Tutorat 201-MA1-DW Dawson : calcul I en sciences humaines

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Le cours 201-MA1-DW à Dawson relie les limites et les dérivées aux applications en sciences humaines, dont l’analyse marginale et l’optimisation. L’exemple ci-dessous vous aide à distinguer un taux moyen d’un taux marginal, puis à construire et à maximiser une fonction de profit.

Notions à travailler pour 201-MA1-DW

Limites et continuitéDérivées et étude de courbesAnalyse marginaleOptimisation

Difficultés fréquentes

Distinguer coût total, taux de variation moyen et coût marginal, avec les bonnes unités
Construire une fonction de profit et justifier son maximum parmi les quantités permises

Se préparer à ce cours

Utilisez ces exercices pour interpréter la dérivée d’une fonction de coût, puis choisir une quantité à produire. Commencez par remplacer une variable dans un polynôme du second degré, développer des parenthèses et résoudre une équation du premier degré. Suivez l’exemple dans l’ordre : coût total, taux de variation moyen, coût marginal, puis variation exacte. Essayez ensuite le problème de profit sans ouvrir la solution. Une apostrophe, comme dans $C^\prime(q)$ , désigne une dérivée par rapport à $q$ .

Conditions d’inscription

Selon la liste des cours de Dawson, 201-MA1-DW ne peut pas remplacer 201-NYA-05. Vérifiez les conditions d’inscription de votre programme auprès de Dawson.

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Du coût total au coût marginal

Exercice original. Un atelier modélise son coût total pour une journée par $C(q)=200+8q+0{,}02q^2$ , en dollars canadiens, où $q$ est le nombre d’articles produits ce jour-là et $0\le q\le100$ . Traitez $q$ comme une variable continue pour dériver; la production réelle se fait en articles entiers. Calculez d’abord $C(40)$ et le taux de variation moyen du coût lorsque la production passe de 40 à 45 articles. Trouvez ensuite $C^\prime(40)$ et expliquez ses unités. Utilisez-le pour estimer le coût supplémentaire du passage de 40 à 41 articles, puis calculez ce coût supplémentaire exactement. Pourquoi l’estimation et la variation exacte diffèrent-elles?

Voir un indice

Un taux moyen est une variation du coût divisée par une variation de la quantité : $[C(45)-C(40)]/(45-40)$ . Pour la dérivée, appliquez la règle des puissances à chaque terme. Pour estimer une variation du coût, multipliez le coût marginal par la variation de la quantité. Gardez cette estimation distincte de la soustraction $C(41)-C(40)$ .

Voir le raisonnement

Lire les valeurs du coût
Le terme constant donne $C(0)=200$ : le modèle prévoit un coût de 200 dollars canadiens même si aucun article n’est produit. Pour 40 articles, $C(40)=200+8(40)+0{,}02(40)^2=552$ . Le coût total de cette journée est donc de 552 dollars canadiens.
Pour 45 articles, $C(45)=200+360+40{,}50=600{,}50$ . Ces résultats sont des sommes d’argent; aucun n’est un taux.
Calculer le taux moyen sur cinq articles supplémentaires
$\frac{C(45)-C(40)}{45-40}=\frac{600{,}50-552}{5}=9{,}70.$
Les cinq articles supplémentaires ajoutent 48,50 dollars canadiens au coût total, soit une augmentation moyenne de 9,70 dollars canadiens par article supplémentaire. Sur le graphique du coût, ce taux est la pente de la sécante reliant les deux points. Diviser le coût total par la quantité totale donnerait une autre grandeur : le coût moyen par article à un niveau de production donné.
Trouver le coût marginal pour 40 articles
La dérivée de la constante est nulle, celle de $8q$ est 8 et celle de $0{,}02q^2$ est $0{,}04q$ . Ainsi, $C^\prime(q)=8+0{,}04q$ , donc $C^\prime(40)=9{,}60$ . L’unité est le dollar canadien par article.
Cette dérivée est la pente de la tangente pour 40 articles. Elle décrit le taux local auquel le coût du modèle varie avec la quantité. Pour estimer une petite variation du coût, on multiplie ce taux par la variation de la quantité.
Relier la dérivée à une variation de plus en plus petite
Notons $h\ne0$ une variation du nombre d’articles, avec $40+h$ toujours compris entre 0 et 100. En développant le modèle, on obtient $C(40+h)-C(40)=9{,}60h+0{,}02h^2$ . Par conséquent,
$\frac{C(40+h)-C(40)}{h}=9{,}60+0{,}02h.$
Lorsque $h$ tend vers zéro, ce taux moyen tend vers 9,60, ce qui confirme la dérivée. Pour $h=5$ , la même expression donne 9,70, comme dans le calcul sur cinq articles. Le modèle continu permet de prendre cette limite même si les articles réels se comptent en nombres entiers.
Comparer l’estimation au coût exact de l’article suivant
Pour un article supplémentaire, l’estimation par la dérivée est $C^\prime(40)\times1=9{,}60$ dollars canadiens. Le calcul exact donne $C(41)=200+328+33{,}62=561{,}62$ , donc $C(41)-C(40)=9{,}62$ dollars canadiens.
L’estimation est inférieure de deux cents. Dans le développement précédent, l’estimation linéaire conserve $9{,}60h$ et omet $0{,}02h^2$ , qui vaut 0,02 pour $h=1$ . Le coût marginal augmente aussi avec la quantité : la pente de la tangente au départ sous-estime donc l’augmentation du coût sur cet intervalle positif. Distinguez les deux résultats : 9,60 dollars canadiens pour l’estimation et 9,62 dollars canadiens pour l’augmentation exacte selon ce modèle.

