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Collège André-Grasset · 201-SN2-RE

Tutorat en calcul différentiel pour André-Grasset 201-SN2-RE

Une courbe peut continuer à monter pendant que sa pente diminue. Apprenez à distinguer ces deux idées, suivez l’exemple, puis essayez un modèle dont la tangente horizontale ne correspond ni à un maximum ni à un minimum.

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Votre cours de calcul différentiel à André-Grasset

À André-Grasset, le cours 201-SN2-RE, Calcul différentiel, utilise les limites et les dérivées pour analyser des fonctions et des modèles scientifiques. Ce guide porte sur les signes des dérivées première et seconde pour expliquer la croissance, les extremums et la concavité.

Utilisez votre plan de cours actuel pour choisir les autres notions à réviser.

Notions du cours

  • Limites et dérivées
  • Taux de variation et croissance des fonctions
  • Extremums et concavité
  • Comportements asymptotiques et modèles scientifiques

Donner un rôle à chaque dérivée

On note tt le temps et B(t)B(t) la quantité modélisée. Si le modèle est deux fois dérivable, B′(t)B^{\prime}(t) mesure la variation de la quantité. Sur un intervalle où cette dérivée est positive, la quantité augmente; sur un intervalle où elle est négative, la quantité diminue. La dérivée seconde B′′(t)B^{\prime\prime}(t) mesure la variation de la dérivée première. Une dérivée seconde négative signifie que la courbe est concave vers le bas, même sur un intervalle où la quantité augmente encore.

Deux conclusions à justifier

  • Une valeur négative de B′′(t)B^{\prime\prime}(t) ne signifie pas que B(t)B(t) diminue. Pour le savoir, vérifiez le signe de B′(t)B^{\prime}(t).
  • Une dérivée première nulle indique un point stationnaire. Vérifiez les signes de part et d’autre avant de conclure à un maximum ou à un minimum local.

Un taux peut diminuer pendant que la biomasse augmente

Un modèle simplifié de biomasse est B(t)=20+12t−2t2B(t)=20+12t-2t^2 pour 0≤t≤40\le t\le4. Ici, tt est la valeur numérique du temps en jours et B(t)B(t), celle de la biomasse en grammes. Déterminez quand la biomasse augmente et diminue, expliquez la concavité et trouvez la plus grande biomasse sur cet intervalle. Au jour 2, la biomasse diminue-t-elle déjà?

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Calculez séparément B′(t)B^{\prime}(t) et B′′(t)B^{\prime\prime}(t). Résolvez B′(t)=0B^{\prime}(t)=0, puis vérifiez le signe de la dérivée première de chaque côté. Pour trouver la plus grande valeur sur tout l’intervalle, comparez la valeur au point stationnaire intérieur avec celles aux deux bornes.

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  1. 1. Distinguer les deux taux

    En dérivant une première fois, puis une seconde fois, on obtient B′(t)=12−4tB^{\prime}(t)=12-4t et B′′(t)=−4.B^{\prime\prime}(t)=-4. La dérivée première est le taux de variation de la biomasse en grammes par jour. La dérivée seconde est la variation de ce taux par jour, en grammes par jour carré.

  2. 2. Utiliser les signes de la dérivée première

    La dérivée première est nulle à t=3t=3. Elle est positive pour 0<t<30<t<3 et négative pour 3<t<43<t<4. La biomasse augmente donc jusqu’au jour 3, puis diminue. Le passage du signe positif au signe négatif établit un maximum local au jour 3.

  3. 3. Interpréter la concavité

    La dérivée seconde est négative sur tout l’intervalle 0<t<40<t<4. La courbe est donc concave vers le bas à l’intérieur de l’intervalle du modèle. Au jour 2, B′(2)=4B^{\prime}(2)=4 : la biomasse augmente encore à un taux de 4 g/jour. Son taux de variation diminue, ce qui ne signifie pas que la biomasse elle-même diminue. Il n’y a pas de point d’inflexion ici, puisque la concavité ne change pas.

  4. 4. Comparer les valeurs de la biomasse

    Le polynôme est continu sur l’intervalle fermé. Comparez ses valeurs aux bornes avec celle au point stationnaire intérieur : B(0)=20,B(3)=38,B(4)=36.\begin{aligned}B(0)&=20,\\B(3)&=38,\\B(4)&=36.\end{aligned} La plus grande biomasse du modèle est de 38 g au jour 3. La valeur B′(3)=0B^{\prime}(3)=0 indique un taux nul à cet instant; elle ne signifie pas que la biomasse est nulle.

À vous : une tangente horizontale indique-t-elle toujours un extremum?

Considérez un autre modèle simplifié de biomasse, C(t)=30+(t−2)3C(t)=30+(t-2)^3, pour 0≤t≤40\le t\le4. Ici encore, tt est la valeur numérique du temps en jours et C(t)C(t), celle de la biomasse en grammes. Calculez les deux dérivées. Au jour 1, la biomasse peut-elle augmenter pendant que la courbe est concave vers le bas? Au jour 2, y a-t-il un extremum local, un point d’inflexion, les deux ou aucun des deux? Enfin, trouvez la plus grande biomasse sur tout l’intervalle.

