McGill University · MATH 123

Tutorat MATH 123 · McGill : Algèbre linéaire et probabilités

Algèbre linéaire et probabilités : tutorat individuel en ligne et préparation aux examens.

Demander une séance Textez-nous Écrivez-nous

60 min en ligne : 55 $ CAD · Tarifs Préparer un examen Essayer un exercice gratuit Leçon gratuite : probabilité conditionnelle et Bayes

Cours répertorié

Aperçu du cours

MATH 123 à McGill combine méthodes vectorielles et matricielles, programmation linéaire et probabilités élémentaires pour les étudiants en gestion.

Réservé aux étudiants de la Faculté de gestion Desautels.

Notions à travailler pour MATH 123

Vecteurs, droites, plans et produits scalaire/vectorielSystèmes linéaires, opérations matricielles et rangDépendance et indépendance linéaires, inverses et déterminantsProgrammation linéaire avec tableauxUnivers, événements et probabilitésProbabilités conditionnelles et règle de BayesÉchantillonnage aléatoire, variables aléatoires et lois usuelles

Difficultés fréquentes

Relier les calculs matriciels au système initial
Traduire un problème d’optimisation en objectif et contraintes
Identifier clairement l’événement conditionnant dans un calcul de probabilité

Se préparer à ce cours

Révisez les équations et inéquations linéaires, les fractions et la notion d’événement avant de travailler les exemples ci-dessous. Le court exercice vérifie le raisonnement sur un tirage conditionnel; l’exemple résolu montre comment construire et vérifier un programme linéaire. Ces deux compétences ciblées ne mesurent pas votre préparation à l’ensemble du cours. Consultez le plan actuel de votre section pour choisir les autres exercices.

Conditions d’inscription

McGill réserve MATH 123 aux étudiants de la Faculté de gestion. Le cours n’est pas ouvert aux étudiants qui ont suivi ou suivent MATH 133, l’objectif collégial 00UQ ou un équivalent. La description oriente plutôt vers MATH 133 les étudiants en gestion qui prévoient une majeure ou une mineure offerte par le Département de mathématiques et de statistique. Confirmez votre admissibilité et les modalités d’inscription actuelles auprès de McGill.

Consulter le catalogue officiel

Court exercice : un deuxième tirage sans remise

Une boîte contient 10 objets distincts : 4 défectueux et 6 fonctionnels. On tire deux objets successivement, sans remettre le premier dans la boîte. À chaque tirage, chaque objet restant a la même probabilité d’être choisi. On apprend que le premier objet était défectueux. Notons $D_1$ l’événement « le premier objet est défectueux » et $D_2$ l’événement « le deuxième objet est défectueux ». Calculez $P(D_2\mid D_1)$ , la probabilité que le deuxième objet soit défectueux sachant que le premier l’était. Expliquez pourquoi $4/10$ n’est pas cette probabilité conditionnelle.

Voir un indice

Tenez d’abord compte de l’information après la barre verticale. Retirez un objet défectueux, puis comptez les objets défectueux et le nombre total d’objets encore dans la boîte.

Voir le raisonnement

Compter les objets restants sachant que le premier était défectueux
Quel que soit l’objet défectueux tiré en premier, il reste 9 objets : 3 défectueux et 6 fonctionnels. Chaque objet restant a la même probabilité d’être choisi. La probabilité que le deuxième objet soit défectueux est donc de $3/9$ . La même fraction s’applique quel que soit l’objet défectueux retiré en premier.
Comparer probabilités conditionnelle et non conditionnelle
Ainsi, $P(D_2\mid D_1)=3/9=1/3$ . Avant de connaître le premier résultat, chacun des 10 objets a la même probabilité d’être tiré en deuxième, donc $P(D_2)=4/10$ . Puisque $P(D_1)=4/10>0$ , l’indépendance exigerait $P(D_2\mid D_1)=P(D_2)$ . Ici, $1/3\ne4/10$ , donc les deux événements ne sont pas indépendants. La fraction $4/10$ ne tient pas compte de l’information sur le premier tirage. Ces probabilités sont sans unité.

Exemple résolu : satisfaire deux exigences au moindre coût

Un fabricant fictif peut acheter deux mélanges en vrac, A et B. Chaque kilogramme de A fournit 2 g du composant R et 1 g du composant S; chaque kilogramme de B fournit 1 g de R et 3 g de S. A coûte 3 CAD/kg et B coûte 4 CAD/kg. L’achat doit fournir au moins 8 g de R et au moins 9 g de S. Trouvez l’achat le moins coûteux. Les quantités sont divisibles, les prix et la composition sont constants, les excédents sont permis et il n’y a aucune autre limite ni aucuns autres frais.

