Oscillations d’un ressort : construire le mouvement à partir de l’état initial

1. Lire le modèle et la question

Un bloc de masse $m=0{,}50\,\mathrm{kg}$ est relié à un ressort horizontal idéal de raideur $k=2{,}0\,\mathrm{N/m}$, dont l’autre extrémité est fixe. Le ressort respecte la loi de Hooke pendant tout le mouvement étudié. Négligez frottement, amortissement et excitation extérieure. Mesurez l’élongation $x$ depuis l’équilibre, positivement vers la droite. La vitesse $v$ est algébrique : une valeur positive indique un mouvement vers la droite. L’accélération est $a$, et le temps $t$ est compté depuis l’instant initial précisé.

À $t=0$,

Déterminez l’équation du mouvement et l’instant du premier passage à l’équilibre après $t=0$, puis la vitesse algébrique lors de ce passage.

Les forces verticales s’équilibrent. Horizontalement, la force de rappel du ressort vaut $-kx$. La deuxième loi de Newton donne donc

Ici, $\omega$ est la pulsation de l’oscillation; $T=2\pi/\omega$ est la période, soit la durée d’un cycle complet. Au départ, $a_0=-0{,}120\,\mathrm{m/s^2}$. Le bloc se déplace vers la droite en ralentissant. Il atteint d’abord un point de rebroussement à droite avant de revenir à l’équilibre. Les formules à accélération constante ne conviennent pas : l’accélération varie avec la position.

2. Utiliser les deux conditions initiales

Pour ce mouvement harmonique simple libre, on peut écrire

Les constantes $C,D$ sont des longueurs. À $t=0$, le cosinus vaut 1 et le sinus vaut 0. Ainsi, $C=x_0$ et $D=v_0/\omega$, soit $C=0{,}030\,\mathrm m$ et $D=0{,}040\,\mathrm m$.

Avec le temps numérique $t$ exprimé en secondes,

Substituez $t=0$ pour vérifier les deux conditions initiales. Écrire seulement $x=x_0\cos(\omega t)$ imposerait une vitesse initiale nulle, contrairement à l’énoncé.

3. Trouver l’amplitude et la phase

On peut aussi écrire $x=A\cos(\omega t+\phi)$. L’amplitude $A\ge0$ est la plus grande valeur absolue de l’élongation; $\phi$ est la phase à l’instant initial choisi. Utilisons la formule d’addition du cosinus :

Comparons les coefficients avec $x=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t)$ : $C=A\cos\phi$ et $D=-A\sin\phi$. Le signe moins vient de la formule d’addition du cosinus. Puisque $\cos^2\phi+\sin^2\phi=1$, on obtient $C^2+D^2=A^2$, donc

Ici, $\cos\phi>0$ et $\sin\phi<0$ : choisissons donc une phase dans le quatrième quadrant. L’angle de référence est $\alpha=\arctan(0{,}8/0{,}6)=\arctan(4/3)\approx0{,}9273\,\mathrm{rad}$. Avec $\phi=-\alpha$, on obtient

L’élongation initiale n’est pas l’amplitude lorsque la vitesse initiale est non nulle. Utiliser seulement $\arccos(0{,}6)$ donnerait une phase positive et le mauvais signe de vitesse initiale. Des phases qui diffèrent de $2\pi$ décrivent le même mouvement.

4. Choisir le premier passage futur

À l’équilibre, $x=0$. Pour $x=A\cos(\omega t+\phi)$ avec $A>0$, le cosinus s’annule lorsque $\omega t+\phi=\pi/2+n\pi$, où $n$ est un entier quelconque. Ici, $\omega=2{,}0\,\mathrm{rad/s}$ et $\phi=-\alpha$. Avec $t$ en secondes, on obtient donc

Retenez le plus petit $t>0$, pas une racine quelconque. Ici, $n=-1$ donne un temps négatif; $n=0$ donne le premier passage futur :

À ce passage,

Le bloc se déplace vers la gauche. Son premier point de rebroussement à droite arrive plus tôt, à $t=\alpha/2\approx0{,}464\,\mathrm s$, conformément au sens initial prévu.

5. Comprendre ce que l’énergie permet de trouver

Pour ce système idéal, l’énergie mécanique reste constante :

À un point de rebroussement, le bloc est momentanément au repos : toute l’énergie est stockée dans le ressort. Ainsi, $A=\sqrt{2E/k}=0{,}050\,\mathrm m$. À l’équilibre, l’énergie potentielle du ressort est nulle et $E=\tfrac12mv^2$, d’où $|v|=\sqrt{2E/m}=0{,}100\,\mathrm{m/s}$. Comme l’énergie contient $v^2$, elle donne la valeur absolue de la vitesse, mais pas le sens du mouvement. L’équation du mouvement nous indique que le premier passage se fait vers la gauche, à $t\approx1{,}249\,\mathrm s$.

6. Essayer deux changements indépendants

Question 1 — Inverser la vitesse initiale.

Conservez la position initiale, la masse et la raideur d’origine, mais imposez $v_0=-0{,}080\,\mathrm{m/s}$. Prévoyez si l’amplitude et l’instant du premier passage changent, puis calculez cet instant et la vitesse algébrique au passage.

Indice : modifier le coefficient du sinus.

Seul $D=v_0/\omega$ change de signe. Vérifiez le sinus et le cosinus de la nouvelle phase.

Solution : même amplitude, autre sens initial.

Le nouveau mouvement est

$$\begin{aligned}x&=0{,}030\cos(2t)\\&\quad-0{,}040\sin(2t) \\&=0{,}050\cos(2t+\alpha).\end{aligned}$$

L’amplitude reste $0{,}050\,\mathrm m$, la période reste $\pi\,\mathrm s$, et l’énergie reste $0{,}00250\,\mathrm J$. Le bloc se dirige maintenant directement vers l’équilibre :

$$t_{\mathrm{premier}}=\frac{\pi/2-\alpha}{2} \approx0{,}3218\,\mathrm s.$$

Il passe avec $v=-0{,}100\,\mathrm{m/s}$. Une énergie et une amplitude identiques n’imposent pas les mêmes instants de passage.

Ouvrir le graphique comparatif en grand

Reprendre le point de départ avec un tuteur

Partez d’une question d’oscillations qui vous bloque, ou demandez à revoir le sens de la position, de la vitesse et de la phase. Votre tuteur peut vous aider à choisir la référence d’équilibre, à interpréter le sens initial, à construire les deux équations des conditions initiales et à vérifier le premier événement à l’aide d’un croquis. Essayez ensuite un autre état initial, avec de l’aide au besoin. Votre plan de cours actuel peut aider à choisir une approche algébrique ou fondée sur le calcul différentiel. Les séances sont actuellement offertes en anglais. Le soutien pour votre sujet et les disponibilités sont confirmés avant la réservation.