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John Abbott · Sciences humaines · 201-SH3-AB

Tutorat en calcul 2 pour les sciences humaines, 201-SH3-AB

Obtenez de l’aide individuelle pour poser vos intégrales et expliquer le résultat. Essayez l’exemple de surplus du consommateur ci-dessous ou apportez votre propre question, même si vous ne l’avez pas commencée.

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Le calcul 2 en sciences humaines à John Abbott

Ce cours relie l’intégration aux aires et aux applications économiques. Le court exemple ci-dessous porte sur le choix des bornes et l’interprétation d’une intégrale définie.

Notions à travailler

  • Intégrales indéfinies et définies; surplus du consommateur et du producteur
  • Méthodes d’intégration : intégration par parties, décomposition en fractions partielles et utilisation de tables
  • Équations différentielles séparables du premier ordre
  • Règle de l’Hôpital, intégrales impropres, suites et convergence des séries

Si la règle de l’Hôpital fait partie des notions que vous étudiez, essayez cet approfondissement facultatif sur le choix de la méthode.

Avant de calculer

Révisez la règle des puissances pour les primitives et la résolution d’une équation quadratique. Dans l’exemple, commencez par repérer la quantité achetée et le prix payé. Ces valeurs déterminent l’intervalle d’intégration et la hauteur à soustraire.

Étapes à vérifier

  • Trouver la quantité à partir du prix avant de choisir la borne supérieure
  • Distinguer un prix au kilogramme, un paiement total et le surplus du consommateur

Exemple résolu : calculer le surplus du consommateur

Dans un modèle de marché simplifié, qq représente la quantité d’un produit achetée pendant une journée de marché, en kilogrammes. La courbe de demande D(q)=50−q220D(q)=50-\tfrac{q^2}{20}, en dollars par kilogramme, donne la disposition marginale à payer des acheteurs : le taux auquel le montant total qu’ils sont prêts à payer augmente avec la quantité qq. Le modèle s’applique pour 0≤q≤300\le q\le30. Tous les acheteurs paient p0=30p_0=30 dollars par kilogramme et toute la demande à ce prix est satisfaite. Trouvez la quantité achetée et le surplus du consommateur : la disposition totale à payer moins le montant réellement payé.

Voir un indice

Notons QQ la quantité achetée. Résolvez d’abord D(Q)=p0D(Q)=p_0 dans le domaine du modèle. Le surplus du consommateur additionne l’écart entre la courbe de demande et la droite horizontale du prix, de q=0q=0 à q=Qq=Q.

Voir la solution expliquée

  1. 1. Trouver la quantité et les bornes

    À la quantité achetée, la disposition marginale à payer égale le prix payé. Résolvons pour QQ :

    50−Q220=30⟹Q2=400.50-\frac{Q^2}{20}=30\quad\Longrightarrow\quad Q^2=400.

    La solution non négative est Q=20Q=20 kilogrammes, dans le domaine du modèle. L’intervalle d’intégration est donc [0,20][0,20].

  2. 2. Intégrer l’écart au-dessus du prix

    Notons SS le surplus du consommateur, en dollars. Soustrayons le prix uniforme avant d’intégrer :

    S=∫020(D(q)−30) dq=∫020(20−q220) dq=[20q−q360]020=8003.\begin{aligned}S&=\int_0^{20}\bigl(D(q)-30\bigr)\,\mathrm dq\\&=\int_0^{20}\left(20-\frac{q^2}{20}\right)\,\mathrm dq\\&=\left[20q-\frac{q^3}{60}\right]_0^{20}\\&=\frac{800}{3}.\end{aligned}

    Le surplus du consommateur est d’environ 266,67 dollars. Le prix est en dollars par kilogramme et l’accroissement de quantité en kilogrammes : l’intégrale est donc en dollars. La courbe de demande n’est pas une droite; la formule d’aire d’un triangle ne donnerait pas l’aire exacte.

  3. 3. Vérifier l’interprétation

    Les acheteurs paient au total 30×20=60030\times20=600 dollars. En ajoutant ce paiement au surplus, on obtient une disposition totale à payer de 600+8003=26003600+\tfrac{800}{3}=\tfrac{2600}{3}, soit environ 866,67 dollars.

