsqu’elle atteint $3\,\mathrm{m}$?

Soit $t$ le temps en minutes. Notons $h(t)$ la profondeur mesurée depuis la pointe, $r(t)$ le rayon de la surface de l’eau et $V(t)$ le volume d’eau. Les longueurs sont en mètres et le volume en mètres cubes. Les dimensions du réservoir sont fixes; $h$, $r$ et $V$ varient.

Calculer le taux net de variation du volume

Le débit entrant ajoute du volume et le débit sortant en retire :

$$\frac{dV}{dt}=0{,}20-0{,}08=0{,}12\,\mathrm{m^3/min}.$$

Le taux $dh/dt$ a pour unité $\mathrm{m/min}$; il ne peut donc pas être simplement égal à ce taux de variation du volume.

Éliminer le rayon variable par des triangles semblables

L’eau occupe un cône plus petit, semblable au réservoir. Pour $h>0$,

$$\begin{aligned}\frac{r}{h}&=\frac{2}{6}=\frac13,\\r&=\frac{h}{3}.\end{aligned}$$

Remplacez cette relation dans la formule du volume d’un cône :

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac{\pi}{27}h^3.$$

Cette substitution est permise avant de dériver, car $r=h/3$ reste vraie pendant le remplissage. Elle diffère du remplacement de $h$ par sa valeur instantanée $3$.

Dériver et isoler le taux de variation de la profondeur

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{9}h^2\frac{dh}{dt}.$$

À $h=3$, l’aire de la surface horizontale de l’eau vaut $\pi\,\mathrm{m^2}$, ce qui donne

$$\begin{aligned}\frac{dh}{dt}&=\frac{0{,}12}{\pi}\,\mathrm{m/min}\\&\approx0{,}0382\,\mathrm{m/min}.\end{aligned}$$

Le niveau monte d’environ $3{,}82\,\mathrm{cm/min}$ à cet instant. Des mètres cubes par minute divisés par des mètres carrés donnent bien des mètres par minute.

Vérifier la géométrie. Le cône est plus large à une profondeur plus grande : un même débit net entraîne donc une montée plus lente. Par exemple, à $h=4\,\mathrm{m}$, le taux vaudrait $0{,}0675/\pi\,\mathrm{m/min}$, soit moins qu’à $h=3\,\mathrm{m}$. Le modèle s’applique pour $0<h<6$, avant le débordement et selon les hypothèses de débit indiquées.

Un piège fréquent. À l’instant demandé, $r=1$, mais le rayon n’est pas constant. Écrire $V=\pi h/3$, puis dériver décrirait un cône de rayon fixe, ce qui ne correspond pas au remplissage. Si vous conservez $r$ et $h$, il faut utiliser la règle du produit ainsi que $dr/dt=(1/3)\,dh/dt$.

Quatre problèmes avec de moins en moins d’indications

Gardez d’abord les solutions fermées. Pour chaque problème, écrivez une relation, dérivez-la, puis précisez le signe et les unités du résultat.

Repérer la première étape qui a posé problème

• S’il manque un facteur de taux, écrivez la grandeur variable comme fonction du temps et appliquez la règle de la chaîne.
• S’il reste un taux inconnu, cherchez une deuxième relation, par exemple des triangles semblables, avant de remplacer par les valeurs.
• Si le signe vous surprend, précisez le sens positif et décrivez ce qui augmente ou diminue.
• Si les unités ne correspondent pas à la question, distinguez longueur, aire et volume de leurs taux de variation temporels.

Pour retravailler les règles préalables, essayez Règles de dérivation : un diagnostic en trois questions. Choisissez ensuite un problème de taux liés dans vos propres documents de cours et expliquez pourquoi votre équation de départ reste valable pendant que les grandeurs varient.

Contexte du cours et lectures complémentaires

Cours : MATH 203 à Concordia.

