Avant le calcul : 10 compétences en algèbre à maîtriser

Nablio · 30 min · guide principalPublié le 11 septembre 2026

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Le calcul introduit le changement et l’accumulation, mais bien des problèmes qui semblent difficiles reposent sur de l’algèbre familière. Une erreur de fraction, de signe ou de domaine peut masquer un raisonnement pourtant juste.

Essayez chaque question avant d’ouvrir la réponse. En cas d’erreur, repérez l’étape précise, puis résolvez un exercice semblable sans regarder la solution. Le but est un raisonnement fiable, pas la vitesse.

Nombres négatifs : une courte révision avant l’algèbre

Si les signes négatifs vous bloquent en algèbre, faites une pause ici. Cette section facultative permet de travailler d’abord avec les nombres, puis de revenir à une expression contenant une lettre. Vous pouvez passer directement aux bases de l’algèbre si ces étapes vous sont déjà familières.

Dans $-4$ , le signe moins fait partie d’un nombre négatif. Dans $5-4$ , il indique une soustraction. Les parenthèses distinguent les deux usages : $5-(-4)$ signifie soustraire le nombre $-4$ . Zéro n’est ni positif ni négatif.

1 Additionner et soustraire sur une droite numérique

Partez du premier nombre. Ajouter un nombre positif fait avancer vers la droite; ajouter un nombre négatif fait avancer vers la gauche. La distance à parcourir correspond à la distance entre le nombre ajouté et zéro. Pour soustraire un nombre, ajoutez plutôt son opposé : l’opposé de $-4$ est $4$ .

Exemple résolu 1 : même départ, directions différentes

$-2-4=-2+(-4)=-6.$

Soustraire $4$ revient à ajouter $-4$ . Partez de $-2$ et avancez de 4 unités vers la gauche.

$-2-(-4)=-2+4=2.$

Soustraire $-4$ annule l’effet d’ajouter $-4$ : avancez donc de 4 unités vers la droite.

Sur les deux droites numériques, le déplacement commence à moins 2. Ajouter moins 4 fait avancer de quatre unités vers la gauche, jusqu’à moins 6. Soustraire moins 4, ou ajouter 4, fait avancer de quatre unités vers la droite, jusqu’à 2. — Le point de départ reste le même. Remplacez la soustraction par l’addition de l’opposé avant de choisir une direction.

Vérifiez l’opération : deux nombres négatifs ne donnent pas toujours une réponse positive. Pour l’addition, $-2+(-4)=-6$ ; n’appliquez pas ici la règle de multiplication.

2 Multiplier et diviser : choisir le signe séparément

Pour deux nombres non nuls, multipliez ou divisez d’abord leurs distances à zéro. Choisissez ensuite le signe : des signes identiques donnent un résultat positif; des signes différents donnent un résultat négatif.

Pourquoi deux facteurs négatifs peuvent-ils donner un produit positif? Multiplier par $-1$ donne l’opposé : l’opposé de $-4$ est $4$ . Par exemple, $(-3)(-4)$ est l’opposé de $3(-4)=-12$ , donc vaut $12$ .

Exemple résolu 2 : vérifier une division par multiplication

$(-3)(-4)=12,\qquad 12\div(-3)=-4.$

Le produit est positif, car les facteurs ont le même signe. Le quotient est négatif, car les deux nombres ont des signes différents. Vérifiez la division en multipliant : $(-3)(-4)=12$ .

Zéro multiplié par n’importe quel nombre donne zéro. Zéro divisé par un nombre non nul donne zéro. La division par zéro n’est pas définie.

3 Garder la valeur substituée entre parenthèses

Calculez d’abord à l’intérieur des parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et divisions de gauche à droite, et enfin les additions et soustractions de gauche à droite.

Exemple résolu 3 : substituer une valeur négative

Évaluez $2x^2-3$ lorsque $x=-2$ :

$2(-2)^2-3=2(4)-3=8-3=5.$

Toute la valeur $-2$ est élevée au carré : $(-2)^2=(-2)(-2)=4$ .

Repérez la base : $-2^2=-(2^2)=-4$ , mais $(-2)^2=4$ . Sans parenthèses, le carré s’applique avant le signe moins placé devant. De même, $-a^2$ signifie $-(a^2)$ ; $(-a)^2$ élève au carré toute la base $-a$ .

À vous : quatre courtes questions

Choisissez une question, essayez-la sur papier, puis ouvrez l’indice ou la solution.

Calculez $-5+8$ .
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Partez de $-5$ . Ajouter $8$ fait avancer de 8 unités vers la droite.
Voir la solution
$-5+8=3$ . Cinq unités vous amènent à zéro; les trois suivantes vous amènent à $3$ .
Calculez $4-(-3)$ .
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Remplacez la soustraction de $-3$ par l’addition de son opposé.
Voir la solution
$4-(-3)=4+3=7$ . Partez de $4$ et avancez de 3 unités vers la droite.
Calculez $(-18)\div3\times(-2)$ .
Voir un indice
La multiplication et la division ont la même priorité. Procédez de gauche à droite.
Voir la solution
$(-18)\div3=-6$ , puis $(-6)(-2)=12$ . La réponse est $12$ . Ne multipliez pas d’abord $3$ par $-2$ : aucune parenthèse ne regroupe ces facteurs dans l’expression.
Lorsque $a=-3$ , évaluez $-a^2$ et $(-a)^2$ .
Voir un indice
Réécrivez la première expression sous la forme $-(a^2)$ . Dans la seconde, toute l’expression $-a$ constitue la base.
Voir la solution
$-a^2=-((-3)^2)=-9$ . Pour la seconde, $-a=-(-3)=3$ , donc $(-a)^2=3^2=9$ . Les parenthèses changent ce qui est élevé au carré.

Revenez aux bases de l’algèbre et essayez de nouveau une valeur négative. Si les fractions vous bloquent ensuite, passez aux fractions, une étape à la fois.

Commencer par les bases de l’algèbre

Si les lettres dans une équation vous semblent encore peu familières, commencez ici. Vous apprendrez à lire une expression, à regrouper des termes semblables et à résoudre une équation une étape à la fois. Vous aurez besoin de l’addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division. Une variable est une lettre qui représente un nombre. Dans ces exemples, les variables représentent des nombres réels.

Prenez un crayon et essayez chaque question avant d’ouvrir sa réponse. Vérifier une réponse fait partie de la résolution.

Un signe négatif vous bloque? Revoyez les opérations avec les nombres négatifs, puis revenez à cette étape.

1 Lire l’expression avant de calculer

L’expression $3x+2$ signifie « multiplier $x$ par 3, puis ajouter 2 ». L’écriture $3x$ veut dire $3\times x$ . On peut évaluer une expression lorsqu’on connaît la valeur de $x$ . Une équation, comme $3x+2=14$ , affirme que deux expressions ont la même valeur.

Exemple résolu : évaluer $3x+2$ lorsque $x=4$ .

$3(4)+2=12+2=14.$

Les parenthèses montrent où la valeur de $x$ a été placée. Gardez-les pour une valeur négative : si $x=-2$ , alors $3(-2)+2=-6+2=-4$ .

À vous : évaluez $5a-3$ lorsque $a=2$ .

Voir la réponse

$5(2)-3=10-3=7$ . On multiplie avant de soustraire.

Nouvel essai : évaluez $2b+5$ lorsque $b=-3$ .

Voir la réponse au nouvel essai

$2(-3)+5=-6+5=-1$ .

2 Regrouper les termes semblables

Des termes semblables ont la même partie variable. Quatre fois $x$ plus deux fois $x$ donnent six fois $x$ . Un terme constant est un nombre sans variable.

Exemple résolu :

$\begin{aligned} 4x+3+2x-5&=(4x+2x)+(3-5)\\ &=6x-2. \end{aligned}$

On peut regrouper $4x$ et $2x$ , puis 3 et $-5$ . On ne peut pas transformer $6x-2$ en $4x$ : les deux termes n’ont pas la même partie variable.

À vous : simplifiez $7y-2+3y+6$ .

Voir la réponse

$10y+4$ . Les termes en $y$ donnent $7y+3y=10y$ , et les constantes donnent $-2+6=4$ .

Nouvel essai : simplifiez $8p-3p+1-4$ .

Voir la réponse au nouvel essai

$5p-3$ .

3 Conserver l’égalité entre les deux membres

Une équation ressemble à une balance. Ajouter le même nombre aux deux membres, soustraire le même nombre des deux membres ou multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre non nul conserve l’équilibre.

Commencez par $x+5=12$ . Soustrayez 5 des deux membres pour obtenir $x=7$ . Vérification : $7+5=12$ .

Exemple résolu : résoudre $3x-4=11$ .

$\begin{aligned} 3x-4+4&=11+4\\ 3x&=15\\ x&=5. \end{aligned}$

On ajoute 4 pour annuler la soustraction de 4, puis on divise les deux membres par 3 pour annuler la multiplication par 3. Vérifiez dans l’équation initiale : $3(5)-4=11$ .

À vous : résolvez $2x+7=19$ , puis vérifiez votre réponse.

Voir la réponse

soustrayez 7 pour obtenir $2x=12$ , puis divisez par 2 : $x=6$ . Vérification : $2(6)+7=19$ .

Nouvel essai : résolvez $-2x=10$ .

Voir la réponse au nouvel essai

divisez les deux membres par $-2$ : $x=-5$ . Vérification : $(-2)(-5)=10$ .

4 Traiter les parenthèses et la division

Dans $2(x+3)=14$ , toute l’expression $x+3$ est multipliée par 2. En divisant d’abord les deux membres par 2, on obtient $x+3=7$ , donc $x=4$ . Vérification : $2(4+3)=14$ .

Exemple résolu : résoudre $\frac{x-1}{3}=4$ .

$\begin{aligned} x-1&=12\\ x&=13. \end{aligned}$

Multiplier les deux membres par 3 annule la division par 3. Ajouter ensuite 1 donne 13. Vérification : $(13-1)/3=12/3=4$ . La barre de fraction divise tout le numérateur $x-1$ .

À vous : résolvez $\frac{x+2}{4}=3$ .

Voir la réponse

multipliez les deux membres par 4 : $x+2=12$ . Soustrayez 2 : $x=10$ . Vérification : $(10+2)/4=3$ .

Nouvel essai : résolvez $3x+5=2x+12$ .

Voir la réponse au nouvel essai

soustrayez $2x$ des deux membres pour obtenir $x+5=12$ . Soustrayez 5 : $x=7$ . Les deux membres de l’équation initiale valent alors 26.

Une courte application

Un rectangle mesure 7 cm de long et son périmètre est de 22 cm. Sa largeur est de $w$ cm. Le périmètre correspond à la distance totale autour du rectangle, donc

$2(7)+2w=22.$

Soustrayez 14 pour obtenir $2w=8$ , puis divisez par 2 : $w=4$ . La largeur est de 4 cm. Vérifiez en additionnant les quatre côtés : $7+4+7+4=22$ cm.

Construire une équation à partir d’un problème écrit

La difficulté arrive parfois avant la résolution : l’équation n’est pas donnée. Commencez par nommer une grandeur inconnue, exprimez les autres à l’aide de celle-ci, puis utilisez un total ou une égalité de l’énoncé pour les relier. L’équation modélise la situation. Sa résolution donne une réponse candidate; la vérification dans l’énoncé permet de décider si elle convient.

Nommez l’inconnue et son unité. Précisez ce que la lettre mesure ou compte. Déterminez si elle peut être un nombre réel positif ou si elle doit être un nombre entier.
Traduisez la relation. « 4 cm de plus que la largeur » signifie ajouter 4 à la largeur exprimée en centimètres. « Le double de la largeur, plus 1 cm » signifie multiplier la largeur par 2, puis ajouter 1.
Écrivez ce qui est égal. Pour un périmètre, additionnez les quatre côtés. Pour un prix total, additionnez le prix de chaque groupe. Les deux membres doivent représenter le même type de grandeur, dans les mêmes unités.
Résolvez et vérifiez l’énoncé. Appliquez les mêmes opérations aux deux membres, retrouvez chaque quantité demandée, puis vérifiez la relation et le total.

Exemple résolu : aucun côté n’est donné

Un rectangle a un périmètre de 32 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 4 cm. Trouvez ses deux dimensions.

Soit $w$ la valeur numérique de la largeur en centimètres. La longueur, en centimètres, vaut alors $w+4$ . Les valeurs permises satisfont $w>0$ ; les dimensions ne doivent pas nécessairement être entières. Le nombre 4 représente un écart de 4 cm, et non quatre fois la largeur.

