ENRéserver une séance
John Abbott · Technologie du génie physique · 201-225-AB

201-225-AB : tutorat en modèles mathématiques 2

Travaillez les dérivées, l’intégration et les équations différentielles pour le programme de technologie du génie physique de John Abbott. Commencez par l’exemple sur la méthode de Newton, ou apportez une question à une séance individuelle, même si vous n’avez pas commencé le calcul.

Demander une séanceEssayer l’exemple résolu

Le calcul en technologie du génie physique

Mathematical Models 2 fait suite au cours Mathematical Models 1. La description de John Abbott comprend les applications des dérivées, les techniques d’intégration, les séries de Fourier et les équations différentielles. L’exemple ci-dessous porte sur la méthode de Newton : utiliser une tangente pour améliorer une solution approchée d’une équation.

Notions à travailler

  • Pentes et dérivées, y compris celles des fonctions logarithmiques et trigonométriques
  • Méthode de Newton et problèmes de minimum et de maximum
  • Primitives, intégrales définies et aire
  • Substitutions algébriques et trigonométriques; intégration par parties
  • Séries de Fourier
  • Équations différentielles et séparation des variables

Avant d’essayer l’exemple

Révisez l’évaluation d’un polynôme, la dérivation des puissances et le calcul avec des fractions signées. Vous utiliserez la valeur d’une fonction et sa pente au même point. Conservez la valeur intermédiaire complète dans les calculs; arrondissez seulement le résultat affiché.

Deux étapes à vérifier

  • Évaluer la fonction et sa dérivée à l’approximation actuelle
  • Vérifier le sens d’une racine approchée dans l’équation initiale

Exemple résolu : améliorer une racine approchée

Pour xx réel, soit f(x)=x3+x−5f(x)=x^3+x-5. Trouvez une solution approchée de f(x)=0f(x)=0 en effectuant deux itérations de Newton à partir de x0=1,5x_0=1{,}5. Ici, x0x_0 est l’estimation initiale; x1x_1 et x2x_2 sont les deux approximations suivantes. Vérifiez ensuite une réponse à trois décimales dans l’équation initiale.

Voir un indice

Trouvez d’abord f′(x)f^{\prime}(x). À chaque itération, on soustrait la valeur actuelle de la fonction divisée par la pente actuelle. Les deux valeurs doivent être calculées à la même abscisse.

Voir la solution expliquée

  1. 1. Situer la racine et choisir la formule

    On a f(1)=−3f(1)=-3 et f(2)=5f(2)=5. Le polynôme est continu : une racine se trouve donc entre 1 et 2. De plus, f′(x)=3x2+1>0f^{\prime}(x)=3x^2+1>0 pour tout réel xx; la fonction est strictement croissante et cette racine est unique.

    La méthode de Newton prend l’abscisse où la tangente coupe l’axe des x comme nouvelle estimation. Sa formule est xn+1=xn−f(xn)f′(xn).x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}. L’indice n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots compte les itérations. Le dénominateur doit être non nul. Ici, il est toujours positif; pour d’autres fonctions, la méthode peut échouer ou mener à une autre racine.

  2. 2. Effectuer la première itération

    À x0=1,5x_0=1{,}5, la valeur de la fonction est f(x0)=−0,125f(x_0)=-0{,}125 et la pente est f′(x0)=7,75f^{\prime}(x_0)=7{,}75. On obtient donc x1=1,5−−0,1257,75=4731≈1,516129032.\begin{aligned}x_1&=1{,}5-\frac{-0{,}125}{7{,}75}\\&=\frac{47}{31}\approx1{,}516129032.\end{aligned} Soustraire une correction négative déplace l’estimation vers la droite, en direction de la racine.

  3. 3. Recalculer les deux valeurs à la nouvelle abscisse

    Utilisez la valeur non arrondie x1=47/31x_1=47/31 dans les deux parties de la fraction : x2=x1−x13+x1−53x12+1=5094333604≈1,515980240.\begin{aligned}x_2&=x_1-\frac{x_1^3+x_1-5}{3x_1^2+1}\\&=\frac{50943}{33604}\\&\approx1{,}515980240.\end{aligned} Réutiliser l’ancienne pente 7,757{,}75 ne donnerait plus l’itération de Newton en x1x_1.

  4. 4. Vérifier la précision de la réponse

    En remplaçant x par la valeur non arrondie de x2x_2, on obtient f(x2)≈1,007×10−7f(x_2)\approx1{,}007\times10^{-7}. Cette petite valeur restante de la fonction s’appelle le résidu. Elle vérifie l’équation, mais ne garantit généralement pas, à elle seule, un nombre donné de décimales exactes pour x.

    Pour une vérification distincte, f(1,5159)=−0,000633335321f(1{,}5159)=-0{,}000633335321 et f(1,5160)=0,000156096f(1{,}5160)=0{,}000156096. La continuité et le changement de signe placent l’unique racine entre ces abscisses. Tous les nombres de cet intervalle s’arrondissent à 1,5161{,}516 à trois décimales. La réponse est donc x≈1,516x\approx1{,}516.

À vous : calcul guidé, erreur à repérer, puis nouvelle équation

(1) Guidé : gardez f(x)=x3+x−5f(x)=x^3+x-5, mais partez de x0=2x_0=2. Sachant que f(2)=5f(2)=5 et f′(2)=13f^{\prime}(2)=13, trouvez x1x_1. L’estimation se déplace-t-elle à gauche ou à droite? (2) Diagnostic : après la première itération de l’exemple, un étudiant écrit x2=x1−f(x1)/f′(x0)x_2=x_1-f(x_1)/f^{\prime}(x_0). Quelle abscisse faut-il changer, et pourquoi? (3) Autonome : soit g(x)=x2−5g(x)=x^2-5. À partir de x0=2x_0=2, effectuez deux itérations de Newton et calculez le résidu g(x2)g(x_2). Pourquoi cette formule ne permet-elle pas de partir de x0=0x_0=0?