    Le surplus mesure l’avantage que les acheteurs retirent au-delà du montant payé; il ne s’agit pas d’un remboursement. Le paiement de 600 dollars est le revenu du vendeur. Pour calculer son profit, il faudrait aussi connaître ses coûts.

À vous : le prix baisse

Gardez la même courbe de demande et le même domaine, mais ramenez le prix uniforme à 5 dollars par kilogramme. Toute la demande à ce prix est satisfaite. (1) Trouvez la nouvelle quantité QQ. (2) Posez et calculez l’intégrale du surplus du consommateur. (3) Trouvez le montant payé par les acheteurs et expliquez pourquoi il diffère du surplus.

Voir un indice

Résolvez D(Q)=5D(Q)=5 avant de reprendre une borne. Intégrez ensuite D(q)−5D(q)-5 sur les quantités achetées. Pour le montant payé, multipliez le prix par la quantité.

Vérifier les trois étapes

  1. 1. Mettre à jour la quantité

    50−Q220=5⟹Q2=900.50-\frac{Q^2}{20}=5\quad\Longrightarrow\quad Q^2=900.

    On retient Q=30Q=30 kilogrammes. C’est la borne supérieure du domaine indiqué : le modèle couvre donc cette quantité.

  2. 2. Modifier la borne et le prix

    S=∫030(45−q220) dq=[45q−q360]030=1350−450=900.\begin{aligned}S&=\int_0^{30}\left(45-\frac{q^2}{20}\right)\,\mathrm dq\\&=\left[45q-\frac{q^3}{60}\right]_0^{30}\\&=1350-450=900.\end{aligned}

    Le surplus du consommateur est de 900 dollars. Garder l’ancienne borne supérieure de 20 omettrait la quantité supplémentaire achetée au prix réduit.

  3. 3. Distinguer paiement et surplus

    Le montant payé est de 5×30=1505\times30=150 dollars. La disposition totale à payer est de 150+900=1050150+900=1050 dollars. Le paiement est le montant transféré au vendeur; le surplus est l’avantage que les acheteurs conservent au-delà de ce paiement.

Si la mise en place était difficile, repérez la droite horizontale du prix, la borne supérieure et l’écart à intégrer avant de réessayer. Si la mise en place était correcte, vérifiez la primitive en la dérivant.

Quoi travailler avec un tuteur

Apportez une question, même si vous ne savez pas par où commencer. Si vous l’avez déjà essayée, indiquez la première étape à revoir. Pour une application, votre tuteur peut vous aider à définir les quantités et leurs unités, choisir les bornes, dessiner la région et interpréter l’intégrale. Essayez ensuite vous-même avec un autre prix ou un autre intervalle.

Pour une question de technique, votre tuteur peut vous aider à comparer les méthodes et à vérifier votre primitive en la dérivant. Pour une intégrale impropre ou une série, il peut vous aider à écrire la limite requise ou à choisir un critère de convergence, puis à expliquer pourquoi ses conditions sont remplies.

Construire votre révision à partir du plan de cours

Parmi les notions annoncées par votre enseignant, choisissez une question de méthode d’intégration et une application. Pour la première, justifiez la méthode et vérifiez la primitive en la dérivant. Pour l’application, tracez la région, choisissez les bornes et précisez les unités et le sens du résultat. Refaites une question manquée sans la solution. Suivez les consignes de votre groupe concernant les outils permis et le travail évalué.

Pratique autonome

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Renseignements sur le cours

Avant de demander une séance

Puis-je demander du tutorat pour 201-SH3-AB?

Oui. Envoyez la notion à travailler, une question et vos disponibilités. Vous pouvez ajouter votre code de cours si vous l’avez. Nous confirmons la disponibilité du tuteur, les détails de la séance et le prix avant le paiement.

Que dois-je apporter?

Apportez votre plan de cours actuel et une question que vous avez le droit de partager, si vous les avez. Vous pouvez montrer ce que vous avez commencé ou demander au tuteur de vous aider à choisir la première étape.

Comment les séances se déroulent-elles?

Les séances se déroulent actuellement en anglais, en ligne sur Zoom ou Google Meet.

Nablio fait-il partie de John Abbott?

Nablio offre du tutorat indépendant et n’est ni affilié à John Abbott College ni approuvé par cet établissement.

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