Rectangle dont deux côtés opposés mesurent w centimètres et dont les deux autres mesurent w plus 4 centimètres. Les quatre côtés totalisent 32 centimètres. — Les deux largeurs mesurent $w$ cm; les deux longueurs mesurent $(w+4)$ cm. Le schéma représente la relation, pas des dimensions mesurées.

Il y a deux longueurs et deux largeurs. Leurs valeurs numériques en centimètres totalisent 32 :

$2w+2(w+4)=32.$

Les parenthèses sont essentielles : chacune des deux longueurs comprend les 4 cm supplémentaires. Développez et résolvez :

$2w+2w+8=32$

$4w+8=32$

$4w=24$

$w=6.$

La largeur est de 6 cm et la longueur est de $6+4=10$ cm. Les deux sont positives. Leur différence vaut $10-6=4$ cm et le périmètre vaut $2(6)+2(10)=32$ cm. Vérifier seulement le périmètre ne vérifierait pas la condition « 4 cm de plus ».

Erreur de mise en équation fréquente : $2w+2w+4=32$ compte les 4 cm supplémentaires une seule fois. Écrivez les deux longueurs séparément, $(w+4)+(w+4)$ , avant de regrouper les termes. L’expression $w(w+4)$ représente plutôt une aire en centimètres carrés; elle ne peut pas être égale à un périmètre en centimètres.

Nouvel essai guidé : traduire une autre relation

Un deuxième rectangle a un périmètre de 44 cm. Sa longueur dépasse de 1 cm le double de sa largeur. Soit de nouveau $w$ la valeur numérique de la largeur en centimètres, avec $w>0$ . Exprimez la longueur en fonction de $w$ , écrivez l’équation du périmètre, puis trouvez les deux dimensions.

Voir un indice de mise en équation

« Le double de la largeur » donne $2w$ ; ajouter 1 cm donne $2w+1$ . Ce n’est pas $2(w+1)$ , qui ajoute 1 avant de doubler. Comptez maintenant deux largeurs et deux longueurs.

Voir la solution et les vérifications

$2w+2(2w+1)=44$

$6w+2=44$

$6w=42$

$w=7.$

La largeur est de 7 cm et la longueur est de $2(7)+1=15$ cm. La relation est respectée : $15=2(7)+1$ . Le périmètre vaut $2(7)+2(15)=44$ cm et les deux dimensions sont positives.

Problème autonome : un total dans un autre contexte

Un événement scolaire vend exactement 22 billets. Chaque billet au tarif ordinaire coûte 8 $ CA et chaque billet à tarif réduit coûte 5 $ CA. Les recettes de billetterie sont exactement de 140 $ CA. Il n’y a aucune autre catégorie de billets, aucun supplément et aucune autre réduction. Combien de billets de chaque catégorie ont été vendus? Définissez une inconnue, exprimez l’autre nombre de billets à l’aide de celle-ci, écrivez une équation, puis vérifiez les deux totaux.

Voir la solution et les vérifications

Soit $r$ le nombre de billets au tarif ordinaire. Il y a $22-r$ billets à tarif réduit : les deux nombres doivent totaliser 22. Le domaine est l’ensemble des entiers de 0 à 22 inclusivement, car les billets se comptent individuellement et aucun des deux nombres ne peut être négatif.

Le prix par billet multiplié par le nombre de billets donne les recettes de ce groupe. En exprimant les recettes en dollars canadiens, on obtient

$8r+5(22-r)=140$

$8r+110-5r=140$

$3r+110=140$

$3r=30$

$r=10.$

Il y a 10 billets au tarif ordinaire et $22-10=12$ billets à tarif réduit. Vérifiez le nombre total : $10+12=22$ . Vérifiez les recettes : $8(10)+5(12)=80+60=140$ dollars canadiens. Les deux nombres de billets sont des entiers positifs ou nuls. Ici, $5r$ donnerait le prix d’un autre groupe de $r$ billets, plutôt que celui des $22-r$ billets restants.

Un nombre non entier de billets ne se corrige pas en arrondissant : il indiquerait que les totaux exacts et les prix ne conviennent pas au modèle. Revérifiez la mise en équation et les données de l’énoncé.

Avant de continuer : expliquez ce que chaque terme compte ou mesure. Un calcul juste ne corrige pas une équation qui décrit mal la situation.

Pour un problème écrit qui vous bloque, le tutorat d’algèbre et de précalcul peut commencer par le choix de l’inconnue et la construction de l’équation ensemble, à partir d’un exemple comme ceux-ci. Nous pouvons partir des notions de base et avancer étape par étape pour vous aider à gagner en confiance. Indiquez votre niveau et votre sujet pour que nous confirmions le soutien possible et les disponibilités avant la réservation. Les séances se déroulent actuellement en anglais.

Choisir la prochaine notion à travailler

Si les fractions vous bloquent, passez à Manipuler les fractions dans ce même guide.
Si les signes changent quand vous ouvrez les parenthèses, passez à Développer sans perdre les signes.
Si les équations restent difficiles, passez à Résoudre une équation par opérations équilibrées.
Si vous pouvez expliquer chaque étape ci-dessus, essayez la leçon Points, pente et graphiques de droites.
Pour travailler les longueurs et les angles, passez à Triangles rectangles : longueurs et angles.

Les compétences suivantes du guide préparent au précalcul. Travaillez-les lorsqu’elles apparaissent dans votre cours; les logarithmes et la composition de fonctions ne sont pas nécessaires pour pratiquer les premières équations ci-dessus.

Tutorat d’algèbre et de précalcul

Inéquations du premier degré : décrire toutes les valeurs permises

Une équation cherche les valeurs pour lesquelles deux expressions sont égales. Une inéquation les compare. Ici, $x$ est un nombre réel : $x<3$ signifie inférieur à 3, tandis que $x\leq3$ signifie inférieur ou égal à 3. De même, $x>3$ signifie supérieur à 3 et $x\geq3$ inclut 3. L’ensemble-solution contient toutes les valeurs qui rendent l’inéquation initiale vraie.

Utilisez les opérations équilibrées travaillées plus haut. Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés conserve le sens de l’inégalité. Multiplier ou diviser les deux côtés par un nombre positif le conserve aussi. Multiplier ou diviser les deux côtés par un nombre négatif inverse ce sens.

Exemple résolu 1 : une borne exclue

Résolvez $x+2<5$ . Soustrayez 2 des deux côtés :

$x<3.$

La réponse comprend tous les réels inférieurs à 3, plutôt qu’un seul nombre. Un cercle vide en 3 exclut la borne; la demi-droite va vers la gauche, vers les valeurs plus petites. Vérifiez une valeur de l’ensemble : $x=2$ donne $4<5$ , ce qui est vrai. Une valeur extérieure, $x=4$ , donne $6<5$ , ce qui est faux. À la borne, $x=3$ donne $5<5$ , également faux. Ces vérifications illustrent l’ensemble; les opérations algébriques réversibles établissent la solution complète.

Pourquoi un facteur négatif inverse la comparaison

Partez de $2<5$ . En multipliant les deux nombres par $-1$ , on obtient $-2>-5$ : la réflexion par rapport à zéro inverse leur ordre sur la droite numérique. Plus généralement, si $a<b$ , alors $b-a>0$ . Pour un nombre négatif $c$ , la différence $cb-ca=c(b-a)$ est négative, donc $ca>cb$ . Ici, $a,b,c$ sont réels et $c<0$ . Diviser par un nombre négatif revient à multiplier par son inverse, qui est négatif; le sens s’inverse donc aussi. L’égalité reste incluse avec les symboles $\leq$ et $\geq$ .

Exemple résolu 2 : inverser le sens et inclure la borne

Résolvez $-2x+1\leq5$ . Soustrayez 1, puis divisez les deux côtés par $-2$ :

$\begin{aligned}-2x&\leq4\\x&\geq-2.\end{aligned}$

La réponse comprend tous les réels supérieurs ou égaux à $-2$ . Un cercle plein inclut $-2$ , et la demi-droite va vers la droite. Vérifiez $x=0$ , dans l’ensemble : $1\leq5$ est vrai. Vérifiez $x=-3$ , à l’extérieur : $7\leq5$ est faux. Pour $x=-2$ , $5\leq5$ est vrai; la borne appartient donc à l’ensemble.

Deux droites numériques : x inférieur à 3, avec un cercle vide en 3 et une demi-droite vers la gauche; x supérieur ou égal à moins 2, avec un cercle plein en moins 2 et une demi-droite vers la droite. — Un cercle vide exclut la borne; un cercle plein l’inclut. La flèche indique que les solutions continuent au-delà du dessin.

Pratiquer un choix à la fois

Pour les questions 1 à 3, $x$ est réel. Donnez l’ensemble-solution, précisez si la borne est incluse et vérifiez une valeur de l’ensemble et une valeur extérieure. À la question 4, respectez le domaine de dénombrement indiqué.

1. Résolvez $x+4\leq7$ .

Voir la réponse 1

Soustrayez 4 : $x\leq3$ . Placez un cercle plein en 3 et une demi-droite vers la gauche. Dans l’ensemble : $x=2$ donne $6\leq7$ . À l’extérieur : $x=4$ donne $8\leq7$ , faux. Pour 3, il y a égalité.

2. Résolvez $x/3>2$ .

Voir la réponse 2

Multipliez par 3, positif, en conservant le sens : $x>6$ . Placez un cercle vide en 6 et une demi-droite vers la droite. Dans l’ensemble : $x=9$ donne $3>2$ . À l’extérieur : $x=3$ donne $1>2$ , faux. Pour 6, $2>2$ est faux.

3. Résolvez $5-2x>11$ .

Voir la réponse 3

Soustrayez 5 pour obtenir $-2x>6$ . Divisez par $-2$ et inversez le sens : $x<-3$ . Placez un cercle vide en $-3$ et une demi-droite vers la gauche. Dans l’ensemble : $x=-4$ donne $13>11$ . À l’extérieur : $x=0$ donne $5>11$ , faux. La borne donne $11>11$ , faux.

4. Un atelier facture 5 CAD de frais fixes et 3 CAD par trousse. Votre budget total est de 20 CAD. Soit $n$ le nombre de trousses, un entier positif ou nul. Écrivez l’inéquation du budget et trouvez toutes les valeurs permises de $n$ .

Voir la réponse 4

En exprimant le coût total en CAD, le budget impose $5+3n\leq20$ . Soustrayez 5 et divisez par 3, positif : $n\leq5$ . Combinez ce résultat avec le domaine de dénombrement : $n\in\{0,1,2,3,4,5\}$ . Ce sont des valeurs entières distinctes, plutôt qu’une demi-droite continue. Cinq trousses coûtent $5+3(5)=20$ CAD et respectent le budget; six coûtent $23$ CAD et le dépassent. Un nombre négatif de trousses est exclu par le contexte, même s’il satisfait l’inéquation algébrique.

Avant de continuer : expliquez pourquoi le sens change lorsqu’on divise par un nombre négatif, puis reliez le symbole à la borne et au sens de la demi-droite.

Approfondissement facultatif : la valeur absolue est une distance

Abordez ce prolongement après les exemples d’inéquations du premier degré. Prévoyez environ 15 minutes supplémentaires. Toutes les variables ci-dessous sont réelles, sauf lorsqu’un sens physique impose une restriction.

La valeur absolue |u| est la distance entre u et zéro sur une droite numérique. Une distance n’est jamais négative : |−3|=3, |3|=3 et |0|=0. Les barres ne signifient pas « effacer tous les signes moins » : calculez d’abord l’expression entière à l’intérieur. Par exemple, pour x=1, $|x-4|=|1-4|=|-3|=3$ .

Plus généralement, |x−a| est la distance entre x et a. Si cette distance est au plus égale à un nombre positif r, alors x doit appartenir à l’intervalle allant de a−r à a+r, les deux bornes étant incluses :

$|x-a|\leq r\quad\Longleftrightarrow\quad a-r\leq x\leq a+r,\qquad r>0.$

Les deux inégalités se lisent avec et : elles doivent être vraies en même temps. Au contraire, |x−a|>r signifie que la distance dépasse r, donc x<a−r ou x>a+r. Ce sont deux régions extérieures, et non l’intervalle entre les bornes. Remplacer « au plus » par « strictement moins » exclut les bornes intérieures; remplacer « strictement plus » par « au moins » inclut les bornes extérieures.

