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John Abbott · Sciences humaines · 201-SH2-AB

Tutorat en calcul 1 pour les sciences humaines 201-SH2-AB

Obtenez de l’aide individuelle sur les limites, les dérivées et l’optimisation pour 201-SH2-AB à John Abbott. Travaillez le court exemple commercial ci-dessous ou apportez une question à un tuteur, même si vous ne l’avez pas commencée.

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Le calcul en sciences humaines et en commerce

Le cours Calcul 1 pour les sciences humaines à John Abbott relie les fonctions, les limites et les dérivées à l’étude de courbes, à l’optimisation et aux applications commerciales. Vous y travaillez aussi les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques. Commencez par le calcul ou l’interprétation qui vous pose problème.

Notions à travailler

  • Algèbre, fonctions, limites et continuité
  • Règles de dérivation des fonctions algébriques, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques
  • Étude de courbes et interprétation du signe de la dérivée
  • Optimisation et applications commerciales

Un point de départ utile

Révisez le développement de parenthèses, la notation des fonctions et la lecture d’un intervalle. Dans l’exemple, vous exprimerez le profit à partir du prix et du coût, dériverez une fonction quadratique et comparerez les quantités permises.

Étapes à vérifier

  • Distinguer le prix unitaire, le revenu total et le profit total
  • Vérifier le domaine permis avant de retenir un point critique

Exemple résolu : choisir la quantité qui maximise le profit

Dans ce modèle de vente simplifié, qq représente le nombre d’articles vendus, traité comme une variable continue sur 0≤q≤800\le q\le80. Tous les articles se vendent au prix p(q)=50−12qp(q)=50-\tfrac12q dollars par article. Le coût total est C(q)=100+10qC(q)=100+10q dollars. Le coût fixe de 100 dollars s’applique même si aucun article n’est vendu. Trouvez la quantité qui donne le plus grand profit, puis indiquez le prix et le profit correspondants.

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Multipliez d’abord le prix unitaire par la quantité pour obtenir le revenu total. Soustrayez le coût total, y compris le coût fixe. Une dérivée nulle donne un candidat; vérifiez qu’il est permis et qu’il donne bien le plus grand profit.

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  1. 1. Construire la fonction de profit

    Notons R(q)R(q) le revenu total et P(q)P(q) le profit total, tous deux en dollars. Le revenu est le prix multiplié par la quantité, et le profit est le revenu moins le coût :

    R(q)=q(50−12q),P(q)=R(q)−C(q)=40q−12q2−100.\begin{aligned}R(q)&=q\left(50-\tfrac12q\right),\\P(q)&=R(q)-C(q)\\&=40q-\tfrac12q^2-100.\end{aligned}

  2. 2. Trouver et justifier le maximum

    La dérivée P′(q)=40−qP^{\prime}(q)=40-q est le taux de variation instantané du profit par rapport à la quantité, en dollars par article. Elle est nulle à q=40q=40, positive pour 0<q<400<q<40 et négative pour 40<q<8040<q<80. Le profit augmente donc jusqu’à 40 articles, puis diminue.

    La fonction est continue sur l’intervalle fermé [0,80][0,80]. Vérifions le candidat intérieur et les bornes : P(0)=−100,P(40)=700,P(80)=−100.P(0)=-100,\quad P(40)=700,\quad P(80)=-100. Le profit maximal est de 700 dollars pour 40 articles. Cette quantité est aussi entière : elle convient donc si les articles doivent être vendus à l’unité.

  3. 3. Interpréter le résultat et vérifier les montants

    À q=40q=40, le prix est p(40)=30p(40)=30 dollars par article. Le revenu est de 40×30=120040\times30=1200 dollars et le coût est de 100+10×40=500100+10\times40=500 dollars. Leur différence donne le profit : 1200−500=7001200-500=700 dollars.

    La réponse est une quantité de 40 articles, un prix de 30 dollars par article et un profit de 700 dollars. La dérivée nulle est un taux de variation; ce n’est pas la valeur du profit maximal.

