Tutorat en calcul intégral et séries — Calculus II en ligne

Reconnaître la structure avant la technique

Une intégrale indéfinie demande toutes les primitives par rapport à la variable $x$. Comparez $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ et $\int x\cos x\,dx$. Quel indice permet de choisir le point de départ?

Le raisonnement

Dans la première intégrale, la dérivée de l’expression intérieure $x^2$ est le facteur $2x$ déjà présent. Introduisez la variable de substitution $u=x^2$, d’où $du=2x\,dx$. L’intégrale devient $\int\cos u\,du=\sin u+C$, puis $\sin(x^2)+C$, où $C$ est une constante arbitraire. Dans la seconde, intégrez par parties : choisissez $u=x$ et $dv=\cos x\,dx$, d’où $du=dx$ et $v=\sin x$. Alors $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$. Les lettres de ce second calcul désignent de nouveaux choix. Dérivez chaque réponse pour la vérifier.

Des termes qui tendent vers zéro ne suffisent pas

Soit $n$ un entier positif qui indexe les termes $a_n=1/n$. Ces termes tendent vers zéro. La série harmonique $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ converge-t-elle?

La convergence signifie que les sommes partielles, obtenues en additionnant les premiers termes en nombre fini, tendent vers un nombre fini. Gardons les termes dans leur ordre et regroupons-les après le $1$ initial : d’abord $1/2$, puis $1/3+1/4$, puis les quatre termes de $1/5$ à $1/8$.

Chaque terme d’un groupe est au moins égal à l’inverse du dernier dénominateur. Le premier groupe vaut $1/2$; le suivant vaut au moins $2\cdot(1/4)=1/2$; le groupe de quatre termes vaut au moins $4\cdot(1/8)=1/2$.

Chaque nouveau groupe double le nombre de termes et le dernier dénominateur : sa somme reste donc au moins égale à $1/2$. Après $k$ groupes, où $k$ est un entier positif, la somme partielle vaut au moins $1+k/2$. Ces sommes augmentent sans borne : la série harmonique diverge, même si $a_n$ tend vers zéro.

Une limite nulle des termes est nécessaire à la convergence, mais elle ne suffit pas. Quand cette limite vaut zéro, le critère de divergence du terme général ne permet pas de conclure; il faut un autre argument.

À vous de jouer : Avec le même indice entier positif $n$, posons $b_n=1/(2n)$. La somme infinie de ces termes converge-t-elle? Utilisez l’exemple de la série harmonique.

Préparer votre séance

Apportez deux ou trois intégrales dont le point de départ était incertain. Pour chacune, repérez l’expression intérieure d’une fonction composée et cherchez sa dérivée dans l’intégrande. Si vous choisissez l’intégration par parties, indiquez d’abord ce que vous allez dériver et ce que vous allez intégrer.

Exemple original de Nablio, non tiré d’un examen universitaire. Votre plan de cours détermine la matière à travailler.