Exemple résolu : l’expression est le double de la distance

Résolvez $|2x-6|\leq4$ . Puisque $2x-6=2(x-3)$ et $|2(x-3)|=2|x-3|$ , la distance entre x et 3 est au plus égale à 2. On peut aussi trouver les bornes sans les deviner :

$-4\leq2x-6\leq4.$

Ajoutez 6 aux trois membres, puis divisez chaque membre par le nombre positif 2 :

$2\leq2x\leq10\qquad\Longrightarrow\qquad1\leq x\leq5.$

L’intervalle solution est $[1;5]$ . Les crochets tournés vers l’intérieur incluent les bornes. Vérifiez-les dans l’énoncé initial : $|2(1)-6|=4$ et $|2(5)-6|=4$ . La valeur intérieure x=3 donne 0; la valeur extérieure x=6 donne 6 et ne convient pas. Ces vérifications appuient l’algèbre, mais ne remplacent pas le raisonnement valable pour toutes les valeurs.

Deux droites numériques centrées en 3. Une distance au plus égale à 2 colore l’intervalle fermé de 1 à 5. Une distance strictement supérieure à 2 colore les régions sous 1 et au-dessus de 5, avec des bornes ouvertes. — À l’intérieur, les deux bornes doivent être respectées; à l’extérieur, l’une ou l’autre région convient. Un point plein est inclus et un point vide est exclu.

Vérifier le membre de droite avant de séparer les cas

Un nombre négatif ne peut pas être une distance. Ainsi, |u|=−2 et |u| ≤ −2 n’ont aucune solution, tandis que |u| ≥ −2 est vraie pour toute valeur où u est défini. À zéro, |u|=0 ou |u| ≤ 0 impose u=0; |u|<0 est impossible; |u|>0 impose u ≠ 0; et |u| ≥ 0 est toujours vraie sur le domaine initial. Conservez toutes les restrictions provenant de l’expression entre les barres.

Essayer les quatre questions · Revenir aux inéquations du premier degré

Quatre étapes pour pratiquer distances et inéquations

1. Trouver le centre, puis décider des bornes

Résolvez $|x+2|<3$ . Précisez le centre, les deux bornes et leur inclusion ou exclusion.

Voir un indice

Écrivez $x+2=x-(-2)$ . À quel point la distance est-elle nulle?

Voir la solution expliquée

Le centre est −2. Une distance strictement inférieure à 3 donne $-3<x+2<3$ , donc $-5<x<1$ . En notation d’intervalle, cela donne $]-5;1[$ ; les crochets tournés vers l’extérieur excluent les deux bornes. À chacune des bornes, la distance vaut exactement 3, et non strictement moins que 3.

2. Garder les deux branches extérieures séparées

Résolvez $|3-2x|\geq5$ . Expliquez pourquoi « et » donnerait le mauvais ensemble solution.

Voir un indice

Posez $u=3-2x$ . La condition est u ≤ −5 ou u ≥ 5. Chaque branche demande son propre calcul d’inéquation.

Voir la solution expliquée

La première branche est $3-2x\leq-5$ , donc $-2x\leq-8$ et x ≥ 4. La deuxième est $3-2x\geq5$ , donc $-2x\geq2$ et x ≤ −1. Diviser par −2 inverse chaque inégalité. La réponse est x ≤ −1 ou x ≥ 4, soit $]-\infty;-1]\cup[4;+\infty[$ . L’infini n’est pas une valeur qu’on peut inclure : le crochet y est toujours ouvert. Pour x=−1 et x=4, la valeur absolue vaut 5. Pour x=0, elle vaut seulement 3. Exiger à la fois x ≤ −1 et x ≥ 4 donnerait à tort un ensemble vide.

3. Reconnaître une distance impossible

Sans séparer l’énoncé en deux branches algébriques, résolvez $|x-4|=-2$ et $|x-4|\geq-2$ . Résolvez ensuite $|x-4|=0$ .

Voir un indice

Quelle est la plus petite valeur possible de $|x-4|$ ?

Voir la solution expliquée

L’expression entre les barres est définie pour tout réel x, et sa valeur absolue est positive ou nulle. Elle ne peut pas être égale à −2 : la première équation n’a donc aucune solution. Toute valeur positive ou nulle est au moins égale à −2; l’inéquation est donc vraie pour tout réel. Une distance nulle se produit uniquement pour x=4. Écrire $x-4=\pm(-2)$ pour la première équation créerait de fausses réponses candidates : x=2 et x=6 donnent toutes deux une valeur absolue de 2, et non −2.

4. Traduire une tolérance en intervalle

Dans ce modèle original, une bande doit mesurer 18 cm. Elle est acceptée lorsque sa longueur diffère de 18 cm d’au plus 0,4 cm, limite incluse. Soit L sa longueur numérique en centimètres, avec L>0. Écrivez une condition avec une valeur absolue et l’intervalle accepté. Décidez si les longueurs 17,58 cm et 18,35 cm sont acceptées. Considérez les longueurs indiquées comme exactes pour cet exercice.

Voir un indice

« Diffère de » demande une distance, que la bande soit trop courte ou trop longue.

Voir la solution expliquée

La condition est $|L-18|\leq0{,}4$ . Elle devient $-0{,}4\leq L-18\leq0{,}4$ , puis $17{,}6\leq L\leq18{,}4$ . Toutes les valeurs de cet intervalle sont positives; la restriction physique n’exclut donc rien de plus. Pour 17,58 cm, $|17{,}58-18|=0{,}42>0{,}4$ : la bande est refusée. Pour 18,35 cm, $|18{,}35-18|=0{,}35\leq0{,}4$ : elle est acceptée. N’arrondissez pas 17,58 à 17,6 avant la vérification : cela changerait la valeur indiquée et la décision. Les bornes 17,6 et 18,4 cm sont acceptées, puisque la règle dit « au plus ».

Avant de continuer : précisez si les valeurs permises sont à l’intérieur, à l’extérieur, un seul point, tout le domaine initial ou aucune valeur. Vérifiez ensuite les bornes dans la condition initiale.

Révision variée facultative : choisir la méthode

Choisissez une question utile pour vous. Les indices et réponses sont là pour vous guider; cette révision sert à choisir la prochaine étape à travailler. Vous pouvez aussi passer directement à une leçon ou demander du tutorat.

Question 1

Trouvez le réel $x$ qui vérifie $\frac34x+2=8$ . Vérifiez l’équation initiale.

Voir un indice

Annulez l’addition avant d’annuler la multiplication par une fraction.

Voir la réponse expliquée

Soustrayez 2 des deux côtés : $\frac34x=6$ . Multipliez les deux côtés par $\frac43$ : $x=8$ . Vérifiez : $\frac34(8)+2=6+2=8$ . Multiplier un seul côté ferait perdre l’égalité.

Revoir les équations avec fractions

Question 2

Un atelier coûte 4 CAD, plus 2 CAD par objet. Vous avez 13 CAD. Soit $n$ le nombre d’objets, un entier positif ou nul. Quelles valeurs de $n$ respectent votre budget?

Voir un indice

Écrivez « le coût total ne dépasse pas le budget », puis utilisez le domaine de dénombrement.

Voir la réponse expliquée

En exprimant les coûts en CAD, on obtient $4+2n\leq13$ , donc $n\leq4{,}5$ . Les nombres permis sont $n\in\{0,1,2,3,4\}$ . Quatre objets coûtent 12 CAD; cinq coûtent 14 CAD. Une fraction d’objet est exclue du domaine indiqué; arrondir vers le haut dépasserait donc le budget.

Revoir les ensembles-solutions des inéquations

Question 3

Une droite passe par $(1,4)$ et $(3,10)$ . Les coordonnées sont sans unité. Trouvez une équation $y=mx+b$ , où $m$ est la pente et $b$ l’ordonnée à l’origine. Le point $(2,7)$ appartient-il à cette droite?

Voir un indice

Divisez la variation de la deuxième coordonnée par celle de la première, puis remplacez les coordonnées par celles d’un point.

Voir la réponse expliquée

$m=(10-4)/(3-1)=3$ . Avec $(1,4)$ , $4=3(1)+b$ , donc $b=1$ et $y=3x+1$ . Le deuxième point donné se vérifie : $3(3)+1=10$ . Pour $x=2$ , $y=7$ ; le point $(2,7)$ appartient donc à la droite. La pente est un rapport de variations, plutôt que le rapport $y/x$ en un point.

Revoir les points, la pente et les équations

Question 4

Un triangle rectangle a des côtés perpendiculaires de 5 cm et 12 cm. Soit $\theta$ l’angle aigu opposé au côté de 5 cm. Trouvez l’hypoténuse et $\theta$ en degrés. Un triangle semblable double toutes les longueurs : quelle est son aire?

Voir un indice

Utilisez les deux côtés perpendiculaires pour Pythagore; choisissez un rapport relatif à l’angle nommé. L’aire varie selon le carré du facteur des longueurs.

Voir la réponse expliquée

L’hypoténuse vaut $\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm. Comme $\tan\theta=5/12$ , $\theta=\arctan(5/12)\approx22{,}62^\circ$ . Utilisez le mode degrés. Aire initiale : $5(12)/2=30$ cm². Doubler les longueurs multiplie l’aire par $2^2=4$ , soit 120 cm²; directement, $10(24)/2=120$ cm².

Revoir les méthodes du triangle rectangle

Revoir le facteur d’échelle des aires

Question 5

Pour la fonction sans unité $y=(x-2)^2-9$ , d’entrée réelle $x$ , trouvez le sommet et tous les zéros. Expliquez pourquoi le sommet est un minimum.

Voir un indice

Un carré est positif ou nul. Pour trouver les zéros, annulez la valeur de la fonction et gardez les deux possibilités de racine.

Voir la réponse expliquée

Le carré est minimal pour $x=2$ , où $y=-9$ ; le sommet est $(2,-9)$ . En posant $y=0$ , on obtient $(x-2)^2=9$ , donc $x-2=3$ ou $x-2=-3$ : les zéros sont 5 et −1. Les deux donnent $9-9=0$ dans l’expression initiale. Le carré étant toujours positif ou nul, $y\geq-9$ .

Revoir les formes quadratiques et les zéros

Transfert facultatif : prix du billet et fréquentation

Pour un événement scolaire fictif, le modèle prévoit 120 acheteurs à 8 $ CA le billet. Chaque hausse entière de 0,50 $ réduit la prévision de cinq acheteurs. Chaque acheteur prend un billet. Ce sont des prévisions, pas des ventes garanties.

Soit $x$ le nombre de hausses entières, avec $x\ge0$ . Ainsi, $x=2$ ajoute 1 $, sans signifier un billet à 2 $. Il faut au moins 95 acheteurs prévus. Les recettes s’entendent avant dépenses. Essayez avant d’ouvrir les réponses.

Modéliser et comparer les choix

Exprimez le prix $p$ ($ CA/billet) et les acheteurs prévus $N$ selon $x$ . Donnez le domaine initial; pourquoi $x=2{,}5$ est-il interdit?
Résolvez l’inéquation de fréquentation minimale. Énumérez les valeurs permises. Expliquez l’effet d’une division par un nombre négatif.
Écrivez les recettes $R=pN$ , en dollars canadiens, puis développez cette expression quadratique.
Faites un tableau des prix, acheteurs et recettes permis. Tracez les recettes selon $x$ par points séparés, avec axes et unités nommés.
Quel choix admissible maximise les recettes prévues? Donnez le prix, la fréquentation et les recettes correspondantes. Expliquez pourquoi ces recettes ne sont pas un bénéfice.
Un prix plus élevé produit-il toujours plus de recettes dans ce modèle? Justifiez à l’aide de deux choix permis.

Indices : expressions, fréquentation et comparaison

Partez de $x=0$ . Une hausse augmente le prix et diminue les acheteurs.
Une fréquentation minimale signifie $N\ge95$ . Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.
Comparez les entiers permis, pas tous les réels entre les bornes. Le prix le plus élevé ne donne pas nécessairement le produit maximal.

Solution : six choix, tableau et graphique

On obtient $p=8+0{,}5x$ et $N=120-5x$ , avec $x$ entier positif ou nul. La valeur $x=2{,}5$ représente deux hausses et demie, soit 1,25 $ de plus. Les demi-hausses sont interdites; arrondir changerait le choix.

