Probabilité conditionnelle et Bayes : choisir le bon dénominateur

Nablio · 18 minPublié le 3 octobre 2026

Une étape vous bloque? Textez-nous Écrivez-nous Demander une séance

Avant de commencer : révisez au besoin les fractions et les pourcentages. Cette leçon originale de Nablio vous montre comment choisir le bon groupe de référence, construire la formule de Bayes à partir des effectifs et vérifier l’indépendance. Suivez l’exemple, puis essayez les quatre questions avec des indices au besoin.

1. Commencer par le groupe de référence

Un lot fictif contient 1 000 composants : 40 sont défectueux et 960 sont en bon état. Une inspection signale 36 des composants défectueux et 48 des composants en bon état. Les 4 autres composants défectueux et les 912 autres composants en bon état ne sont pas signalés.

On choisit un composant uniformément au hasard : chacun des 1 000 composants a la même probabilité d’être choisi. On apprend qu’il a été signalé. Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux?

Compter avant d’utiliser une formule

Il y a $36+48=84$ composants signalés. Parmi eux, 36 sont défectueux. Dès que l’on sait que le composant a été signalé, le groupe pertinent est celui des 84 composants signalés. La réponse est donc 36 sur 84, soit $3/7$ , environ 42,9 %.

Le dénominateur indique le groupe considéré. Utiliser 1 000 répondrait à une autre question : quelle est la probabilité qu’un composant choisi uniformément dans le lot soit à la fois défectueux et signalé?

2. Définir les événements et lire la notation

Une issue est le composant choisi. Un événement est un ensemble d’issues possédant une propriété donnée. Notons $D$ l’événement « le composant choisi est défectueux » et $F$ l’événement « le composant choisi est signalé ». Le complémentaire $D^c$ signifie « non défectueux », donc « en bon état » dans ce modèle; $F^c$ signifie « non signalé ». Ces catégories couvrent tous les cas : chaque composant appartient à exactement une catégorie d’état et à exactement une catégorie de résultat d’inspection.

Le symbole $P$ désigne une probabilité. Pour ce choix uniforme dans un lot fini, la probabilité d’un événement est son effectif divisé par celui du lot. Ainsi, $P(D)=40/1000=0{,}04$ .

L’intersection $D\cap F$ , qui se lit « $D$ et $F$ », exige les deux propriétés. La probabilité conditionnelle $P(D\mid F)$ , qui se lit « probabilité de $D$ sachant $F$ », restreint le groupe aux issues de $F$ . L’événement situé après la barre verticale détermine le dénominateur. Cette définition exige que l’événement sur lequel on conditionne ait une probabilité strictement positive.

Même numérateur, groupes de référence différents

\begin{aligned} P(D\mid F)&=\frac{36}{84}\\ &=\frac37\approx42{,}9\,\%. \end{aligned}

P(F\mid D)=\frac{36}{40}=\frac9{10}=90\,\%.

\begin{aligned}P(D\cap F)&=\frac{36}{1000}\\&=\frac9{250}=3{,}6\,\%.\end{aligned}

L’inspection signale 90 % des composants défectueux. Cela ne permet pas de conclure que 90 % des composants signalés sont défectueux. Ces probabilités conditionnelles concernent des groupes différents : 40 composants défectueux et 84 composants signalés.

3. Lire l’arbre des effectifs, puis regrouper

L’arbre sépare d’abord les composants selon leur état, puis selon le résultat de l’inspection. Un chemin décrit des classifications successives du même composant choisi. Les quatre effectifs terminaux totalisent 1 000. Les longueurs des branches n’ont aucune signification numérique.

Arbre des effectifs des 1 000 composants et barre proportionnelle des 84 composants signalés. Tous les effectifs sont donnés juste après la figure. — Figure 1. Classer les 1 000 composants, puis réunir les deux groupes signalés. Seule la barre du bas est proportionnelle aux effectifs.

Équivalent textuel : Sur 1 000 composants, 40 sont défectueux : 36 signalés et 4 non signalés. Les 960 autres sont en bon état : 48 signalés et 912 non signalés. En réunissant les composants signalés, on obtient un total de 84 : 36 défectueux et 48 en bon état. La barre attribue $3/7$ de sa largeur aux composants défectueux et $4/7$ à ceux en bon état. Les hachures représentent les composants défectueux; les points représentent ceux en bon état.

Le groupe signalé contient plus de composants en bon état que de composants défectueux. Un faible taux de signalement dans le groupe beaucoup plus nombreux des composants en bon état peut quand même produire de nombreux signalements. La proportion initiale de composants défectueux est le taux de base, ici 4 %. L’ignorer empêcherait de comprendre pourquoi le groupe beaucoup plus nombreux des composants en bon état produit 48 des 84 signalements, malgré son taux de signalement plus faible.

4. Construire les règles du produit et des probabilités totales

Introduisons deux événements généraux $A$ et $B$ dans le même univers, l’ensemble des issues possibles. Une probabilité conditionnelle divise la probabilité de l’intersection par celle de l’événement sur lequel on conditionne :

\begin{gathered}P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\\P(B)>0.\end{gathered}

Multipliez les deux membres par $P(B)$ . On obtient une règle du produit qui ne suppose pas l’indépendance.