Voir un indice

Pour (1), soustrayez 5/135/13 de l’abscisse initiale. Pour (2), demandez-vous où la nouvelle tangente touche la courbe. Pour (3), trouvez g′(x)g^{\prime}(x), puis calculez le numérateur et le dénominateur à la dernière approximation. Vérifiez le dénominateur avant de diviser.

Vérifier les trois réponses

  1. 1. Guidé : la correction positive déplace l’estimation à gauche

    x1=2−513=2113≈1,615385.x_1=2-\frac{5}{13}=\frac{21}{13}\approx1{,}615385. L’estimation diminue, car la valeur de la fonction et la pente sont positives. Il s’agit d’une approximation, pas d’une solution exacte.

  2. 2. Diagnostic : recalculer aussi la pente

    Remplacez f′(x0)f^{\prime}(x_0) par f′(x1)f^{\prime}(x_1). La nouvelle tangente est prise en x1x_1 : sa hauteur et sa pente doivent être calculées à cette même abscisse. L’itération correcte est x2=x1−f(x1)/f′(x1)x_2=x_1-f(x_1)/f^{\prime}(x_1).

  3. 3. Autonome : effectuer les itérations et vérifier le dénominateur

    Comme g′(x)=2xg^{\prime}(x)=2x, la formule est xn+1=xn−(xn2−5)/(2xn)x_{n+1}=x_n-(x_n^2-5)/(2x_n), à condition que xn≠0x_n\ne0. En partant de 2, on obtient x1=2−−14=94,x2=94−1/169/2=16172≈2,236111.\begin{aligned}x_1&=2-\frac{-1}{4}=\frac94,\\x_2&=\frac94-\frac{1/16}{9/2}\\&=\frac{161}{72}\approx2{,}236111.\end{aligned}

    Le résidu est g(x2)=1/5184≈0,000192901g(x_2)=1/5184\approx0{,}000192901. À x0=0x_0=0, la dérivée est nulle alors que g(0)=−5g(0)=-5. La formule imposerait une division par zéro; la tangente horizontale ne coupe pas l’axe des x. Choisissez une autre abscisse initiale avant d’appliquer la méthode.

Si le signe de la correction vous pose problème, tracez une tangente croissante depuis un point sous l’axe des x. Si la deuxième itération a dérapé, écrivez la nouvelle abscisse à côté de la valeur de la fonction et de celle de la dérivée avant de diviser.

Quoi travailler avec un tuteur

Apportez une question, même si vous n’avez pas commencé la mise en équation. Vous pouvez partir ensemble de l’énoncé ou reprendre un calcul déjà essayé. Votre tuteur peut vous aider à reformuler une équation comme un problème de recherche de racine, vérifier la dérivée, choisir une valeur de départ à l’aide du graphique et suivre l’utilisation de chaque approximation.

Pour une question d’intégration ou d’équations différentielles, votre tuteur peut vous aider à choisir une méthode, garder les variables et les unités cohérentes, vérifier une primitive par dérivation et tester une solution d’équation différentielle par substitution. Pour les séries de Fourier, votre tuteur peut vous aider à identifier la période, établir les intégrales des coefficients et utiliser la symétrie pour les simplifier. Essayez ensuite une variante vous-même et expliquez la méthode avant de calculer.

Construire votre révision à partir du plan actuel

Choisissez des questions portant sur les notions assignées par votre enseignant. Pour une méthode numérique, indiquez la valeur de départ, montrez les itérations demandées et vérifiez le résultat dans l’équation. Pour l’intégration ou les équations différentielles, expliquez la méthode et vérifiez votre réponse. Suivez les consignes de votre groupe concernant les calculatrices, les logiciels, la notation et les évaluations.

Pratique autonome

Choisir la prochaine étape à pratiquer

Renseignements sur le cours et lectures complémentaires

Avant de demander une séance

Puis-je demander du tutorat pour 201-225-AB?

Oui. Dites-nous que vous suivez Mathematical Models 2 à John Abbott, la notion à travailler et vos disponibilités. Ajoutez le code si vous l’avez. Nous confirmons la disponibilité du tuteur, les détails de la séance et le prix avant le paiement.

Que dois-je apporter?

Apportez votre plan de cours actuel et une question que vous avez le droit de partager, si vous les avez. Vous pouvez montrer un calcul commencé ou demander de l’aide dès la première étape. Pour la méthode de Newton, incluez la valeur de départ ou la précision indiquée dans l’énoncé; votre tuteur peut vous aider à choisir une valeur de départ si elle n’est pas donnée.

Dois-je connaître mon code de cours?

Non. Le collège, le nom du cours et la notion suffisent pour commencer. Vous pourrez ajouter le code ensuite s’il aide à identifier le cours.

Comment les séances se déroulent-elles?

Les séances se déroulent actuellement en anglais, en ligne sur Zoom ou Google Meet.

Nablio fait-il partie de John Abbott?

Nablio offre du tutorat indépendant et n’est ni affilié à John Abbott College ni approuvé par cet établissement.

Demander de l’aide pour votre question

Indiquez la notion, l’étape qui vous bloque et quelques disponibilités. Ajoutez 201-225-AB si vous avez votre code de cours sous la main.

Demander une séance