Tutorat 201-MA2-DW · Dawson

Une densité doit être positive ou nulle et avoir une aire totale égale à 1. Utilisez $t^2/9$ comme primitive de $2t/9$ et vérifiez-la en la dérivant. Pour un intervalle, évaluez la primitive à la borne supérieure, puis soustrayez sa valeur à la borne inférieure. Un temps exact correspond à un intervalle de largeur nulle.

1. Lire la densité et ses unités

   La densité est positive ou nulle sur $[0,3]$, et nulle ailleurs. Sur cet intervalle, son graphique est une droite croissante, de hauteur 0 à $t=0$ et de hauteur $2/3$ par minute à $t=3$.

   Sur un petit intervalle, la densité multipliée par la largeur de l’intervalle donne une approximation de la probabilité. Les unités s’annulent : par minute multiplié par des minutes donne un nombre sans unité. L’intégrale définie additionne ces contributions sur l’intervalle.

2. Vérifier que l’aire totale vaut un

   La règle des puissances donne la primitive $t^2/9$, car sa dérivée est $2t/9$. Le théorème fondamental du calcul donne alors

   $$\int_0^3 \frac{2t}{9}\,dt=\left[\frac{t^2}{9}\right]_0^3=1.$$

   Les crochets signifient « valeur à la borne supérieure moins valeur à la borne inférieure ». La densité positive ou nulle et l’aire totale égale à 1 définissent ensemble un modèle de probabilité continue valide. Géométriquement, cette aire est celle d’un triangle de base 3 minutes et de hauteur $2/3$ par minute : $\tfrac12(3)(2/3)=1$.

3. Traduire l’intervalle d’attente par des bornes

   En notant $\Pr$ la probabilité, l’événement « entre 1 et 2 minutes » donne

   $$\Pr(1\le T\le2)=\int_1^2\frac{2t}{9}\,dt.$$

   Évaluez aux deux bornes : $2^2/9-1^2/9=4/9-1/9=1/3$. La probabilité est d’un tiers, soit environ 33,3 %. Soustraire la valeur à la borne inférieure retire la probabilité accumulée avant 1 minute.

4. Vérifier le résultat avec le graphique

   Entre 1 et 2, la région sous la droite est un trapèze de largeur 1 minute et de hauteurs $f(1)=2/9$ et $f(2)=4/9$ par minute. Son aire est $\tfrac12(2/9+4/9)(1)=1/3$, ce qui confirme l’intégrale.

   Multiplier seulement la densité à droite par la largeur donnerait $4/9$, une surestimation ici puisque la densité croît sur l’intervalle. Le calcul par l’aire du trapèze est exact parce que cette densité est linéaire.

5. Distinguer une densité d’une probabilité ponctuelle

   À 2 minutes, la densité vaut $f(2)=4/9$ par minute. La probabilité de ce temps exact est $\Pr(T=2)=0$ : l’intégrale de 2 à 2 donne une aire nulle.

   Dans ce modèle continu, inclure ou exclure une borne ne change pas la probabilité de l’intervalle. Un temps enregistré et arrondi à « 2 minutes » représenterait un intervalle de temps réels; il faudrait connaître cet intervalle d’arrondissement pour en calculer la probabilité.