Avant le calcul : 10 compétences en algèbre à maîtriser

Nablio · 12 minPublié le 11 septembre 2026

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Le calcul introduit le changement et l’accumulation, mais bien des problèmes qui semblent difficiles reposent sur de l’algèbre familière. Une erreur de fraction, de signe ou de domaine peut masquer un raisonnement pourtant juste.

Essayez chaque question avant d’ouvrir la réponse. En cas d’erreur, repérez l’étape précise, puis résolvez un exercice semblable sans regarder la solution. Le but est un raisonnement fiable, pas la vitesse.

1. Manipuler les fractions

Une fraction représente une division. Pour additionner ou soustraire, utilisez un dénominateur commun. Pour multiplier, multipliez les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Gardez les valeurs exactes jusqu’à la fin.

Exemple expliqué

$\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}\text{.}$ Pour diviser : $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{8}\text{.}$ On inverse le diviseur, pas les deux fractions.

À éviter. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ ne vaut pas $\frac{2}{5}$ . Il faut des parts de même taille avant de les compter ensemble.

À vous d’essayer

Calculez $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$ .

Voir la réponse et le raisonnement

En douzièmes : $\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\text{.}$

2. Développer sans perdre les signes

La distributivité s’applique à chaque terme entre parenthèses. Un signe moins devant une parenthèse revient à multiplier tout son contenu par $-1$ .

Exemple expliqué

$\begin{aligned}3(2x-5)-2(x+4)\;&=6x-15-2x-8\\&=4x-23\end{aligned}\text{.}$ La ligne intermédiaire rend les erreurs de signe visibles.

À éviter. Distribuer seulement au premier terme, ou écrire $-2(x+4)=-2x+8$ .

À vous d’essayer

Simplifiez $5-2(3x-4)$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$5-6x+8=13-6x\text{.}$

3. Reconnaître les factorisations utiles

Factoriser transforme une somme en produit. Cherchez d’abord un facteur commun, puis une différence de carrés ou un trinôme. Développez le résultat pour le vérifier.

Exemple expliqué

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\text{,}$ car $-2$ et $-3$ ont pour produit 6 et pour somme $-5$ . Aussi, $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\text{.}$

À éviter. $(a+b)(a-b)$ donne $a^2-b^2$ et non $a^2+b^2$ .

À vous d’essayer

Factorisez $3x^2-12x$ .

Voir la réponse et le raisonnement

Mettez $3x$ en évidence : $3x(x-4)$ .

4. Résoudre une équation par opérations équilibrées

Effectuer la même opération valide des deux côtés conserve l’équivalence. Développez, regroupez les termes, puis divisez par le coefficient non nul de l’inconnue.

Exemple expliqué

$2(x-3)+5=3x-4$ devient $2x-1=3x-4$ , donc $x=3$ . La substitution donne $5=5$ .

À éviter. Déplacer un terme sans comprendre l’addition ou la soustraction effectuée des deux côtés.

À vous d’essayer

Résolvez $3(x+2)=2x+11$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$3x+6=2x+11$ . Soustrayez $2x$ puis 6 pour obtenir $x=5$ .

5. Conserver toutes les solutions du second degré

Une équation du second degré peut avoir deux solutions réelles distinctes, une solution double ou aucune solution réelle. La factorisation est pratique lorsqu’elle est accessible; la formule quadratique est plus générale.

Exemple expliqué

$x^2-x-6=0$ devient $(x-3)(x+2)=0$ . Au moins un facteur est nul, donc $x=3$ ou $x=-2$ .

À éviter. Diviser par $x$ peut faire perdre la solution $x=0$ . Vérifiez ce cas avant de diviser.

À vous d’essayer

Résolvez $x^2=25$ dans les réels.

Voir la réponse et le raisonnement

$x=5$ ou $x=-5$ . Les deux ont pour carré 25. Ce n’est pas la même question que calculer la racine carrée principale de 25.

6. Utiliser correctement puissances et racines

Pour une base non nulle, un exposant négatif signifie un inverse. Pour multiplier des puissances de même base, additionnez les exposants; pour élever une puissance à une puissance, multipliez-les.