P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B).

Appliquons cette règle à la branche des composants défectueux. La probabilité d’entrer dans cette branche est $40/1000$ . Dans cette branche, la proportion signalée est $36/40$ . Le produit fait disparaître l’effectif intermédiaire :

P(F\cap D)=P(F\mid D)P(D)

=\frac{36}{40}\cdot\frac{40}{1000}=\frac{36}{1000}.

Pour trouver la probabilité d’un signalement, additionnez les branches « défectueux et signalé » et « en bon état et signalé ». Ces groupes sont disjoints, c’est-à-dire qu’aucun composant n’appartient aux deux; ensemble, ils contiennent tous les composants signalés. Les événements $D$ et $D^c$ forment une partition : des groupes sans chevauchement qui couvrent tout l’univers.

P(F)=P(F\cap D)+P(F\cap D^c)

\begin{aligned}&=P(F\mid D)P(D)\\&\quad+P(F\mid D^c)P(D^c).\end{aligned}

Ici, le taux conditionnel de signalement parmi les composants en bon état est $P(F\mid D^c)=48/960=0{,}05$ . Pondérez chaque taux conditionnel par la proportion du lot dans son groupe :

\begin{aligned} P(F)&=(0{,}90)(0{,}04)\\ &\quad+(0{,}05)(0{,}96) \end{aligned}

=0{,}036+0{,}048=0{,}084.

Additionner simplement 90 % et 5 %, ou en faire une moyenne à poids égaux, ignorerait les tailles très différentes des groupes.

5. Déduire la formule de Bayes et interpréter le résultat

Revenons à la question « défectueux sachant signalé ». Le numérateur est la probabilité des deux propriétés réunies. Le dénominateur comprend toutes les façons d’obtenir un signalement. Appliquez la règle du produit au numérateur; au dénominateur, gardez la probabilité totale d’un signalement calculée à partir de la partition à la section 4 :

P(D\mid F)=\frac{P(F\mid D)P(D)}{P(F)}.

Ici, $P(F)$ est la probabilité totale d’un signalement : additionnez les contributions des composants défectueux signalés et des composants en bon état signalés, comme à la section 4.

C’est la formule de Bayes pour ces deux catégories d’état, avec $P(F)>0$ . Dans cette version, les deux catégories d’état ont aussi une probabilité strictement positive : les taux conditionnels utilisés à la section 4 sont donc définis. La probabilité a priori $P(D)$ est celle d’un défaut avant de connaître le signalement. La probabilité a posteriori $P(D\mid F)$ est celle d’un défaut après avoir appris le signalement. Ici, « avant » et « après » décrivent l’information disponible, et non une transformation du composant.

P(D\mid F)=\frac{(0{,}90)(0{,}04)}{0{,}036+0{,}048}

=\frac{0{,}036}{0{,}084}=\frac37\approx42{,}9\,\%.

Le signalement fait passer la probabilité d’un défaut de 4 % à environ 42,9 %. Il apporte de l’information sans garantir un défaut. On retrouve la fraction $36/84$ obtenue en comptant : la formule de Bayes organise ce raisonnement lorsque les données sont des probabilités plutôt que des effectifs.

Vérifiez le dénominateur. Diviser par 0,04 revient à conditionner sur un défaut. Diviser par 0,084 revient à conditionner sur un signalement. Nommez d’abord en mots l’événement connu.

6. Distinguer indépendance et événements disjoints

Deux événements sont indépendants lorsque la probabilité de leur intersection égale le produit de leurs probabilités. Si l’événement sur lequel on conditionne a une probabilité strictement positive, cela revient à dire que le connaître ne change pas la probabilité de l’autre événement.

Pour vérifier l’indépendance, demandez-vous si cette égalité est vraie :

P(D\cap F)\stackrel{?}{=}P(D)P(F).

Dans ce lot, le membre de gauche vaut 0,036. Le produit à droite vaut $(0{,}04)(0{,}084)=0{,}00336$ . Les valeurs diffèrent : l’état du composant et le signalement sont donc dépendants. De même, $P(D\mid F)=3/7$ diffère de $P(D)=0{,}04$ .

Des événements disjoints ne peuvent pas se produire ensemble. Des événements indépendants ne modifient pas leurs probabilités respectives. Ici, $D$ et $F$ ne sont pas disjoints, puisque 36 composants ont les deux propriétés, et ils ne sont pas indépendants. En revanche, $D$ et $D^c$ sont disjoints. Comme leurs probabilités sont toutes deux positives, ils ne sont pas indépendants non plus : connaître l’un exclut l’autre.

7. S’exercer à choisir le dénominateur

Pour chaque question, écrivez le groupe pertinent en mots avant de calculer. Essayez sans aide, ouvrez un indice au besoin, puis comparez votre raisonnement avec la solution. Les questions passent de la lecture d’une condition au changement d’information, à la modification du taux de base, puis à la vérification d’une hypothèse.