Soustrayez 120, puis divisez par $-5$ en inversant le sens de l’inégalité :

$\begin{aligned}120-5x&\ge95\\-5x&\ge-25\\x&\le5.\end{aligned}$

Avec la condition d’entier, on obtient $x\in\{0,1,2,3,4,5\}$ . Par exemple, $x=6$ prévoit seulement 90 acheteurs et est exclu.

Multipliez le prix par billet par le nombre de billets, puis regroupez les termes linéaires :

$\begin{aligned}R(x)&=(8+0{,}5x)(120-5x)\\&=960-40x+60x-2{,}5x^2\\&=960+20x-2{,}5x^2.\end{aligned}$

Tous les choix permis avec un minimum de 95 acheteurs
Hausses $x$	Prix ($ CA/billet)	Acheteurs	Recettes ($ CA)
0	8,00	120	960,00
1	8,50	115	977,50
2	9,00	110	990,00
3	9,50	105	997,50
4	10,00	100	1 000,00
5	10,50	95	997,50

Chaque hausse vaut 0,50 $ CA. L’axe des recettes commence à 950 $ CA. Seuls les six points admissibles sont tracés; les valeurs intermédiaires de

x

sont exclues. Aucune courbe continue n’est tracée.

Le tableau compare tous les choix permis, prouvant le maximum à $x=4$ : billet à 10 $ CA, 100 acheteurs prévus et 1 000 $ CA de recettes. La fréquentation respecte $100\ge95$ . Les voisins $x=3$ et $x=5$ donnent 997,50 $ CA. Passer de 10 $ à 10,50 $ réduit les recettes : la perte d’acheteurs l’emporte. Le bénéfice soustrairait les dépenses, inconnues. La conclusion dépend du modèle et de la contrainte.

Vérification facultative : forme canonique

$R(x)=1\,000-2{,}5(x-4)^2.$

Le tableau suffit. Cette forme confirme la borne : $(x-4)^2\ge0$ , donc $R(x)\le1\,000$ , avec égalité pour la valeur permise $x=4$ .

Nouvel essai : au moins 110 acheteurs

Exigez au moins 110 acheteurs prévus. Les formules ou l’ensemble permis changent-ils? Trouvez les choix admissibles, le meilleur prix, la fréquentation et les recettes. L’ancien gagnant $x=4$ reste-t-il permis? Essayez avant d’ouvrir la réponse.

Solution du nouvel essai : le minimum de 110 acheteurs

Cette fois, $120-5x\ge110$ donne $-5x\ge-10$ . Diviser par $-5$ inverse l’inégalité : $x\le2$ . Les formules de $p,N,R$ restent identiques; seul l’ensemble permis rétrécit à $\{0,1,2\}$ . L’ancien choix $x=4$ prévoit 100 acheteurs : il est exclu. Comparer 960 $, 977,50 $ et 990 $ CA donne $x=2$ : billet à 9 $ CA, 110 acheteurs prévus et 990 $ CA de recettes.

Travailler la prochaine étape avec un tuteur

Apportez un problème qui vous bloque ou une notion que vous aimeriez mieux comprendre. Un tuteur peut expliquer le choix de la méthode, travailler un exemple avec vous et vous guider dans une question semblable. Nous pouvons aussi partir des notions de base pour avancer avec confiance.

Indiquez votre niveau et votre sujet pour que nous confirmions le soutien possible et les disponibilités avant la réservation.

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1. Manipuler les fractions

Une fraction représente une division. Pour additionner ou soustraire, utilisez un dénominateur commun. Pour multiplier, multipliez les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Gardez les valeurs exactes jusqu’à la fin. Le numérateur est le nombre au-dessus de la barre; le dénominateur est le nombre non nul en dessous. Pour diviser par une fraction non nulle, multipliez par son inverse, obtenu en échangeant son numérateur et son dénominateur.

Les fractions, une étape à la fois

Une fraction peut représenter des parts égales d’un même tout. Dans $\frac35$ , le dénominateur 5 indique que le tout est divisé en cinq parts égales; le numérateur 3 compte trois de ces parts. La fraction représente aussi $3\div5$ . Un dénominateur ne peut pas être nul.

Changer les parts sans changer la valeur

Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul conserve la valeur d’une fraction. Par exemple,

$\frac34=\frac{3\times2}{4\times2}=\frac68.$

Chaque quart a été divisé en deux huitièmes : la quantité n’a pas changé. Pour simplifier $\frac{12}{18}$ , divisez le numérateur et le dénominateur par 6 :

$\frac{12}{18}=\frac{12\div6}{18\div6}=\frac23.$

À vous : simplifiez $\frac{15}{20}$ , puis écrivez le résultat avec un dénominateur de 12.

Voir la réponse et le raisonnement

divisez les deux nombres par 5 pour obtenir $\frac34$ , puis multipliez-les par 3 pour obtenir $\frac9{12}$ .

Utiliser des parts de même taille avant d’additionner

Exemple résolu : additionner $\frac12+\frac14$ . Écrivez la moitié comme deux quarts :

$\frac12+\frac14=\frac24+\frac14=\frac34.$

Le dénominateur reste 4, car on compte toujours des quarts. Utilisez le même tout lorsque vous interprétez des fractions comme des parts d’un tout.

À vous : calculez $\frac23+\frac16$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$\frac46+\frac16=\frac56$ . Additionner les dénominateurs changerait la taille des parts.

Trouver une fraction d’une quantité

Un ruban mesure 20 cm. Vous utilisez $\frac35$ de sa longueur. Divisez 20 en cinq parts égales, puis prenez-en trois :

$20\div5=4,\qquad 3\times4=12.$

Vous utilisez 12 cm de ruban. Le même calcul s’écrit $\frac35\times20=12$ . La fraction représente une part de la longueur; la réponse conserve l’unité de longueur.

À vous : trouvez $\frac34$ de 28 m.

Voir la réponse et le raisonnement

$28\div4=7$ , puis $3\times7=21$ m.

Une étape de plus : $\frac23$ de $\frac34$ est un produit de deux fractions :

$\frac23\times\frac34=\frac{2\times3}{3\times4}=\frac6{12}=\frac12.$

Le facteur 3 apparaît au numérateur et au dénominateur de ce produit : on peut donc simplifier par ce facteur. Cela ne permet pas de supprimer des termes de part et d’autre d’un signe plus.

À vous : calculez $\frac35\times\frac{10}{9}$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$\frac{30}{45}=\frac23$ . Diviser le numérateur et le dénominateur par 15 vérifie la simplification.

Commencer à diviser des fractions

Prêt à continuer? Essayez les exemples de soustraction et de division déjà présents ci-dessous. Pour diviser, demandez-vous d’abord : « Combien de groupes de cette taille peut-on former? » Par exemple, $\frac34\div\frac14=3$ : trois portions d’un quart entrent dans trois quarts. L’exemple suivant montre comment utiliser la règle de l’inverse avec un autre diviseur.

Exemple expliqué

$\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}\text{.}$ Pour diviser : $\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{8}\text{.}$ On inverse le diviseur, pas les deux fractions.

À éviter. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ ne vaut pas $\frac{2}{5}$ . Il faut des parts de même taille avant de les compter ensemble.

À vous d’essayer

Calculez $\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$ .

Voir la réponse et le raisonnement

En douzièmes : $\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\text{.}$

Comprendre la division de fractions

L’exemple précédent donne $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{15}{8}$ . Que signifie cette réponse et pourquoi inverse-t-on la deuxième fraction? Utilisez d’abord le même tout pour les deux fractions.

Compter les groupes avec des parts de même taille

Pour $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$ , exprimez les deux quantités en vingtièmes :

$\frac{3}{4} = \frac{15}{20}\quad\text{et}\quad\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$

Vous disposez de 15 vingtièmes. Un groupe utilise 8 vingtièmes. Vous pouvez donc former un groupe complet, avec 7 vingtièmes restants. Ces 7 parts forment $\frac{7}{8}$ d’un autre groupe, puisqu’un groupe complet demande 8 parts.

$15 \div 8 = \frac{15}{8} = 1 + \frac{7}{8}$

Le quotient représente un groupe et $\frac{7}{8}$ d’un groupe. La fraction $\frac{7}{8}$ décrit une part du groupe; la quantité restante représente $\frac{7}{20}$ du tout initial. Distinguer ces deux sens aide à interpréter les problèmes.

Comprendre pourquoi utiliser l’inverse

L’inverse multiplicatif de $\frac{2}{5}$ est $\frac{5}{2}$ . Leur produit vaut 1 :

$(\frac{2}{5}) \times (\frac{5}{2}) = 1$

La réponse à $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$ est le nombre qui donne $\frac{3}{4}$ lorsqu’on le multiplie par $\frac{2}{5}$ . Multiplier $\frac{3}{4}$ par $\frac{5}{2}$ produit ce nombre, car multiplier ensuite le résultat par $\frac{2}{5}$ redonne la quantité de départ :

$\begin{gathered}[(\frac{3}{4}) \times (\frac{5}{2})] \times (\frac{2}{5})\\= (\frac{3}{4}) \times 1\\= \frac{3}{4}\end{gathered}$

Diviser par une fraction non nulle revient donc à multiplier par son inverse. Gardez la première fraction et inversez le diviseur. Vérifiez la réponse déjà obtenue :

$(\frac{15}{8}) \times (\frac{2}{5}) = \frac{3}{4}$

Zéro n’a pas d’inverse multiplicatif : zéro multiplié par un nombre vaut toujours zéro, jamais 1. La division par zéro n’est pas définie. Les fractions positives utilisées ici permettent de représenter le quotient comme un nombre de groupes.

Rapports, proportions et variations en pourcentage

Utilisez cette leçon lorsqu’un problème demande de comparer des quantités, d’adapter une quantité ou d’expliquer une variation en pourcentage. Partez des fractions équivalentes, puis travaillez les prix et les comparaisons de la vie courante. Il faut savoir multiplier, diviser et utiliser l’écriture décimale. Choisissez les exemples utiles pour vous et consultez une solution au besoin.

Revoir les fractions équivalentes

1. Nommer les quantités comparées

Un rapport compare deux quantités dans un ordre précis. Un mélange contient 2 tasses de peinture bleue et 3 tasses de peinture blanche : le rapport bleu:blanc est $2:3$ . Le mélange contient 5 tasses en tout; la part de bleu est donc $\frac{2}{5}$ , et non $\frac{2}{3}$ . Un rapport entre deux parties et une fraction du tout répondent à des questions différentes. Ici, les deux volumes utilisent la même unité; convertissez les unités avant de comparer.

Un taux compare des quantités exprimées dans des unités différentes. Si 6 m de corde coûtent 15 $, le taux unitaire est 15 $ ÷ 6 m = 2,50 $ par mètre. « Par mètre » précise l’unité de référence. Un taux unitaire compare une quantité à une seule unité de l’autre quantité.

2. Vérifier si la situation est proportionnelle

Une proportion est une égalité entre deux rapports. Supposons que la corde coûte toujours le même prix par mètre, sans frais fixes ni rabais de quantité. Pour 6 m à 15 $ et 10 m à c dollars, on peut écrire $\frac{15}{6}=\frac{c}{10}$ , avec des dollars par mètre des deux côtés. Revenez d’abord à un mètre : $15\div6=2{,}50$ . Puis $2{,}50\times10=25$ . Le prix est de 25 $. On pourrait aussi multiplier les deux quantités par $\frac{10}{6}$ . Vérification : $\frac{25}{10}=2{,}50$ dollars par mètre.

Soit x la valeur numérique de la longueur en mètres et y celle du prix en dollars. Dans $y=2{,}5x$ , le quotient $y/x$ est constant pour x > 0 et le graphique passe par $(0;0)$ . C’est une situation de proportionnalité directe. Avec des frais de coupe fixes de 4 $ par commande, la règle devient $y=2{,}5x+4$ . Doubler la longueur ne double plus le montant total. Une droite ne suffit pas à prouver la proportionnalité directe. Vérifiez le contexte avant d’écrire une égalité de rapports.

3. Choisir la quantité de référence

Un pourcentage exprime une quantité « pour cent » : $18\,\%=\frac{18}{100}=0{,}18$ . Pour trouver 18 % de 50 $, calculez 0,18 × 50 $ = 9 $. Le pourcentage n’a pas d’unité monétaire; le résultat conserve celle de la quantité.

