Intégrales impropres : définir la limite, décider la convergence

1. Qu’est-ce qui rend une intégrale impropre?

L’intégrale définie d’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné est une intégrale ordinaire, ou propre. Deux situations nécessitent ici une définition par limite :

• Une borne infinie : l’intervalle se prolonge indéfiniment.
• Une fonction à intégrer non bornée : près d’une extrémité ou d’un point intérieur de l’intervalle, ses valeurs peuvent devenir aussi grandes en valeur absolue que l’on veut. On appelle ici un tel point une singularité.

Une valeur manquante ne force pas, à elle seule, la divergence. Par exemple, on peut combler un trou correspondant à une discontinuité amovible sans changer une intégrale. Une fonction présentant un saut borné peut aussi être intégrable au sens ordinaire. Examinez d’abord le domaine et le comportement près de chaque point exclu.

Sur un intervalle infini vers la droite, supposons que $f$ soit continue sur chaque intervalle fini $[a,R]$. La définition est

$$\begin{aligned}&\int_a^\infty f(x)\,dx\\&\quad=\lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx.\end{aligned}$$

Le symbole $\infty$ n’est pas un nombre à substituer dans une primitive. Calculez l’intégrale définie pour une valeur finie de $R$, puis prenez la limite. Pour un intervalle infini vers la gauche, utilisez une borne inférieure finie distincte :

$$\begin{aligned}&\int_{-\infty}^b f(x)\,dx\\&\quad=\lim_{L\to-\infty}\int_L^b f(x)\,dx.\end{aligned}$$

L’intégrale impropre converge si la limite qui la définit est un nombre réel fini. Elle diverge sinon. Une limite égale à $+\infty$ ou à $-\infty$ correspond à une divergence; une limite qui n’existe pas à cause d’oscillations correspond aussi à une divergence. Par exemple, l’intégrale tronquée $\int_0^R\cos x\,dx$ vaut $\sin R$, qui n’a pas de limite lorsque $R\to\infty$.

2. Un intervalle infini, une limite finie

Exemple résolu : quelle aire reste-t-il?

Déterminez si $\int_1^\infty x^{-2}\,dx$ converge. Pour $R>1$, définissons l’aire accumulée $A(R)$ :

$$\begin{aligned}A(R)&=\int_1^R x^{-2}\,dx\\&=\left[-\frac1x\right]_1^R\\&=1-\frac1R.\end{aligned}$$

Prenons maintenant la limite :

$$\lim_{R\to\infty}A(R)=1.$$

L’intégrale impropre converge donc vers $1$. La courbe reste positive indéfiniment, mais l’aire ajoutée devient assez petite pour que l’aire totale tende vers une valeur finie.

Plus généralement, l’aire restante après $R$ est

$$\int_R^\infty x^{-2}\,dx=\frac1R.$$

Pour que l’aire omise soit d’au plus $0{,}01$, choisissez $R\ge100$. Il s’agit d’une borne d’erreur exacte pour cet exemple précis, et non d’une règle générale pour toutes les intégrales impropres.

Tendre vers zéro ne suffit pas

Comparons avec une fonction qui décroît plus lentement :

$$\int_1^R\frac{dx}{x}=\ln R.$$

Même si $1/x\to0$, l’aire accumulée augmente sans borne. L’intégrale $\int_1^\infty dx/x$ diverge donc. Une petite valeur de la fonction loin sur l’axe ne suffit pas à contrôler l’aire totale sur un intervalle infini.

3. Une fonction non bornée près d’une extrémité

Supposons que $f$ soit continue sur $(a,b]$ et non bornée lorsque $x\to a^+$. Approchons l’extrémité depuis l’intérieur de l’intervalle :

$$\begin{aligned}&\int_a^b f(x)\,dx\\&\quad=\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx.\end{aligned}$$

Pour une singularité à l’extrémité droite, on utilise plutôt

$$\begin{aligned}&\int_a^b f(x)\,dx\\&\quad=\lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\,dx.\end{aligned}$$

Ces formules traitent une seule extrémité problématique à la fois. Si les deux extrémités sont problématiques, séparez l’intégrale à un point intérieur ordinaire et examinez les deux parties séparément.

4. Séparer à chaque singularité intérieure

Si $c$ est à l’intérieur de $(a,b)$ et que la fonction est non bornée près de $c$, n’appliquez pas une primitive sur tout l’intervalle d’un seul coup. En supposant qu’il n’y ait pas d’autre point problématique, définissez deux quantités distinctes :

$$\begin{aligned}I_-&=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f(x)\,dx,\\I_+&=\lim_{s\to c^+}\int_s^b f(x)\,dx.\end{aligned}$$

C’est seulement lorsque les deux limites sont finies que $\int_a^b f(x)\,dx=I_-+I_+$. Si l’une des parties diverge, l’intégrale impropre initiale diverge. Les coupures $t$ et $s$ sont indépendantes.