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Mettez la dérivée première sous forme factorisée et comparez son signe de part et d’autre de 2. Vérifiez ensuite si la dérivée seconde change de signe. Une valeur nulle de l’une ou l’autre dérivée ne suffit pas à déterminer la nature du point.

Vérifier chaque étape

  1. 1. Dériver et interpréter le jour 1

    Les dérivées sont C′(t)=3(t−2)2C^{\prime}(t)=3(t-2)^2 et C′′(t)=6(t−2).C^{\prime\prime}(t)=6(t-2). Au jour 1, C′(1)=3C^{\prime}(1)=3 g/jour et C′′(1)=−6C^{\prime\prime}(1)=-6 g/jour². La biomasse augmente pendant que son taux diminue; la courbe est donc concave vers le bas à cet endroit.

  2. 2. Déterminer la nature du point stationnaire

    Au jour 2, C′(2)=0C^{\prime}(2)=0. De part et d’autre de 2, le carré donne C′(t)>0C^{\prime}(t)>0. La biomasse augmente avant et après ce point stationnaire : ce n’est donc ni un maximum local ni un minimum local. Une tangente horizontale ne suffit pas à établir un extremum.

  3. 3. Vérifier le changement de concavité

    Pour 0<t<20<t<2, la dérivée seconde est négative; pour 2<t<42<t<4, elle est positive. Au jour 2, la courbe passe d’une concavité vers le bas à une concavité vers le haut. Comme C(2)=30C(2)=30, la courbe possède un point d’inflexion stationnaire en (2,30)(2,30). Ici, « stationnaire » signifie que la tangente est horizontale, et « inflexion » signifie que la concavité change.

  4. 4. Inclure les bornes

    Le modèle est croissant sur tout l’intervalle, avec une seule tangente horizontale. Les valeurs à comparer sont C(0)=22,C(2)=30,C(4)=38.\begin{aligned}C(0)&=22,\\C(2)&=30,\\C(4)&=38.\end{aligned} La plus grande biomasse est de 38 g au jour 4, à une borne de l’intervalle. En résolvant seulement C′(t)=0C^{\prime}(t)=0, on la manquerait.

Si les signes vous ont posé problème, repérez les zéros de la dérivée et testez une valeur dans chaque intervalle ainsi délimité, à l’intérieur du domaine du modèle. Si c’est l’interprétation qui vous a bloqué, écrivez deux phrases distinctes : ce que fait la biomasse et ce que fait son taux de variation.

Étudier les signes avec un tuteur

Apportez un exercice que vous avez le droit de partager, même si vous ne l’avez pas commencé. Vous pouvez choisir ensemble la première étape ou reprendre un calcul déjà essayé. Votre tuteur peut vous aider à distinguer la fonction, la dérivée première et la dérivée seconde, à préciser leurs unités et à construire un tableau de signes avec une valeur d’essai dans chaque intervalle.

Votre tuteur peut vous demander d’expliquer la courbe à voix haute : où elle monte, où sa pente diminue et pourquoi un point stationnaire est ou n’est pas un extremum. Ensemble, déplacez une borne de l’intervalle et discutez de l’effet sur la plus grande valeur avant de refaire les calculs.

Préparer une révision ciblée

Suivez les notions et les consignes d’évaluation de votre groupe. Faites un tableau de signes de dérivée première, un exercice qui distingue croissance et concavité, puis une recherche d’extremum absolu avec les bornes. Justifiez chaque conclusion par les signes obtenus. Reprenez ensuite un exercice sur un autre intervalle et comparez vos conclusions.

Pratique autonome

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Information sur le cours à André-Grasset

Avant de demander une séance

Puis-je demander de l’aide sans connaître le code du cours?

Oui. Indiquez le sujet à travailler. Vous pouvez joindre un exercice et ce que vous avez commencé, mais ce n’est pas nécessaire pour demander de l’aide. Ajoutez le code ou le plan de cours si vous l’avez.

Peut-on revoir l’algèbre avant de travailler les dérivées?

Oui. Nous pouvons commencer par la factorisation, les signes et les calculs avec des polynômes, puis revenir à la question de calcul différentiel. Vous pouvez apporter une question ou demander au tuteur de choisir un premier exemple avec vous.

Comment se déroulent les séances?

Les séances sont individuelles et se déroulent actuellement en anglais, sur Zoom ou Google Meet. Le tutorat en personne à Montréal est offert sur demande; le lieu, la disponibilité et le prix sont convenus avant la réservation.

Comment fixer l’heure d’une séance?

Envoyez vos disponibilités. Nous confirmerons la disponibilité du tuteur et conviendrons de la date, de l’heure, du format et du prix total avant le paiement. La réservation est confirmée par écrit.

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