Pour une quantité initiale strictement positive O et une nouvelle quantité N, exprimées dans la même unité, la variation signée en pourcentage est $\frac{N-O}{O}\times100\,\%$ . On divise par la quantité initiale, car elle sert de référence. De 50 $ à 59 $, la hausse est de 9 $, donc $\frac{9}{50}\times100\,\%=18\,\%$ . Pour revenir de 59 $ à 50 $, la baisse est de $\frac{9}{59}\times100\,\%\approx15{,}3\,\%$ . Changer le sens du changement modifie la référence. Cette formule ne définit pas de variation en pourcentage lorsque la quantité initiale vaut zéro.

Ici, r désigne le nombre du pourcentage : pour 15 %, r = 15. Une hausse de r % multiplie la quantité initiale par $1+\frac{r}{100}$ . Une baisse de r % la multiplie par $1-\frac{r}{100}$ . Pour un changement suivant, utilisez la nouvelle quantité comme référence. Deux variations successives en pourcentage ne s’annulent pas nécessairement.

Trois exercices progressifs

Choisissez une question et consultez un indice ou une solution au besoin.

Exercice 1

Un mélange utilise 3 tasses de peinture bleue pour 5 tasses de peinture blanche. Exprimez la part de bleu par une fraction et un pourcentage. Quelle quantité de blanc faut-il avec 9 tasses de bleu pour conserver le même mélange?

Voir un indice 1

Comptez d’abord toutes les parts. Pour adapter le mélange, appliquez le même facteur aux deux couleurs.

Voir la solution expliquée 1

Le tout contient $3+5=8$ parts. La part de bleu est $\frac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\,\%$ . La quantité de bleu est multipliée par $9/3=3$ ; il faut donc $5\times3=15$ tasses de blanc. Vérification : $\frac{9}{9+15}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$ . Le rapport $\frac{3}{5}$ compare le bleu au blanc, pas à toute la peinture.

Exercice 2

Une impression coûte 0,40 $ par page, plus des frais fixes de préparation de 3 $ par commande. Cinq pages coûtent 5 $. Dix pages coûtent-elles 10 $? Calculez leur prix et expliquez.

Voir un indice 2

Séparez le prix des pages des frais uniques de préparation. Comparez le coût total par page.

Voir la solution expliquée 2

Non. La règle est $C=0{,}40n+3$ , où n est le nombre de pages et C la valeur numérique du prix en dollars. Pour 10 pages, $C=4+3=7$ , soit 7 $. Le nombre de pages double, mais les frais uniques de préparation ne doublent pas. Le coût total par page passe de 1 $ pour 5 pages à 0,70 $ pour 10 pages. Le prix total n’est donc pas directement proportionnel au nombre de pages.

Exercice 3

Un sac à dos est affiché à 80 $. Un magasin réduit son prix de 15 %, puis augmente le prix réduit de 15 %. Ignorez les taxes et les frais. Trouvez le prix final et la variation globale en pourcentage par rapport à 80 $.

Voir un indice 3

Calculez 85 % du prix initial, puis 115 % de ce résultat. Comparez le montant final à 80 $.

Voir la solution expliquée 3

Le rabais vaut $0{,}15\times80=12$ $, ce qui donne 68 $. La hausse suivante vaut $0{,}15\times68=10{,}20$ $, ce qui donne 78,20 $. La variation globale est $\frac{78{,}20-80}{80}\times100\,\%=-2{,}25\,\%$ , soit une baisse de 2,25 %. Vérification par les facteurs : $0{,}85\times1{,}15=0{,}9775$ et $80\times0{,}9775=78{,}20$ . Les deux pourcentages de 15 % n’utilisent pas la même référence.

Choisir votre prochaine étape

Une notion reste floue? Un tuteur peut vous aider à nommer les quantités, à choisir la référence, puis à résoudre un exemple et à essayer une question semblable. Vous pouvez partir d’une notion ou d’un problème; aucun document ni essai préalable n’est nécessaire. Indiquez votre niveau et votre sujet pour confirmer le soutien possible et les disponibilités avant la réservation.

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2. Développer sans perdre les signes

La distributivité s’applique à chaque terme entre parenthèses. Un signe moins devant une parenthèse revient à multiplier tout son contenu par $-1$ .

Exemple expliqué

$\begin{aligned}&3(2x-5)-2(x+4)\\&=6x-15-2x-8\\&=4x-23.\end{aligned}$ La ligne intermédiaire rend les erreurs de signe visibles.

À éviter. Distribuer seulement au premier terme, ou écrire $-2(x+4)=-2x+8$ .

À vous d’essayer

Simplifiez $5-2(3x-4)$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$5-6x+8=13-6x\text{.}$

3. Reconnaître les factorisations utiles

Factoriser transforme une somme en produit. Cherchez d’abord un facteur commun, puis une différence de carrés ou un trinôme. Développez le résultat pour le vérifier.

Exemple expliqué

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\text{,}$ car $-2$ et $-3$ ont pour produit 6 et pour somme $-5$ . Aussi, $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\text{.}$

À éviter. $(a+b)(a-b)$ donne $a^2-b^2$ et non $a^2+b^2$ .

À vous d’essayer

Factorisez $3x^2-12x$ .

Voir la réponse et le raisonnement

Mettez $3x$ en évidence : $3x(x-4)$ .

4. Résoudre une équation par opérations équilibrées

Ajouter ou soustraire la même expression, définie pour toutes les valeurs permises, conserve l’ensemble des solutions. Il en va de même pour multiplier ou diviser les deux côtés par la même constante non nulle. D’autres opérations peuvent perdre des solutions ou en introduire de nouvelles : vérifiez leurs restrictions et les réponses dans l’équation initiale. Pour une équation linéaire, développez, regroupez les termes, puis divisez par le coefficient non nul de l’inconnue.

Exemple expliqué

$2(x-3)+5=3x-4$ devient $2x-1=3x-4$ . Soustrayez $2x$ des deux côtés : $-1=x-4$ . Ajoutez ensuite 4 des deux côtés : $x=3$ . La substitution dans l’équation initiale donne $5=5$ .

À éviter. Déplacer un terme sans comprendre l’addition ou la soustraction effectuée des deux côtés.

À vous d’essayer

Résolvez $3(x+2)=2x+11$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$3x+6=2x+11$ . Soustrayez $2x$ puis 6 pour obtenir $x=5$ .

Résoudre une équation avec des fractions

Ici, $x$ est un nombre réel inconnu. L’idée est de conserver l’égalité entre les deux membres tout en éliminant les fractions. Multipliez chaque terme des deux membres par un multiple commun des dénominateurs. Choisir le plus petit commun multiple permet de garder de petits nombres. Ce multiplicateur étant non nul, on peut annuler cette étape en divisant par ce même nombre.

Pour revoir d’abord les fractions équivalentes et les dénominateurs communs, consultez les fractions, une étape à la fois.

Dans ces exemples, les dénominateurs sont des nombres fixes non nuls. Ils n’excluent aucune valeur de $x$ .

Exemple résolu

Résolvez $\frac{x-1}{3}+\frac{x}{2}=3$ . Le plus petit commun multiple de 3 et de 2 est 6. Multipliez les deux termes de gauche et le terme de droite par 6 :

$\begin{aligned}&6\left(\frac{x-1}{3}\right)+6\left(\frac{x}{2}\right)\\&\qquad=6(3).\end{aligned}$

Puisque $6\div3=2$ et $6\div2=3$ , on obtient

$2(x-1)+3x=18.$

Tout le numérateur $x-1$ est multiplié par 2. Développez, regroupez les termes semblables, puis appliquez les mêmes opérations aux deux membres :

$2x-2+3x=18$

$5x-2=18$

$5x=20$

$x=4.$

Vérifiez dans l’équation initiale : $(4-1)/3+4/2=1+2=3$ . Donc $x=4$ convient. La multiplication par 6 modifie chaque terme, y compris le membre de droite; elle ne change pas la solution.

Nouvel essai guidé

Résolvez $\frac{x+2}{4}-\frac{x}{6}=1$ . Choisissez d’abord un multiple commun de 4 et de 6. Gardez des parenthèses autour de $x+2$ lorsque vous multipliez sa fraction.

Voir un indice

Le plus petit commun multiple est 12. L’équation devient $3(x+2)-2x=12$ . Développez les parenthèses, puis regroupez les termes en $x$ .

Voir la solution et la vérification

Développez : $3x+6-2x=12$ . Regroupez les termes semblables pour obtenir $x+6=12$ , puis soustrayez 6 des deux membres : $x=6$ . Dans l’équation initiale, $(6+2)/4-6/6=2-1=1$ . La réponse satisfait l’équation.

Un défi à résoudre seul

Résolvez $\frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{4}=2$ . Montrez comment vous éliminez les dénominateurs et vérifiez votre réponse dans l’équation initiale. Une réponse correcte peut être une fraction.

Voir la solution et la vérification

Multipliez chaque terme par 12 :

$4(2x-1)-3(x+1)=24.$

Le signe moins s’applique à tout le deuxième produit : $-3(x+1)=-3x-3$ . Développez et regroupez :

$8x-4-3x-3=24$

$5x-7=24$

$5x=31$

$x=\frac{31}{5}.$

Vérifiez chaque fraction séparément :

$\frac{2(31/5)-1}{3}=\frac{57/5}{3}$

$\frac{57/5}{3}=\frac{19}{5}$

$\frac{31/5+1}{4}=\frac{36/5}{4}$

$\frac{36/5}{4}=\frac95.$

Leur différence vaut $19/5-9/5=10/5=2$ , comme demandé. Toutes les étapes sont réversibles, car les multiplications et les divisions utilisent des constantes non nulles : il s’agit donc de l’unique solution.

Avant de continuer, expliquez pourquoi le membre de droite doit aussi être multiplié et pourquoi le numérateur a besoin de parenthèses. Les dénominateurs de ces questions sont constants. Si un dénominateur contient l’inconnue, déterminez d’abord les valeurs qui l’annulent avant d’utiliser la méthode.

Isoler une variable avant de remplacer les lettres par des nombres

Une formule relie des grandeurs. Isoler une variable consiste à la laisser seule d’un côté de l’égalité. Inversez les opérations qui l’entourent en effectuant la même opération des deux côtés. Les autres lettres peuvent rester dans la réponse. Vérifiez que toute grandeur par laquelle vous divisez est non nulle.

Trouver la largeur d’un rectangle à partir de son périmètre

Pour un rectangle, soit $P$ le périmètre, $\ell$ la longueur et $w$ la largeur, tous exprimés en centimètres. La formule du périmètre est

$P=2\ell+2w.$

Pour isoler $w$ , soustrayez d’abord $2\ell$ des deux côtés, puis divisez les deux côtés par 2 :

$\begin{aligned} P-2\ell&=2w,\\ w&=\frac{P-2\ell}{2}. \end{aligned}$

Utilisez maintenant $P=30$ cm et $\ell=9$ cm :

$w=\frac{30-18}{2}=6\text{ cm}.$

Vérifiez dans la formule initiale : $2(9)+2(6)=30$ cm. Les côtés d’un rectangle doivent avoir des longueurs positives; c’est bien le cas ici.

Erreur fréquente : $w=P-2\ell/2$ divise seulement $2\ell$ par 2. Gardez le numérateur complet ensemble. Le résultat correct peut aussi s’écrire $w=P/2-\ell$ .

À vous : utilisez la formule transformée lorsque $P=26$ cm et $\ell=8$ cm.

Voir la réponse et le raisonnement

$w=(26-16)/2=5$ cm. Vérification : $16+10=26$ cm.

Trouver la hauteur perpendiculaire d’un triangle

Soit $A$ l’aire d’un triangle en cm², $b$ la longueur de sa base en cm et $h$ la hauteur perpendiculaire à cette base en cm. Ici, $b>0$ . À partir de $A=bh/2$ , multipliez les deux côtés par 2, puis divisez par $b$ :

$2A=bh,\qquad h=\frac{2A}{b}.$

Pour $A=18$ cm² et $b=6$ cm, $h=2(18)/6=6$ cm. Les unités conviennent aussi : cm² divisé par cm donne cm. Vérification : $6(6)/2=18$ cm².

Erreur fréquente : diviser encore par 2 donne $A/(2b)$ . Dans la formule initiale, c’est la multiplication par 2 qui annule la division par 2.

À vous : transformez $V=\ell wh$ pour isoler $h$ . Ici, $V$ est le volume d’une boîte rectangulaire en cm³, et $\ell,w,h$ sont ses dimensions positives en cm. Utilisez ensuite $V=60$ cm³, $\ell=5$ cm et $w=3$ cm.