1. Sachant et intersection

Dans le lot initial, trouvez $P(F\mid D)$ et $P(D\cap F)$ . Expliquez la différence entre leurs dénominateurs.

Indice pour la question 1

Pour une probabilité conditionnelle, nommez le groupe situé après la barre verticale. Pour une intersection, gardez le lot entier comme groupe de référence. Quels composants comptent dans les deux numérateurs?

Voir la réponse et le raisonnement

« Sachant défectueux » restreint le groupe aux 40 composants défectueux, donc $P(F\mid D)=36/40=9/10$ . « Défectueux et signalé » demande les deux propriétés dans le lot entier, donc $P(D\cap F)=36/1000=9/250$ . Les deux numérateurs comptent les mêmes 36 composants.

2. Le composant n’a pas été signalé

Trouvez $P(D\mid F^c)$ . L’absence de signalement garantit-elle un composant en bon état?

Indice pour la question 2

Repérez les deux groupes terminaux « non signalés » dans l’arbre. Leur effectif total donne le dénominateur. Comptez ensuite les composants défectueux dans ce groupe.

Voir la réponse et le raisonnement

Le groupe non signalé contient $4+912=916$ composants. Parmi eux, 4 sont défectueux, donc $P(D\mid F^c)=4/916=1/229\approx0{,}437\,\%$ . L’absence de signalement réduit la probabilité d’un défaut sans la rendre nulle. N’utilisez pas $1-P(D\mid F)$ : cette expression donne la probabilité d’être en bon état parmi les composants signalés.

3. Modifier la proportion initiale de défauts

Dans un autre lot fictif de 1 000 composants, 10 % sont défectueux. Conservez les mêmes taux conditionnels de signalement : 90 % parmi les composants défectueux et 5 % parmi ceux en bon état. Trouvez la probabilité d’un défaut sachant un signalement.

Indice pour la question 3

Partez du nouveau lot de 1 000 composants. Séparez-le selon la nouvelle proportion de défauts, puis appliquez chaque taux conditionnel de signalement dans son groupe. Additionnez les deux effectifs signalés avant de diviser.

Voir la réponse et le raisonnement

Il y a 100 composants défectueux, dont 90 signalés, et 900 composants en bon état, dont 45 signalés. Ainsi, $P(D\mid F)=90/(90+45)=2/3\approx66{,}7\,\%$ . On peut aussi diviser $(0{,}90)(0{,}10)$ par $(0{,}90)(0{,}10)+(0{,}05)(0{,}90)$ . Les taux conditionnels de l’inspection sont restés fixes, mais la composition du groupe signalé a changé. Une probabilité a posteriori ne se transpose généralement pas à une population ayant une autre probabilité a priori de défaut.

4. Vérifier une affirmation d’indépendance

Une autre personne multiplie $P(D)P(F)$ pour trouver la probabilité qu’un composant soit à la fois défectueux et signalé dans le lot initial. Est-ce justifié?

Indice pour la question 4

Calculez la probabilité de l’intersection directement à partir des effectifs. Multipliez séparément les probabilités des deux événements. L’indépendance exige que ces deux résultats soient égaux.

Voir la réponse et le raisonnement

Non. La probabilité connue de l’intersection est $36/1000=0{,}036$ , alors que $P(D)P(F)=(0{,}04)(0{,}084)=0{,}00336$ . Ces valeurs différentes réfutent l’indépendance. Le produit valide utilise une probabilité conditionnelle : $P(D\cap F)=P(F\mid D)P(D)=(0{,}90)(0{,}04)=0{,}036$ .

À retenir pour votre prochain problème : identifiez les issues possibles, nommez l’événement connu, comptez ou calculez toutes les façons de le réaliser, puis divisez la probabilité de l’intersection pertinente par sa probabilité. Vérifiez que la réponse se situe entre 0 et 1 et expliquez le groupe qu’elle décrit.

8. Relier les notions à votre cours

Pour MAST 221 à Concordia, utilisez cette leçon pour travailler les probabilités conditionnelles : distinguez les deux sens du conditionnement et expliquez le dénominateur avant d’appliquer la formule de Bayes. Pour STAT 249, concentrez-vous d’abord sur les bases : événements, complémentaires, intersections et choix du groupe de référence.

La liste actuelle des cours du Département de mathématiques et de statistique de McGill inclut les probabilités conditionnelles, le théorème de Bayes et l’indépendance dans MATH 323. Reprenez la démonstration et la vérification de l’indépendance, puis comparez la notation avec celle de votre plan de cours actuel. Ce plan détermine les notions et les méthodes à travailler pour votre section.

Pour votre prochaine séance de révision, apportez un problème et repérez l’événement connu. Expliquez quelles issues restent possibles et pourquoi elles forment votre dénominateur.

Ces exemples portent sur un ensemble précis de notions de probabilité; ils ne couvrent pas tout le contenu des cours mentionnés. Les descriptions officielles ci-dessous établissent les liens entre les notions, tandis que votre plan de cours actuel précise la matière de votre section.

Utile pour

Travaillez l’étape qui vous manque.

Indiquez simplement la matière et votre disponibilité. Nablio confirme les détails par texto ou courriel.

Demander une séance