À vous : une capacité réduite, puis un coût fixe plus élevé

Reprenez le même modèle de prix et de coût, mais le vendeur peut maintenant vendre au plus 30 articles. (1) Écrivez le nouvel intervalle pour qq. (2) Trouvez la quantité, le prix et le profit maximal sur cet intervalle. (3) En gardant cette limite de 30 articles, supposez que le coût fixe passe de 100 à 160 dollars. La meilleure quantité change-t-elle? Quel est le nouveau profit maximal?

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La formule P′(q)=40−qP^{\prime}(q)=40-q n’a pas changé dans la partie (2), mais l’intervalle permis a changé. Pour la partie (3), écrivez le nouveau profit comme l’ancien profit moins une constante.

Vérifier les trois étapes

  1. 1. Garder les quantités permises

    Le nouvel intervalle est 0≤q≤300\le q\le30. Le candidat initial q=40q=40 n’en fait pas partie et ne peut pas être retenu.

  2. 2. Utiliser le signe sur le nouvel intervalle

    Pour 0<q<300<q<30, P′(q)=40−q>0P^{\prime}(q)=40-q>0; le profit augmente donc sur tout l’intervalle permis. Le maximum est à la borne q=30q=30.

    Le prix est p(30)=35p(30)=35 dollars par article. Le revenu est de 30×35=105030\times35=1050 dollars, le coût est de 100+10×30=400100+10\times30=400 dollars et le profit est de 1050−400=6501050-400=650 dollars. Cette valeur dépasse P(0)=−100P(0)=-100. Un maximum à une borne n’exige pas une dérivée nulle.

  3. 3. Distinguer le montant du profit de la meilleure quantité

    Notons P~(q)\widetilde P(q) le nouveau profit. Alors P~(q)=P(q)−60\widetilde P(q)=P(q)-60, donc P~′(q)=40−q\widetilde P^{\prime}(q)=40-q. Tous les profits diminuent des mêmes 60 dollars : la quantité optimale reste de 30 articles et le prix reste de 35 dollars par article. Le nouveau profit maximal est de 650−60=590650-60=590 dollars.

Si la mise en équation était difficile, écrivez les unités à côté du prix, du revenu et du coût. Si la dérivée était correcte mais la conclusion peu claire, expliquez le changement de signe et vérifiez les bornes avant de passer à l’exercice.

Quoi travailler avec un tuteur

Apportez une question, même si vous ne savez pas par où commencer. Pour une limite, votre tuteur peut vérifier avec vous le domaine et l’algèbre avant la substitution. Pour une dérivée, il peut vous aider à choisir la règle, conserver tous les facteurs et vérifier le résultat.

Pour une application commerciale, votre tuteur peut vous aider à définir la quantité et ses unités, construire le revenu ou le profit à partir de l’énoncé et justifier un optimum avec la dérivée et le domaine. Vous pouvez ensuite essayer une variante vous-même et expliquer ce qui reste inchangé.

Construire votre révision à partir du plan de cours

Apportez les notions annoncées par votre enseignant et un exercice, avec ce que vous avez commencé si vous l’avez déjà essayé. Alternez une limite, une dérivée et une application portant sur cette matière. Expliquez la méthode avant de calculer, puis refaites une question manquée sans consulter la solution. Suivez les consignes de votre groupe pour les outils permis et les exigences des évaluations.

Pratique autonome

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Renseignements sur le cours

Avant de demander une séance

Puis-je demander du tutorat pour 201-SH2-AB?

Oui. Envoyez votre code de cours, la notion à travailler et vos disponibilités. Nous confirmons la disponibilité du tuteur, les détails de la séance et le prix avant le paiement.

Que dois-je apporter?

Apportez votre plan de cours actuel et une question que vous avez le droit de partager, si vous les avez. Vous pouvez montrer ce que vous avez commencé ou demander au tuteur de vous aider à choisir la première étape.

Comment les séances se déroulent-elles?

Les séances se déroulent actuellement en anglais, en ligne sur Zoom ou Google Meet.

Nablio fait-il partie de John Abbott?

Nablio offre du tutorat indépendant et n’est ni affilié à John Abbott College ni approuvé par cet établissement.

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