À vous : choisir la quantité qui maximise le profit

Gardez la même fonction de coût et les quantités permises $0\le q\le100$ . Tous les articles sont vendus au prix $p(q)=20-0{,}10q$ dollars canadiens par article. (1) Écrivez le revenu $R(q)$ et le profit $\Pi(q)$ , tous deux en dollars canadiens pour la journée. (2) Vérifiez le profit pour 40 articles. (3) Trouvez la quantité qui donne le plus grand profit sur tout l’intervalle permis, justifiez ce maximum et indiquez le prix ainsi que le profit correspondants. Commencez par multiplier le prix d’un article par le nombre vendu, puis soustrayez le coût total.

Vérifier votre raisonnement

Construire la grandeur à maximiser
Le revenu est le prix multiplié par la quantité : $R(q)=q(20-0{,}10q)=20q-0{,}10q^2$ . Le profit est le revenu moins le coût total :
$\Pi(q)=-0{,}12q^2+12q-200.$
Pour 40 articles, $p(40)=16$ , $R(40)=640$ et $C(40)=552$ . Le profit est donc de $640-552=88$ dollars canadiens. Il faut conserver le coût fixe de 200 dans la soustraction pour obtenir le bon profit.
Trouver et justifier la meilleure quantité
On dérive : $\Pi^\prime(q)=12-0{,}24q$ . En annulant cette dérivée, on obtient $q=50$ , qui appartient à l’intervalle permis. La dérivée est positive pour $0<q<50$ et négative pour $50<q<100$ . Le profit croît jusqu’à 50, puis décroît : 50 donne donc le maximum global.
Aux bornes, $\Pi(0)=-200$ et $\Pi(100)=-200$ , tandis que $\Pi(50)=100$ . Ces valeurs confirment la comparaison sur l’intervalle fermé. Résoudre seulement $\Pi^\prime(q)=0$ ne suffirait pas à justifier un maximum.
Revenir au prix, au coût et au profit
Pour 50 articles, $p(50)=15$ dollars canadiens par article. Le revenu vaut $R(50)=750$ et le coût, $C(50)=650$ . Le profit quotidien maximal est donc de 100 dollars canadiens. La quantité optimale est déjà entière; elle résout aussi le problème de production en articles entiers.
Pour vérifier le raisonnement, $R^\prime(50)=10=C^\prime(50)$ : le revenu marginal égale le coût marginal à cet optimum intérieur. Le changement de signe de la dérivée et l’intervalle permis expliquent pourquoi cette égalité correspond ici au maximum.

Comparer le coût marginal et une variation exacte de coût Commencez par les deux premières sections sur le coût total, le coût moyen par unité et l’estimation marginale. La leçon utilise un autre modèle de coût : lisez ses coefficients et son domaine avant de calculer.
Vérifier une règle de dérivation Utilisez ce diagnostic si le modèle économique est clair, mais que la dérivation vous pose problème.

Comment le tutorat aide

Apportez une question de coût ou de profit, même si vous ne savez pas quelle fonction dériver. Votre tuteur peut vous aider à choisir une première étape ou à revoir un calcul déjà commencé, que la difficulté vienne du développement algébrique, de la règle de dérivation ou du sens économique de la fonction. Vous pouvez comparer une sécante à une tangente, expliquer les unités en dollars par article, puis construire ensemble une fonction de profit. Terminez en modifiant un coefficient et en justifiant vous-même le nouveau maximum.

Préparation aux examens de 201-MA1-DW

Construisez une courte série progressive : évaluer une fonction, calculer un taux moyen, interpréter une dérivée, puis résoudre un problème d’optimisation. Dans chaque application, précisez la variable, les unités et l’intervalle permis avant de calculer. Au deuxième essai, cachez la solution et expliquez pourquoi le maximum est valide. Ajoutez des limites, des questions de continuité ou des études de courbes tirées des chapitres que vous révisez.

Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.

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Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

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