Voir la réponse et le raisonnement

divisez les deux côtés par $\ell w$ , qui est positif : $h=V/(\ell w)=60/(5\times3)=4$ cm. Vérification : $5\times3\times4=60$ cm³. Le dénominateur contient le produit complet $\ell w$ .

Avant de continuer, expliquez l’opération inverse utilisée à chaque étape, puis vérifiez votre réponse numérique dans la formule initiale.

Poursuivre : variables répétées, paramètres, restrictions et unités, avec six exercices corrigés

5. Conserver toutes les solutions du second degré

Une équation du second degré peut avoir deux solutions réelles distinctes, une solution double ou aucune solution réelle. La factorisation est pratique lorsqu’elle est accessible; la formule quadratique est plus générale.

Exemple expliqué

$x^2-x-6=0$ devient $(x-3)(x+2)=0$ . Au moins un facteur est nul, donc $x=3$ ou $x=-2$ .

À éviter. Diviser par $x$ peut faire perdre la solution $x=0$ . Vérifiez ce cas avant de diviser.

À vous d’essayer

Résolvez $x^2=25$ dans les réels.

Voir la réponse et le raisonnement

$x=5$ ou $x=-5$ . Les deux ont pour carré 25. Ce n’est pas la même question que calculer la racine carrée principale de 25.

6. Utiliser correctement puissances et racines

Pour une base non nulle, un exposant négatif signifie un inverse. Avec des exposants entiers et une base non nulle, multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants, et élever une puissance à une puissance revient à les multiplier. Avec des exposants fractionnaires, vérifiez la base et le domaine avant d’appliquer ces règles; une racine carrée principale est non négative.

Exemple expliqué

$\frac{x^3x^{-1}}{x^2}=x^{3-1-2}=1\text{,}$ avec $x\ne0$ . De même, $\sqrt{49}=7$ , tandis que $x^2=49$ admet deux solutions réelles.

À éviter. Pour $x$ réel, $\sqrt{x^2}=|x|$ , pas toujours $x$ . La racine carrée principale est non négative.

À vous d’essayer

Simplifiez $(2a^3)^2$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$4a^6$ : élevez le coefficient au carré et multipliez l’exposant par 2.

Approfondissement facultatif : Résoudre des équations avec des radicaux

Toutes les variables de cet approfondissement représentent des nombres réels. Le symbole $\sqrt{A}$ désigne la racine carrée principale de $A$ , qui est non négative. Dans les nombres réels, elle est définie seulement si le radicand $A$ , c’est-à-dire l’expression sous le radical, est non négatif.

1. Distinguer une racine carrée d’une équation au carré

$\sqrt{x}=3$ admet une seule solution, $x=9$ . La substitution le confirme : $\sqrt9=3$ .
$x^2=9$ admet deux solutions, $x=3$ et $x=-3$ , car ces deux nombres ont pour carré $9$ .

Le symbole $\sqrt9$ désigne lui-même $3$ , et non $\pm3$ . Les deux signes apparaissent lorsqu’on résout l’équation $x^2=9$ .

2. Distinguer trois exigences

Dans une équation $\sqrt{A(x)}=B(x)$ , les expressions $A(x)$ et $B(x)$ dépendent de l’inconnue réelle $x$ .

Domaine du radical : il faut $A(x)\ge0$ pour que la racine carrée soit réelle. Il faut aussi respecter toute autre restriction présente dans les expressions.
Contrainte de signe : il faut $B(x)\ge0$ , car une racine carrée principale ne peut pas être égale à un nombre négatif.
Égalité : satisfaire les conditions de domaine et de signe ne suffit pas à résoudre l’équation. Les deux membres doivent réellement être égaux.

Élever les deux membres au carré conserve toutes les solutions originales, mais peut introduire des valeurs candidates supplémentaires : deux nombres opposés ont le même carré. Résoudre l’équation obtenue, puis vérifier les candidats à l’aide des restrictions et de l’équation originale. Si les deux membres sont non négatifs, le passage au carré est réversible.

3. Exemple résolu : Trouver les candidats, puis vérifier

Résoudre $\sqrt{x+5}=x-1$ .

Domaine : $x+5\ge0$ , donc $x\ge-5$ .

Signe : le membre de droite doit satisfaire $x-1\ge0$ , donc $x\ge1$ . La restriction nécessaire combinée est donc $x\ge1$ .

Élever au carré et résoudre : $\begin{aligned}x+5&=(x-1)^2\\&=x^2-2x+1,\end{aligned}$ $\begin{aligned}0&=x^2-3x-4\\&=(x-4)(x+1).\end{aligned}$ L’équation obtenue fournit les candidats $x=4$ et $x=-1$ .

Vérifier dans l’équation originale :

Pour $x=4$ , $\sqrt{4+5}=3$ et $4-1=3$ : l’égalité est vraie.
Pour $x=-1$ , $\sqrt{-1+5}=2$ , alors que $-1-1=-2$ : l’égalité est fausse. Ce candidat ne respecte pas non plus $x\ge1$ .

Ainsi, $\boxed{x=4}$ est l’unique solution. Remarquer que $-1$ respecte le domaine du radical, mais ni la contrainte de signe ni l’égalité originale.

4. Les signes permettent parfois de conclure immédiatement

Résoudre $\sqrt{x+2}=-3$ .

Le domaine est $x\ge-2$ . Sur ce domaine, le membre de gauche est non négatif, tandis que celui de droite est négatif. Il n’y a aucune solution réelle. Il est inutile d’élever au carré. Si on le faisait, le candidat $x=7$ ne vérifierait pas l’équation originale, puisque $3\ne-3$ .

5. Exercices progressifs

Pour chaque équation, préciser les restrictions, trouver les candidats au besoin et vérifier dans l’équation originale.

1. Résoudre $\sqrt{x}=5$ .

Voir l’indice 1

La racine carrée est non négative; élever les deux membres au carré.

Voir la solution expliquée 1

Domaine : $x\ge0$ . Le passage au carré donne $x=25$ , et $\sqrt{25}=5$ . Solution : $25$ .

2. Résoudre $x^2=25$ . Expliquer pourquoi la réponse diffère de celle de la question 1.

Voir l’indice 2

Quels sont les deux nombres réels dont le carré vaut $25$ ?

Voir la solution expliquée 2

$x=\pm5$ ; les deux carrés valent $25$ . À la question 1, on cherche plutôt l’entrée dont la racine carrée principale vaut $5$ ; la solution est donc $25$ .

3. Résoudre $\sqrt{x+1}=x-1$ .

Voir l’indice 3

Le domaine est $x\ge-1$ , mais le membre de droite impose une restriction plus forte. Après le passage au carré, mettre $x$ en facteur.

Voir la solution expliquée 3

Domaine : $x\ge-1$ ; contrainte de signe : $x\ge1$ . Le passage au carré donne $x+1=x^2-2x+1$ , puis $x(x-3)=0$ . Les candidats sont $0$ et $3$ . Pour $0$ , les membres de l’équation originale valent $1$ et $-1$ , donc ce candidat est rejeté. Pour $3$ , les deux membres valent $2$ . L’unique solution est donc $3$ .

4. Résoudre $\sqrt{2x+3}=-1$ en examinant d’abord les signes.

Voir l’indice 4

Une racine carrée principale peut-elle être égale à $-1$ ?

Voir la solution expliquée 4

Domaine : $x\ge-3/2$ . Le membre de gauche est non négatif et celui de droite est négatif; il n’y a donc aucune solution réelle.

6. Transfert : Déterminer une entrée de fonction

Soit $f$ la fonction à valeurs réelles définie par $\begin{gathered}f(t)=\sqrt{t+5},\\t\ge-5.\end{gathered}$ La variable $t$ représente une entrée de $f$ . Trouver toutes les valeurs réelles de $x$ telles que $f(2x-1)=x+1.$

Voir l’indice 5

Remplacer l’entrée $t$ par l’expression entière $2x-1$ . Vérifier que cette entrée appartient au domaine de $f$ , puis examiner le signe de $x+1$ .

Voir la solution expliquée 5

La substitution donne $\begin{aligned}f(2x-1)&=\sqrt{(2x-1)+5}\\&=\sqrt{2x+4}.\end{aligned}$ L’entrée doit satisfaire $2x-1\ge-5$ , soit $x\ge-2$ . C’est exactement la condition de domaine du radical $2x+4\ge0$ . L’équation exige aussi $x+1\ge0$ , donc $x\ge-1$ .

Élevons maintenant au carré : $\begin{gathered}2x+4=(x+1)^2\\=x^2+2x+1\\\Longrightarrow\quad x^2=3.\end{gathered}$ Les candidats sont $x=\sqrt3$ et $x=-\sqrt3$ . Le candidat négatif est inférieur à $-1$ : son membre de droite est négatif, donc il est rejeté. Pour $x=\sqrt3$ , les deux membres sont non négatifs et $\begin{gathered}(\sqrt3+1)^2=4+2\sqrt3,\\\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt3+1.\end{gathered}$ Ainsi, $f(2\sqrt3-1)=\sqrt3+1$ , et l’unique solution est $\boxed{x=\sqrt3}$ .

7. Conserver les restrictions lors d’une simplification

On simplifie des facteurs communs, pas des termes isolés dans une somme. Notez les valeurs exclues par le dénominateur initial avant de simplifier.

Exemple expliqué

$\begin{aligned}\frac{x^2-9}{x-3}&=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\&=x+3\end{aligned}\text{,}$ pour $x\ne3$ . La nouvelle formule ne rend pas l’expression initiale définie en 3.

À éviter. On ne peut pas supprimer les $x$ dans $\frac{x+2}{x}$ : le numérateur est une somme.

À vous d’essayer

Simplifiez $\frac{x^2-4}{x+2}$ en précisant la restriction.

Voir la réponse et le raisonnement

$x-2$ , avec $x\ne-2$ . Factorisez le numérateur, puis simplifiez le facteur commun $x+2$ .

Approfondissement facultatif : résoudre une équation dont un dénominateur contient l’inconnue

Les équations avec des fractions précédentes avaient des dénominateurs constants. Ici, un dénominateur peut contenir l’inconnue. Une expression rationnelle est un quotient de polynômes, défini seulement lorsque son dénominateur est non nul. Une équation rationnelle est une égalité faisant intervenir de telles expressions. Nous étudions ici des équations où au moins un dénominateur contient l’inconnue.

Travaillez dans les nombres réels. Dans les exemples algébriques, $x$ est un nombre réel inconnu, sans unité physique. Il faut savoir calculer avec des fractions, développer des parenthèses et résoudre une équation du premier degré. Les dernières questions demandent aussi de factoriser un trinôme du second degré. Cette section facultative appuie certaines notions de fin du secondaire, notamment la partie algébrique des équations rationnelles en MHF4U en Ontario. Au Québec, les exigences dépendent de l’année et de la séquence mathématique. Ce sujet n’est pas exigé dans tous les cours du secondaire.

1. Conserver les restrictions initiales

Dans $\frac{x+1}{x-2}$ , la valeur $x=2$ est exclue, car elle entraînerait une division par zéro. Les valeurs permises sont tous les réels sauf 2. Notez les restrictions avant de simplifier ou de multiplier. Dans $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ , la simplification est valide seulement si $x\ne2$ . L’expression simplifiée ne rétablit pas la valeur exclue.

Pour résoudre une équation, multipliez chaque terme des deux membres par le plus petit dénominateur commun, ou simplement par le produit des dénominateurs initiaux. Ces choix ne contiennent aucun facteur variable supplémentaire pouvant introduire de nouveaux zéros. Ils sont non nuls sur tout le domaine initial permis, donc l’opération est réversible. Résolvez ensuite l’équation obtenue, gardez seulement les valeurs candidates appartenant au domaine initial et vérifiez-les dans l’équation de départ. Une valeur exclue au départ ne devient jamais une solution.

Trouvez les valeurs qui annulent au moins un dénominateur initial.
Choisissez le plus petit dénominateur commun ou le produit des dénominateurs initiaux, puis multipliez chaque terme par celui-ci.
Résolvez l’équation obtenue en conservant toutes les valeurs candidates.
Rejetez les valeurs exclues et vérifiez les autres par substitution.
Dans un problème écrit, vérifiez aussi les unités et le domaine physique.