1. Définir les quantités, les contraintes et le coût

Notons $x$ et $y$ les nombres de kilogrammes de A et de B achetés, respectivement, avec $x,y\ge0$ réels. Les quantités numériques de composants en grammes sont $2x+y$ pour R et $x+3y$ pour S. « Au moins » donne $2x+y\ge8$ et $x+3y\ge9$ . Il faut minimiser la valeur numérique du coût $C=3x+4y$ , en CAD. Les coefficients des formules de composants sont en g/kg; les coefficients de prix sont en CAD/kg.

2. Trouver un candidat qui satisfait exactement les deux exigences

Résolvons $2x+y=8$ et $x+3y=9$ . La première équation donne $y=8-2x$ . Substituons dans la seconde : $x+3(8-2x)=9$ , donc $-5x=-15$ . Ainsi, $x=3$ et $y=2$ . Satisfaire les deux égalités donne un candidat, mais ne prouve pas encore que son coût est minimal.

3. Vérifier le candidat dans le modèle initial

Les masses de 3 kg de A et de 2 kg de B sont non négatives. Elles fournissent $2(3)+2=8$ g de R et $3+3(2)=9$ g de S, ce qui satisfait les deux exigences minimales. Leur coût est de $3(3)+4(2)=17$ CAD.

4. Prouver qu’aucun achat admissible ne coûte moins cher

Avec les valeurs numériques dans les unités indiquées, réécrivons le coût sous la forme $C=(2x+y)+(x+3y)$ . Tout achat qui respecte les exigences satisfait donc $C\ge8+9=17$ . Notre candidat atteint cette borne inférieure : le minimum global est de 17 CAD. L’égalité exige que les deux quantités de composants atteignent exactement leur minimum; les deux équations ont pour unique solution $(3,2)$ . Il s’agit donc de l’unique achat le moins coûteux.

À vous de jouer

Gardez le même modèle. Une personne propose d’acheter seulement 4 kg de A, car cet achat fournit les 8 g de R requis. Cet achat est-il admissible? Vérifiez les deux composants avant de comparer les coûts.

Voir la solution expliquée

Ici, $x=4$ et $y=0$ . L’achat fournit $2(4)+0=8$ g de R, mais seulement $4+3(0)=4$ g de S, au lieu des 9 g requis. Son coût de 12 CAD ne peut pas être comparé comme celui d’une solution admissible : la contrainte sur S n’est pas satisfaite.

Cet exemple développe un modèle à deux variables et une vérification directe de l’optimalité. Il n’enseigne pas la méthode des tableaux. Consultez les documents de votre section pour l’algorithme de programmation linéaire demandé, puis apportez en séance de tutorat toute contrainte ou étape de tableau qui reste obscure.

Comment le tutorat aide

Vous pouvez partir de l’énoncé seul. Votre tuteur peut vous aider à écrire une matrice et expliquer le lien entre les opérations sur les lignes et les équations initiales, traduire une contrainte de programmation linéaire en vérifiant ses unités et son sens, ou repérer les issues encore possibles après une condition en probabilités. Vous pouvez ensuite essayer un nouvel exercice avec de l’aide et expliquer vous-même la mise en équations et la vérification.

Préparation aux examens de MATH 123

Utilisez le plan actuel de votre section et les exercices demandés pour répartir la révision entre matrices, géométrie vectorielle, programmation linéaire et probabilités. Pour chaque problème, précisez le modèle ou les événements avant de calculer, puis vérifiez le résultat dans les conditions initiales. Ces exemples ne précisent ni la matière, ni le calendrier ou la durée, ni les méthodes autorisées de chaque évaluation. Suivez les consignes actuelles de votre enseignant.

Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Pratique autonome

Exercices gratuits et guides pour MATH 123

18 min

Probabilité conditionnelle et Bayes : choisir le bon dénominateur

Partez des effectifs, distinguez « sachant » et « et », déduisez la formule de Bayes et vérifiez l’indépendance avec un arbre et quatre exercices corrigés.

Besoin d’aide pour MATH 123?

Envoyez votre sujet et vos disponibilités. Nous confirmerons les notions couvertes et l’horaire par texto ou courriel avant le paiement.

Demander du tutorat MATH 123

Questions sur les séances

Dans quelle langue les séances se déroulent-elles?

Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

Nablio est un service indépendant sans affiliation avec cet établissement.

MATH 123 · référence officielle du cours MATH 123 · renseignements officiels sur les cours offerts