• Catalogue actuel de Concordia, MATH 203
• Plan de cours MATH 203 de Concordia, automne 2026
• OpenStax Calculus Volume 1, section 3.8, pour approfondir la dérivation implicite en anglais
• OpenStax Calculus Volume 1, section 4.1, pour approfondir les taux liés en anglais

Les explications, situations numériques, questions, solutions et figures ont été créées pour cette leçon. Aucune question d’évaluation universitaire ni figure de manuel n’est reproduite.

Deux taux à distinguer : ombres mobiles et angles de visée

Les problèmes de taux liés deviennent plus simples lorsque chaque variable désigne une mesure précise. La longueur d'une ombre n'est pas la position de son extrémité, et la vitesse d'un objet suivi n'est pas la vitesse de rotation d'une caméra. Dans cet atelier, nommez d'abord les grandeurs, reliez-les par la géométrie, puis dérivez.

Une démarche de modélisation réutilisable

1. Dessinez la situation et choisissez une origine fixe ainsi qu'un sens positif.
2. Identifiez les grandeurs qui varient avec le temps et les longueurs constantes.
3. Écrivez une relation valable pendant le mouvement, pas seulement à l'instant demandé.
4. Dérivez par rapport au temps avant de remplacer les variables par leurs valeurs instantanées.
5. Interprétez le signe, les unités et les conditions de validité du résultat.

Le temps est mesuré en secondes. Une prime désigne une dérivée temporelle : $x'=dx/dt$. Une vitesse en valeur absolue est toujours positive ou nulle; un taux signé peut être positif, nul ou négatif.

Longueur de l'ombre et position de son extrémité

Une source lumineuse ponctuelle se trouve à une hauteur $H$ au-dessus d'un sol horizontal. Une personne de taille constante $h$, avec $0<h<H$, est à une distance horizontale $x>0$ du pied du lampadaire. Notons $s$ la longueur de son ombre, mesurée de ses pieds à l'extrémité de l'ombre, et $y$ la position de cette extrémité, mesurée depuis le pied du lampadaire dans le même sens positif. Ainsi, $y=x+s$, et non $y=s$.

La personne reste verticale et marche sur une droite en s'éloignant du lampadaire ou en s'en approchant, sans changer de côté. On néglige sa largeur et on utilise le rayon passant par le sommet de sa tête pour déterminer l'extrémité de l'ombre. Le grand triangle a pour hauteur $H$ et pour base $x+s$; le petit a pour hauteur $h$ et pour base $s$. La similitude donne

Les deux hauteurs étant constantes,

Ces taux s'expriment en unités de longueur par unité de temps. Lorsque $x'$ est non nul, ils ont le même signe que $x'$, mais des valeurs absolues différentes. Dans ce modèle idéal, ils ne dépendent pas de $x$. Un taux $s'$ négatif signifie que l'ombre raccourcit, pas que sa longueur est négative. Les formules s'appliquent tant que $x>0$; un passage sous le lampadaire demande de redéfinir la géométrie.

Exemple résolu 1 — Une personne, deux réponses

Un lampadaire mesure $5\,\mathrm m$. Une personne de $1{,}5\,\mathrm m$ s'en éloigne en ligne droite à $1{,}4\,\mathrm{m/s}$. Déterminez le taux de variation de la longueur de l'ombre et la vitesse signée de son extrémité.

Modéliser. Le sens positif est celui qui s'éloigne du lampadaire : $x'=1{,}4$. Avec les variables définies ci-dessus, $(5-1{,}5)s=1{,}5x$.

Dériver et calculer.

$$3{,}5s'=1{,}5x',\qquad s'=\frac{1{,}5}{3{,}5}(1{,}4)=0{,}6\,\mathrm{m/s}.$$ $$y'=x'+s'=1{,}4+0{,}6=2{,}0\,\mathrm{m/s}.$$

Interpréter. L'ombre s'allonge de $0{,}6$ mètre par seconde, tandis que son extrémité s'éloigne du lampadaire à $2{,}0$ mètres par seconde. Le mouvement de l'extrémité combine le déplacement de la personne et l'allongement de l'ombre.