2. Exemple expliqué : le terme entier change aussi

Résolvez $\frac{2}{x-1}+1=\frac{5}{x-1}$ . D’abord, $x\ne1$ . Multipliez chaque terme par $x-1$ :

$2+(x-1)=5.$

Le 1 devient $x-1$ ; il ne reste pas égal à 1. Ainsi, $x+1=5$ , donc $x=4$ . Cette valeur est permise. Dans l’équation initiale, le membre de gauche vaut $2/3+1=5/3$ , comme celui de droite. La solution est $x=4$ .

Pourquoi ne pas simplement faire un produit croisé? Le produit croisé est un raccourci pour une égalité entre deux fractions uniques dont les dénominateurs sont non nuls. Une somme comme $2/(x-1)+1$ n’est pas encore une seule fraction. Multiplier chaque terme par le dénominateur commun permet de la traiter directement.

3. Exemple expliqué : une valeur candidate peut être exclue

Résolvez $\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{x-2}$ . La restriction est $x\ne2$ . En multipliant par $x-2$ , on obtient $x+1=3$ , dont la seule valeur candidate est $x=2$ . Or, aucune des fractions initiales n’est définie à cette valeur. L’équation initiale n’a donc aucune solution.

Nous n’avons pas démontré que la division par zéro est permise. L’équation transformée était équivalente à l’équation initiale seulement pour $x\ne2$ . Oublier cette restriction produit une valeur candidate qu’il faut rejeter. N’écrivez pas que « les deux fractions deviennent infinies » : elles ne sont pas définies à 2.

4. Exemple expliqué : deux dénominateurs et deux solutions valides

Résolvez $\frac1x+\frac1{x+2}=\frac34$ . Les restrictions sont $x\ne0$ et $x\ne-2$ . Un dénominateur commun est $4x(x+2)$ . Il contient le dénominateur numérique 4 et les deux facteurs variables.

$4(x+2)+4x=3x(x+2).$

Développez et regroupez les termes d’un même côté :

$8x+8=3x^2+6x$

$3x^2-2x-8=0$

$(3x+4)(x-2)=0.$

Donc $x=-4/3$ ou $x=2$ . Aucune de ces valeurs n’est exclue. Vérifiez-les séparément :

Pour $x=2$ : $1/2+1/4=3/4$ .
Pour $x=-4/3$ : $-3/4+3/2=3/4$ .

Les deux solutions conviennent. Une réponse négative n’est pas automatiquement invalide : c’est le domaine donné qui décide. Le développement de la factorisation redonne $3x^2-2x-8$ , ce qui fournit une vérification algébrique supplémentaire.

5. Modèle expliqué : additionner les durées, puis vérifier le sens

Une personne parcourt 12 km à une vitesse constante, puis 12 km à une vitesse constante supérieure de 2 km/h. La durée totale de marche, sans compter les arrêts, est de 5 heures. Trouvez les deux vitesses.

Soit $v$ la valeur numérique de la première vitesse, en km/h. La deuxième vitesse est donc $(v+2)$ km/h, et le domaine physique est $v>0$ . Puisque la durée égale la distance divisée par la vitesse, les valeurs numériques des durées, en heures, sont $12/v$ et $12/(v+2)$ . Ainsi :

$\frac{12}{v}+\frac{12}{v+2}=5.$

Les restrictions algébriques sont $v\ne0,-2$ ; la condition physique $v>0$ est plus restrictive. Multipliez chaque terme par $v(v+2)$ :

$12(v+2)+12v=5v(v+2)$

$5v^2-14v-24=0$

$(5v+6)(v-4)=0.$

Les valeurs candidates sont $v=-6/5$ et $v=4$ . La valeur négative est une solution algébrique, mais ne peut représenter une vitesse dans ce modèle. Gardez $v=4$ : les vitesses sont 4 km/h et 6 km/h. Les durées sont $12/4=3$ h et $12/6=2$ h, pour un total de 5 h; la différence entre les vitesses est de 2 km/h. Additionner les vitesses au lieu des deux durées décrirait une autre quantité.

Huit étapes pour pratiquer les équations rationnelles

Essayez chaque question avant d’ouvrir sa réponse. Sauf indication contraire dans un contexte, résolvez dans les réels. Écrivez les restrictions avant d’éliminer les dénominateurs.

1. Trouver d’abord les valeurs exclues

Quelles valeurs sont exclues de $\frac{x+3}{x^2-9}$ ? Simplifiez l’expression sans perdre ses restrictions.

Réponse et raisonnement

Factorisez $x^2-9=(x-3)(x+3)$ . Excluez $x=3$ et $x=-3$ . La simplification donne $1/(x-3)$ , en conservant les deux restrictions. La formule simplifiée seule permettrait −3, mais l’expression initiale ne le permet pas.

2. Éliminer un dénominateur

Résolvez $\frac6{x+1}=2$ .

Indice

Excluez −1, puis multipliez les deux membres par $x+1$ .

Réponse et vérification

Avec $x\ne-1$ , on obtient $6=2(x+1)$ , donc $2x=4$ et $x=2$ . Vérification : $6/(2+1)=2$ .

3. Ne pas oublier le terme sans fraction

Résolvez $\frac3{x-2}+2=\frac7{x-2}$ .

Réponse et vérification

Excluez 2. En multipliant par $x-2$ , on obtient $3+2(x-2)=7$ , donc $2x-1=7$ et $x=4$ . Vérification : $3/2+2=7/2$ . Laisser le 2 inchangé serait une transformation invalide.

4. Rejeter la seule valeur candidate

Résolvez $\frac{x+2}{x-3}=\frac5{x-3}$ .

Réponse et raisonnement

Excluez 3. Après élimination des dénominateurs, l’équation est $x+2=5$ . Sa seule valeur candidate est donc 3, qui est exclue. Il n’y a aucune solution. La vérification des dénominateurs initiaux suffit pour rejeter cette valeur; n’attribuez pas de valeur à une fraction non définie.

5. Utiliser les deux facteurs des dénominateurs

Résolvez $\frac1{x-1}+\frac1{x+1}=\frac34$ .

Indice

Excluez 1 et −1. Utilisez $4(x-1)(x+1)$ comme dénominateur commun.

Réponse et vérifications

On obtient $4(x+1)+4(x-1)=3(x-1)(x+1)$ , donc $3x^2-8x-3=0$ , soit $(3x+1)(x-3)=0$ . Les valeurs $x=-1/3$ et $x=3$ sont toutes deux permises. Pour −1/3, la somme vaut $-3/4+3/2=3/4$ ; pour 3, elle vaut $1/2+1/4=3/4$ .

6. Une identité possède quand même un domaine

Résolvez $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ .

Réponse et raisonnement

Excluez 1. Puisque $x^2-1=(x-1)(x+1)$ , l’égalité est vraie pour toute valeur permise. L’ensemble-solution contient tous les réels sauf 1 : ce n’est ni une seule valeur ni l’ensemble de tous les réels. Par exemple, 0 donne $(-1)/(-1)=1$ ; l’expression reste non définie à 1.

7. Repérer une restriction perdue

Un élève simplifie $\frac{x^2-4}{x-2}=4$ en $x+2=4$ et donne $x=2$ comme réponse. Expliquez l’erreur et corrigez la réponse.

Réponse et raisonnement

La simplification exigeait $x\ne2$ . La seule valeur candidate de $x+2=4$ ne respecte pas cette restriction. Il n’y a donc aucune solution. La factorisation n’a pas rétabli la valeur exclue.

8. Transférer la méthode à un autre trajet

Une personne parcourt 6 km à une vitesse constante, puis 6 km à une vitesse supérieure de 1 km/h. La durée totale de marche est de 5 heures, sans compter les arrêts. Définissez une inconnue, trouvez les deux vitesses et vérifiez les deux durées.

Indice

Si $v$ est la valeur numérique de la première vitesse en km/h, utilisez $6/v+6/(v+1)=5$ , avec $v>0$ .

Réponse et vérifications

Les restrictions algébriques sont $v\ne0,-1$ ; le domaine physique est $v>0$ . Multiplier par $v(v+1)$ donne $6(v+1)+6v=5v(v+1)$ , donc $5v^2-7v-6=(5v+3)(v-2)=0$ . Les valeurs candidates sont −3/5 et 2. Gardez 2, car la vitesse doit être positive. Les vitesses sont 2 km/h et 3 km/h. Les durées sont 3 h et 2 h, pour un total de 5 h; la différence entre les vitesses est de 1 km/h.

Avant de poursuivre : expliquez la différence entre une valeur candidate exclue par un dénominateur et une réponse algébriquement valide rejetée par le contexte. Si l’élimination des fractions était difficile, reprenez la question 3. Si vous avez perdu des restrictions, comparez les questions 6 et 7. Si la factorisation était difficile, révisez les équations et graphiques du second degré.

Approfondissement facultatif : inéquations rationnelles, graphiques et tableaux de signes

Une équation cherche les valeurs pour lesquelles deux expressions sont égales. Une inéquation cherche toutes les valeurs permises qui rendent une comparaison vraie, souvent un intervalle entier ou plusieurs intervalles. Travaillez ici dans les réels, sauf si un modèle restreint le domaine. Vous pouvez suivre chaque solution complète dès la première étape ou faire une pause pour essayer vous-même. Revoyez au besoin les signes d’inégalité et les droites numériques ou les restrictions des dénominateurs.

D’abord, distinguer les zéros des valeurs exclues

Un zéro du numérateur rend une fraction nulle seulement si son dénominateur est non nul. Cette valeur peut appartenir à une solution avec ≥ ou ≤, mais pas à une comparaison stricte avec zéro.
Un zéro du dénominateur rend la fraction initiale non définie. Excluez toujours cette valeur, même si un facteur commun se simplifie ensuite ou si l’égalité est permise.

Pour comparer une expression rationnelle à zéro, son graphique doit être au-dessus de l’axe horizontal pour une valeur positive, au-dessous pour une valeur négative ou sur l’axe pour zéro. Un tableau de signes présente la même information, intervalle par intervalle; une droite numérique montre les valeurs à garder.

Pourquoi le signe du dénominateur compte

Multiplier une inéquation par un nombre positif conserve son sens; multiplier par un nombre négatif l’inverse. Par exemple, −1 < 1 devient 2 > −2 en multipliant les deux membres par −2. L’expression x − 2 est négative à gauche de 2 et positive à droite. Multiplier par cette expression en conservant le même sens pour toutes les valeurs fait perdre un cas. Multiplier par zéro n’est pas réversible, et un dénominateur initial ne peut de toute façon pas être nul.

Une démarche fiable consiste à tout regrouper d’un côté, à obtenir une seule fraction, à noter les exclusions initiales et à trouver les zéros du numérateur. Ces points divisent la droite numérique. Entre deux points consécutifs, aucun facteur polynomial ne passe par zéro : chaque facteur garde donc son signe, tout comme le quotient. Déterminez les signes sur chaque intervalle, puis vérifiez les bornes séparément. Ne supposez pas que les signes alternent toujours : un facteur répété ou simplifié peut se comporter autrement.

1. Commencer par une fraction comparée à zéro

Résolvez $\frac{x+1}{x-2}\geq0$ .

Restrictions et points de séparation. Excluez 2, qui annule le dénominateur. Le numérateur s’annule à −1, où le dénominateur vaut −3 : −1 est donc un véritable zéro de la fraction. Ces deux points divisent la droite en trois intervalles.

Signes du cas 1. Le plus signifie positif; le moins signifie négatif.
Expression	`x` < −1	−1 < `x` < 2	`x` > 2
`x` + 1	−	+	+
`x` − 2	−	−	+
Quotient	+	−	+

Lire le tableau et le graphique. Deux signes négatifs donnent un quotient positif à gauche; des signes opposés donnent un quotient négatif au milieu. À droite, les deux signes sont positifs. Le graphique est donc au-dessus de l’axe pour les valeurs inférieures à −1 ou supérieures à 2, et il rencontre l’axe à −1. L’asymptote verticale à 2 ne fait pas partie du graphique.

Incluez −1, car zéro est permis; excluez 2, car l’expression n’est pas définie. L’ensemble-solution est

$x\in(-\infty,-1]\cup(2,\infty).$

Cela signifie x ≤ −1 ou x > 2. Dans la notation d’intervalles utilisée ici, un crochet inclut une borne et une parenthèse l’exclut; ∪ signifie « ou ». L’infini porte toujours une parenthèse, car ce n’est pas une borne réelle. Au Québec, on écrit aussi cet ensemble ]−∞, −1] ∪ ]2, +∞[.