Exemple expliqué

$\frac{x^3x^{-1}}{x^2}=x^{3-1-2}=1\text{,}$ avec $x\ne0$ . De même, $\sqrt{49}=7$ , tandis que $x^2=49$ admet deux solutions réelles.

À éviter. Pour $x$ réel, $\sqrt{x^2}=|x|$ , pas toujours $x$ . La racine carrée principale est non négative.

À vous d’essayer

Simplifiez $(2a^3)^2$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$4a^6$ : le coefficient et la puissance sont tous les deux élevés au carré.

7. Conserver les restrictions lors d’une simplification

On simplifie des facteurs communs, pas des termes isolés dans une somme. Notez les valeurs exclues par le dénominateur initial avant de simplifier.

Exemple expliqué

$\begin{aligned}\frac{x^2-9}{x-3}&=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\&=x+3\end{aligned}\text{,}$ pour $x\ne3$ . La nouvelle formule ne rend pas l’expression initiale définie en 3.

À éviter. On ne peut pas supprimer les $x$ dans $\frac{x+2}{x}$ : le numérateur est une somme.

À vous d’essayer

Simplifiez $\frac{x^2-4}{x+2}$ en précisant la restriction.

Voir la réponse et le raisonnement

$x-2$ , avec $x\ne-2$ . Factorisez le numérateur, puis simplifiez le facteur commun $x+2$ .

8. Comprendre fonctions, compositions et domaines

Une fonction associe une sortie à chaque entrée permise. Son domaine contient les entrées pour lesquelles la formule a un sens. Composer signifie substituer, et non multiplier.

Exemple expliqué

Si $f(x)=x^2+1$ et $g(x)=2x-3$ , alors $f(g(x))=(2x-3)^2+1$ . Pour $h(x)=\sqrt{x-2}$ , les valeurs réelles exigent $x\ge2$ .

À éviter. $f(x+1)$ n’est généralement pas $f(x)+1$ . Remplacez chaque occurrence de l’entrée avant de simplifier.

À vous d’essayer

Si $f(x)=x^2+1$ , calculez $f(-3)$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$(-3)^2+1=10\text{.}$ Les parenthèses montrent que toute l’entrée négative est élevée au carré.

9. Relier exponentielles et logarithmes

Le logarithme inverse l’exponentielle correspondante. Pour $a$ positif et différent de 1, $\log_a(b)=c$ signifie $a^c=b$ . Dans les réels, l’argument d’un logarithme doit être positif.

Exemple expliqué

$e^{2x}=7$ donne $2x=\ln 7$ , puis $x=\frac{\ln 7}{2}$ . Garder cette réponse exacte évite un arrondi inutile.

À éviter. Il n’existe pas de règle $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ . Pour $a$ et $b$ positifs, la règle du produit est $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .

À vous d’essayer

Résolvez $\log_2 x=5$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$x=2^5=32$ , une valeur qui respecte la condition de positivité.

10. Calculer pentes et taux moyens

Une pente compare une variation de sortie à une variation d’entrée. Gardez le même ordre de soustraction. Les unités comptent : des mètres divisés par des secondes donnent des mètres par seconde.

Exemple expliqué

Pour $f(x)=x^2$ , le taux moyen entre $x=1$ et $x=3$ vaut $\begin{aligned}\frac{f(3)-f(1)}{3-1}&=\frac{9-1}{2}\\&=4\end{aligned}\text{.}$ C’est la pente d’une sécante, pas nécessairement le taux à chaque point.

À éviter. Diviser les valeurs de sortie plutôt que leurs différences, ou inverser une seule des soustractions.

À vous d’essayer

Trouvez la pente passant par $(2,5)$ et $(6,13)$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$\frac{13-5}{6-2}=\frac{8}{4}=2\text{.}$

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Classez chaque compétence : à l’aise, besoin d’un rappel, ou à travailler. Ces catégories ne prédisent pas une note.
Si les fractions, les signes ou les équations sont fragiles, commencez par là : ces outils servent partout.
Expliquez les étapes à voix haute, vérifiez par substitution ou développement, puis reprenez les erreurs plus tard sans notes.

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