Vérification indépendante. La géométrie donne $s=3x/7$ et $y=10x/7$. En une seconde de ce mouvement à vitesse constante, $x$ augmente de $1{,}4$ mètre : $s$ augmente donc de $0{,}6$ mètre et $y$, de $2{,}0$ mètres. Les deux dérivées sont confirmées.

Suivre un angle : les radians sont indispensables

Une caméra fixe se trouve à une distance perpendiculaire $d>0$ d'une route droite. Notons $O$ le point de la route le plus proche de la caméra. Choisissons un sens positif le long de la route et notons $x$ la position signée de l'objet suivi, mesurée depuis $O$. L'angle signé $\theta$ est mesuré depuis la perpendiculaire reliant la caméra à $O$, vers le sens positif de la route, avec $-\pi/2<\theta<\pi/2$.

On modélise l'objet par un point. La route est droite et horizontale, la caméra est fixe et $d$ est constant. La caméra suit l'objet sans délai. Pour toute position $x$ finie,

Mesurez $\theta$ en radians afin d'utiliser $d(\tan\theta)/dt=\sec^2\theta\,\theta'$. En dérivant, puis en utilisant $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$, on obtient

Le taux angulaire signé s'exprime en $\mathrm{rad/s}$; sa valeur absolue est la vitesse angulaire en valeur absolue. Si $|x'|$ est constant et non nul, la rotation est la plus rapide à $x=0$, puis plus lente loin de $O$. Le signe de $\theta'$ est celui de $x'$, et non celui de $x$. Un objet situé à $x<0$ qui se rapproche de $O$ peut donc avoir $\theta<0$ et $\theta'>0$.

Exemple résolu 2 — Une caméra au bord d'une route

Une caméra se trouve à $30\,\mathrm m$ d'une route. À un instant donné, l'objet suivi est à $x=40\,\mathrm m$ et avance dans le sens positif à $x'=5\,\mathrm{m/s}$. À quelle vitesse angulaire la caméra tourne-t-elle?

Relier et dériver. Partez de $\tan\theta=x/30$, sans remplacer $x$ par $40$ avant de dériver. On obtient $\sec^2\theta\,\theta'=x'/30$.

Évaluer. À cet instant, $\tan\theta=4/3$, donc $\sec^2\theta=1+16/9=25/9$. Ainsi,

$$\theta'=\frac{5/30}{25/9}=\frac{30(5)}{30^2+40^2}=0{,}06\,\mathrm{rad/s}.$$

Interpréter. L'angle signé augmente au taux de $0{,}06$ radian par seconde. Il s'agit d'un taux instantané : cela ne signifie pas que la caméra tournera exactement de $0{,}06$ radian pendant la seconde suivante.

Vérification indépendante. L'objet est à $\sqrt{30^2+40^2}=50$ mètres de la caméra. La composante de sa vitesse perpendiculaire à la ligne de visée vaut $5(30/50)=3\,\mathrm{m/s}$. La vitesse angulaire est cette vitesse transversale divisée par la distance : $3/50=0{,}06\,\mathrm{rad/s}$. Pour une réponse en degrés, multipliez le résultat final par $180/\pi$, ce qui donne environ $3{,}44^\circ/\mathrm s$.

Entraînement : quatre exercices progressifs

Conservez les hypothèses idéales précédentes. Essayez chaque exercice avant d'ouvrir l'indice ou la solution, et précisez si votre réponse est un taux signé ou une vitesse en valeur absolue.

Avant de poursuivre

Posez-vous trois questions : Depuis quel point cette distance est-elle mesurée? Quel est le sens positif? Le taux demandé est-il linéaire ou angulaire? Pour les ombres, conservez $y=x+s$. Pour le suivi d'un objet, définissez l'angle et utilisez les radians. Dans les deux cas, un modèle cohérent et une interprétation claire comptent autant que la dérivée.