Graphique de (x plus 1) divisé par (x moins 2) : au-dessus de l’axe à gauche de moins 1 et à droite de 2, au-dessous entre ces valeurs, avec une asymptote verticale à 2. La droite des solutions porte un point plein à moins 1 avec une demi-droite vers la gauche et un point ouvert à 2 avec une demi-droite vers la droite. — Le graphique montre le signe des images. La droite numérique garde les valeurs qui conviennent, en incluant le zéro à −1 et en excluant 2.

Vérifier la comparaison initiale. À −2, la fraction vaut 1/4 et convient; à 0, elle vaut −1/2 et ne convient pas; à 3, elle vaut 4 et convient. À −1, elle vaut zéro. À 2, elle n’a aucune valeur. Ces vérifications illustrent les intervalles; les signes des facteurs justifient toutes les valeurs qu’ils contiennent.

2. Ramener une comparaison à zéro

Résolvez $\frac{2}{x-1}\leq1$ , avec x ≠ 1.

Soustrayez 1 des deux membres, puis écrivez 1 avec le même dénominateur. Cette soustraction est valide pour toute valeur permise :

$\begin{aligned}\frac{2}{x-1}-1&=\frac{2-(x-1)}{x-1}\\&=\frac{3-x}{x-1}\\&\leq0.\end{aligned}$

Les points de séparation sont 1, exclu par le dénominateur, et 3, où le nouveau numérateur s’annule. Remarquez que le numérateur 3 − x est positif à gauche de 3 et négatif à droite.

Signes du membre de gauche après la soustraction de 1
Expression	`x` < 1	1 < `x` < 3	`x` > 3
3 − `x`	+	+	−
`x` − 1	−	+	+
Quotient	−	+	−

Gardez les intervalles négatifs et le zéro à 3. L’ensemble-solution est

$x\in(-\infty,1)\cup[3,\infty).$

Sur le graphique initial, comparez la courbe à la droite horizontale de hauteur 1, plutôt qu’à l’axe. La courbe est sous cette droite lorsque x < 1 ou x > 3 et la rencontre à 3. On retrouve les mêmes intervalles.

Graphique de 2 divisé par (x moins 1) et droite horizontale pointillée y égale 1. La courbe est sous la droite à gauche de 1, puis sur ou sous elle à partir de 3. La droite des solutions est ouverte à 1 vers la gauche et pleine à 3 vers la droite. — Soustraire 1 transforme « sous la hauteur 1 ou à cette hauteur » en « négatif ou nul », sans multiplier par une expression de signe inconnu.

Vérifier et repérer une erreur. À 0, −2 ≤ 1 est vrai. À 2, 2 ≤ 1 est faux. À 3, l’égalité est vraie; à 5, 1/2 ≤ 1 est vrai. Multiplier sans précaution par x − 1 et écrire 2 ≤ x − 1 donne seulement x ≥ 3 et fait perdre tout l’intervalle x < 1. Sur cet intervalle, le multiplicateur est négatif : il faut donc inverser le sens de l’inégalité.

3. Une simplification laisse un trou

Résolvez $\frac{x^2-1}{x-1}>0$ . Notez x ≠ 1 avant de factoriser :

$\begin{gathered}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\\\quad\text{seulement si }x\ne1.\end{gathered}$

L’expression simplifiée est positive lorsque x > −1. Prenez l’intersection avec le domaine initial, qui exclut toujours 1. La réponse est

$x\in(-1,1)\cup(1,\infty).$

Sur les trois intervalles séparés par −1 et 1, les signes sont négatif, positif, positif. À −1, la fraction initiale vaut zéro, ce qui ne respecte pas l’inégalité stricte. À 1, elle n’est pas définie, même si la formule simplifiée donnerait 2. Le graphique suit la droite y = x + 1 avec un trou en (1, 2), sans asymptote verticale. Un écran graphique peut masquer un seul point manquant; la restriction écrite reste donc essentielle.

Le graphique suit y égale x plus 1 avec un trou ouvert en (1, 2). Son zéro est moins 1. La droite des solutions est ouverte à moins 1, continue vers la droite et porte un autre point ouvert à 1 pour exclure le trou. — Les points −1 et 1 sont tous deux ouverts sur la droite des solutions, pour des raisons différentes : inégalité stricte à −1, expression initiale non définie à 1.

Vérifier l’expression initiale. À −2, elle vaut −1 et ne convient pas. À 0, elle vaut 1 et convient. À 2, elle vaut 3 et convient. À −1, elle vaut 0 et ne convient pas. À 1, la division par zéro exclut cette valeur. Le signe reste positif de part et d’autre du trou : un point exclu ne provoque pas toujours un changement de signe.

4. Reprendre le modèle de marche avec une durée limite

La personne de l’exemple précédent parcourt 12 km à une vitesse constante, puis 12 km à une vitesse supérieure de 2 km/h. Maintenant, la durée totale de marche, sans les arrêts, doit être d’au plus 5 heures. Quelles premières vitesses respectent ce modèle?

Soit v la valeur numérique de la première vitesse, en km/h; la deuxième vaut donc (v + 2) km/h. La durée égale la distance divisée par la vitesse, d’où la condition

$\frac{12}{v}+\frac{12}{v+2}\leq5,\qquad v>0.$

Les exclusions algébriques sont 0 et −2; le domaine physique v > 0 est plus restrictif. Dans tout ce domaine, v et v + 2 sont positifs. On peut donc multiplier chaque terme par leur produit sans inverser le sens :

$12(v+2)+12v\leq5v(v+2).$

Développez, regroupez les termes à droite et factorisez :

$\begin{aligned}0&\leq5v^2-14v-24\\&=(5v+6)(v-4).\end{aligned}$

Pour v positif, le facteur 5v + 6 est positif. Le produit est donc positif ou nul exactement lorsque v − 4 est positif ou nul. La première vitesse doit être d’au moins 4 km/h :

$v\in[4,\infty).$

La deuxième vitesse est alors d’au moins 6 km/h, toujours supérieure de 2 km/h à la première. Le zéro de l’autre facteur, −6/5, est hors du domaine physique. Contrairement à l’équation imposant exactement 5 heures, l’inéquation de durée limite accepte un intervalle entier.

Pour une première vitesse v positive, la courbe de durée totale 12/v plus 12/(v plus 2) décroît et rencontre la droite des 5 heures à v égal à 4. Elle est sous la droite à droite de 4. La droite des solutions commence par un point plein à 4 et continue vers la droite. — Dans le domaine physique, augmenter la première vitesse augmente aussi la deuxième et diminue les deux durées. La courbe atteint 5 heures à 4 km/h.

Vérifier les unités et la borne. À 4 km/h, les durées sont 3 h et 2 h, soit exactement 5 h. À 3 km/h, elles sont 4 h et 12/5 h, soit 6,4 h : c’est trop long. À 6 km/h, elles sont 2 h et 1,5 h, soit 3,5 h : cela convient. Ce modèle à vitesses constantes ne donne aucune borne supérieure aux vitesses; leur réalisme demanderait des renseignements supplémentaires.

Relier les trois représentations. Notez les exclusions des dénominateurs initiaux; trouvez les zéros de la fraction unique après avoir ramené la comparaison à zéro; justifiez les signes sur les intervalles; choisissez ensuite les portions du graphique et les bornes de la droite numérique qui respectent l’inégalité. Une vérification numérique peut révéler une erreur, mais quelques valeurs ne suffisent pas à établir un intervalle entier.

Contexte du cours. Les attentes 4.1–4.2 du cours ontarien MHF4U relient équations, inéquations, vérifications numériques et résolution graphique d’inéquations rationnelles simples à l’aide d’outils technologiques (programme, p. 94 imprimée, en anglais). Les tableaux de signes expliquent ici le raisonnement par intervalles; ils ne sont pas présentés comme la méthode précise imposée par ces attentes. Pour le calcul différentiel au cégep au Québec, compétence 0M02, il s’agit d’une révision de soutien en algèbre. Cela ne signifie pas que tous les cours du secondaire au Québec exigent cette notion; suivez votre propre plan de cours.

8. Comprendre fonctions, compositions et domaines

Une fonction associe exactement une sortie à chaque entrée permise. Son domaine est l’ensemble des entrées permises. Si une formule est donnée sans domaine précisé, cherchez toutes les entrées réelles pour lesquelles elle a un sens; conservez toute restriction supplémentaire de l’énoncé. Composer consiste à remplacer l’entrée d’une fonction par la sortie d’une autre, et non à multiplier les fonctions.

Exemple expliqué

Si $f(x)=x^2+1$ et $g(x)=2x-3$ , alors $f(g(x))=(2x-3)^2+1$ . Pour $h(x)=\sqrt{x-2}$ , les valeurs réelles exigent $x\ge2$ .

À éviter. $f(x+1)$ n’est généralement pas $f(x)+1$ . Remplacez chaque occurrence de l’entrée avant de simplifier.

À vous d’essayer

Pour cette question, soit $f(x)=\sqrt{x}$ et $g(x)=x-2$ , avec la racine carrée réelle non négative. Trouvez $f(g(x))$ et $g(f(x))$ , puis précisez le domaine réel de chacune. Justifiez chaque restriction en suivant l’entrée dans les deux fonctions. Laquelle de ces compositions, s’il y en a une, est définie en $x=1$ ?

Voir la réponse et le raisonnement

Appliquer $g$ en premier donne $f(g(x))=\sqrt{x-2}$ . L’entrée de la racine doit satisfaire $x-2\ge0$ , donc le domaine est $[2,\infty)$ . Dans l’autre ordre, $g(f(x))=\sqrt{x}-2$ , de domaine $[0,\infty)$ : la racine exige $x\ge0$ , et soustraire 2 n’ajoute aucune restriction. En $x=1$ , la première composition n’est pas définie dans les réels, tandis que la seconde vaut $-1$ . Une sortie négative est permise; c’est l’entrée de la racine qui doit être non négative.

9. Relier exponentielles et logarithmes

Le logarithme inverse l’exponentielle correspondante. Pour $a$ positif et différent de 1, $\log_a(b)=c$ signifie $a^c=b$ . Dans les réels, l’argument d’un logarithme doit être positif. Ici, $a$ est la base, $b>0$ l’argument et $c$ l’exposant qui permet d’obtenir $b$ . Le symbole $\ln$ désigne le logarithme de base $e$ , où $e\approx2{,}718$ .

Exemple expliqué

$e^{2x}=7$ donne $2x=\ln 7$ , puis $x=\frac{\ln 7}{2}$ . Garder cette réponse exacte évite un arrondi inutile.

À éviter. Il n’existe pas de règle $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ . Pour $a$ et $b$ positifs, la règle du produit est $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .

À vous d’essayer

Résolvez $\log_2 x=5$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$x=2^5=32$ , une valeur qui respecte la condition de positivité.

10. Calculer pentes et taux moyens

Une pente compare une variation de sortie à une variation d’entrée. Gardez le même ordre de soustraction. Les unités comptent : des mètres divisés par des secondes donnent des mètres par seconde. Une sécante est une droite passant par deux points du graphique; sa pente est le taux moyen entre leurs entrées.

Exemple expliqué

Pour $f(x)=x^2$ , le taux moyen entre $x=1$ et $x=3$ vaut $\begin{aligned}\frac{f(3)-f(1)}{3-1}&=\frac{9-1}{2}\\&=4\end{aligned}\text{.}$ C’est la pente d’une sécante, pas nécessairement le taux à chaque point.

À éviter. Diviser les valeurs de sortie plutôt que leurs différences, ou inverser une seule des soustractions.

À vous d’essayer

Trouvez la pente de la droite passant par $(2,5)$ et $(6,13)$ .

Voir la réponse et le raisonnement

$\frac{13-5}{6-2}=\frac{8}{4}=2\text{.}$

Votre prochaine séance de révision

Classez chaque compétence : à l’aise, besoin d’un rappel, ou à travailler.
Si les fractions, les signes ou les équations sont fragiles, commencez par là : ces outils servent partout.
Expliquez les étapes à voix haute, vérifiez par substitution ou développement, puis reprenez les erreurs plus tard sans notes.

Passer de la factorisation à la division de polynômes

Vous savez développer des parenthèses et factoriser un trinôme? Apprenez à trouver un quotient et un reste, à vérifier un facteur par substitution, puis à déterminer tous les zéros. La leçon distincte explique chaque soustraction et propose quatre questions corrigées.

Diviser un polynôme et vérifier un facteur

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