Une singularité intérieure peut tout de même être intégrable

Comme contre-exemple à une divergence automatique, considérons $\int_0^3|x-1|^{-1/2}\,dx$. Séparons à $1$. Pour $t<1$, l’intégrale tronquée à gauche est

$$\begin{aligned}&\int_0^t\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\\&\quad=2-2\sqrt{1-t}.\end{aligned}$$

Elle tend vers $2$ lorsque $t\to1^-$. Pour $s>1$, l’intégrale tronquée à droite est

$$\begin{aligned}&\int_s^3\frac{dx}{\sqrt{x-1}}\\&\quad=2\sqrt2-2\sqrt{s-1}.\end{aligned}$$

Elle tend vers $2\sqrt2$ lorsque $s\to1^+$. Les deux limites sont finies : l’intégrale converge donc vers $2+2\sqrt2$. La séparation reste nécessaire même si la réponse finale est finie.

Deux bornes infinies exigent aussi deux vérifications

Pour $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$, choisissez un point de séparation fini $c$ où la fonction est régulière. S’il n’y a aucune singularité finie, examinez séparément $\int_{-\infty}^c f(x)\,dx$ et $\int_c^\infty f(x)\,dx$. Les deux doivent converger. Une seule limite symétrique de $-R$ à $R$ n’est pas la définition. Séparez aussi à chaque singularité finie, s’il y en a.

5. Pourquoi les deux critères de puissance diffèrent

Les fonctions puissances servent de références utiles. Soit $p$ un nombre réel. Pour $p\ne1$,

$$\int_1^R x^{-p}\,dx=\frac{R^{1-p}-1}{1-p}.$$

Lorsque $R\to\infty$, le terme $R^{1-p}$ tend vers zéro précisément quand $p>1$. Pour $p=1$, le logarithme diverge. Ainsi,

$$\begin{aligned}&\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}<\infty\\&\quad\Longleftrightarrow p>1.\end{aligned}$$

Dans ce cas convergent, la valeur est $1/(p-1)$. Près de zéro, la même primitive donne une limite différente :

$$\int_t^1 x^{-p}\,dx=\frac{1-t^{1-p}}{1-p}.$$

Cette fois, $t\to0^+$, donc $t^{1-p}$ tend vers zéro lorsque $p<1$. Par conséquent,

$$\begin{aligned}&\int_0^1\frac{dx}{x^p}<\infty\\&\quad\Longleftrightarrow p<1.\end{aligned}$$

La valeur est alors $1/(1-p)$. Pour $p=1$, cette intégrale diverge aussi.

Associez toujours la règle à l’extrémité étudiée. À l’infini, des puissances positives plus grandes font décroître la fonction plus vite. Près de zéro, elles rendent la singularité plus forte. Mémoriser seulement « plus grand que un » fait perdre cette distinction.

En particulier, $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$ diverge pour tout réel $p$ : la convergence exigerait à la fois $p<1$ près de zéro et $p>1$ à l’infini. Une fonction dont le comportement diffère aux deux extrémités peut tout de même converger aux deux.

6. Comparer quand une primitive est peu utile

Pour des fonctions continues non négatives sur $[A,\infty)$, supposons que $0\le f(x)\le g(x)$. Alors :

• Si $\int_A^\infty g(x)\,dx$ converge, l’intégrale de la plus petite fonction, $f$, converge.
• Si $\int_A^\infty f(x)\,dx$ diverge, l’intégrale de la plus grande fonction, $g$, diverge.

Vous pouvez aussi comparer les fonctions en approchant une singularité finie d’un seul côté, à condition qu’elles soient continues sur chaque intervalle fermé situé de ce côté et qui reste à distance de la singularité. Les intervalles fermés et bornés où les fonctions sont continues ne changent pas la convergence. Utilisez ces comparaisons seulement là où les deux fonctions sont positives ou nulles.

Choisir le sens utile

Pour prouver la divergence de $\int_1^\infty dx/\sqrt{x^2+4}$, cherchez une borne inférieure dont l’intégrale diverge. Comme $x^2+4\le5x^2$ pour $x\ge1$,

$$\frac1{\sqrt{x^2+4}}\ge\frac1{\sqrt5\,x}.$$

L’intégrale de la borne inférieure diverge comme $\int_1^\infty dx/x$; l’intégrale initiale diverge donc. Une simple majoration par une fonction dont l’intégrale diverge ne permettrait aucune conclusion.

7. Quatre exercices progressifs

Pour chaque question, repérez le point problématique avant de calculer. Écrivez la limite ou la comparaison, puis donnez une valeur finie si vous pouvez la calculer, ou une conclusion claire sur la convergence. Essayez avant d’ouvrir l’indice ou la solution.

Votre prochaine vérification

1. Marquez chaque borne infinie et chaque point où la fonction à intégrer devient non bornée.
2. Séparez pour que chaque partie ait une seule extrémité problématique. Donnez à chaque coupure sa propre limite unilatérale.
3. Calculez l’intégrale tronquée, ou justifiez une comparaison de fonctions non négatives avec le bon sens d’inégalité.
4. Concluez à la convergence seulement si chaque partie a une limite finie. Additionnez les valeurs seulement après cette vérification.

Pour poursuivre, comparez ce raisonnement sur les limites d’aires avec les exercices sur la convergence des séries. Une série additionne des termes discrets; une intégrale impropre prend une limite d’intégrales accumulées. Leurs critères de convergence sont liés, mais une justification doit toujours respecter les conditions du critère utilisé.

Contexte officiel du cours

Description du cours : annuaire actuel du premier cycle de Concordia.