Tutorat MAT1115 · UQAM

Calculer le gradient au point de départ

Le gradient $\nabla f$ est le vecteur des dérivées partielles, chacune calculée en gardant l’autre coordonnée fixe : $$\begin{aligned}&\nabla f(x,y)\\&=(2x+y,x+2y)\end{aligned}$$. Au point de départ, $\nabla f(1,2)=(4,5)$.

Normaliser le vecteur de direction pour obtenir une longueur de 1, puis calculer le taux par unité de distance

La longueur de $(3,4)$ vaut $\sqrt{3^2+4^2}=5$. Le vecteur unitaire de cette direction est donc $u=(3/5,4/5)$.

Notons $D_u f(1,2)$ le taux de variation par unité de distance dans cette direction. C’est le produit scalaire $$\begin{aligned}&D_u f(1,2)\\&=\nabla f(1,2)\cdot u\\&=4(3/5)+5(4/5)\\&=32/5=6{,}4\end{aligned}$$.

Estimer la valeur après un déplacement de longueur 0,01

Notons $s=0{,}01$ la distance parcourue. Le déplacement est $su=(0{,}006;0{,}008)$, donc le nouveau point est $(1{,}006;2{,}008)$.

Comme $f(1,2)=7$, l’estimation est $$\begin{aligned}&f(1{,}006;2{,}008)\\&\approx f(1,2)+sD_u f(1,2)\\&=7+0{,}01(6{,}4)\\&=7{,}064\end{aligned}$$. C’est une approximation, car elle ne conserve que la valeur initiale et la variation linéaire.

Vérifier l’erreur et comparer les deux vecteurs de direction

La substitution directe donne $f(1{,}006;2{,}008)=7{,}064148$. Les termes quadratiques omis valent $$\begin{aligned}&(0{,}006)^2+(0{,}006)(0{,}008)\\&\quad +(0{,}008)^2=0{,}000148\end{aligned}$$, soit exactement l’écart.

Sans normalisation, le vecteur $(3,4)$ donnerait un taux de $32$ par unité du paramètre de parcours, et non par unité de distance. Le vecteur $(6,8)$ a une longueur de $10$ et donne le même vecteur unitaire $u$; la dérivée demandée et l’estimation restent donc inchangées.