Énergie gravitationnelle : rayon maximal et vitesse de libération

Une planète fictive possède $\mu=1{,}6\times10^{14}\,\mathrm{m^3/s^2}$ et $R=6{,}0\times10^6\,\mathrm m$. Un objet part de $r_0=1{,}0\times10^7\,\mathrm m$, à $v_0=4000\,\mathrm{m/s}$, radialement vers l'extérieur. Déterminez son rayon maximal et son altitude maximale avant son retour.

Calculez d'abord l'énergie par kilogramme en conservant le signe négatif du terme potentiel :

$$\varepsilon=\frac{4000^2}{2}-\frac{1{,}6\times10^{14}}{1{,}0\times10^7}=-8{,}0\times10^6\,\mathrm{J/kg}.$$

Comme le mouvement est radial, la norme de la vitesse s'annule au point de rebroussement extérieur. La conservation donne alors $\varepsilon=-\mu/r_{\max}$, d'où

$$r_{\max}=-\frac{\mu}{\varepsilon}=2{,}0\times10^7\,\mathrm m.$$

L'altitude maximale vaut $h_{\max}=r_{\max}-R=1{,}4\times10^7\,\mathrm m$. La montée depuis le départ vaut $r_{\max}-r_0=1{,}0\times10^7\,\mathrm m$, une autre distance. Vérification : l'énergie potentielle par kilogramme passe de −16 millions à −8 millions de J/kg. Cette augmentation correspond exactement aux 8 millions de J/kg d'énergie cinétique perdus.

Une vitesse nulle au sommet ne signifie pas un équilibre. La gravitation pointe toujours vers le centre; l'objet commence donc à revenir. Au retour, notre calcul s'arrête à la surface de la planète : ce modèle extérieur ne décrit pas un mouvement à travers celle-ci.

N'appliquez pas la condition de vitesse nulle à une orbite quelconque. Au point le plus éloigné d'une orbite non radiale liée, la vitesse radiale s'annule, mais la composante tangentielle n'est généralement pas nulle. La même vitesse de 4000 m/s, orientée tangentiellement au rayon initial, donne plutôt une orbite circulaire. L'énergie seule ne détermine pas la trajectoire : la direction et le moment cinétique comptent.

Au même rayon initial, trouvez la vitesse minimale de libération idéale. Puis trouvez la vitesse limite loin de la planète si l'objet part radialement vers l'extérieur à 6000 m/s.

Au seuil, l'objet peut tendre vers une séparation infinie avec une vitesse qui tend vers zéro. Comme $U\to0$, son énergie totale est nulle. En annulant l'énergie massique initiale :

$$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2\mu}{r_0}}\approx5657\,\mathrm{m/s}.$$

Ce seuil ne dépend pas de la masse de l'objet, selon nos hypothèses. À 6000 m/s, l'énergie massique initiale vaut $\varepsilon=2{,}0\times10^6\,\mathrm{J/kg}$. À l'infini, l'énergie potentielle tend vers zéro et il reste

$$v_\infty=\sqrt{2\varepsilon}=2000\,\mathrm{m/s}.$$

Vérifiez directement : $v_\infty^2=v_0^2-2\mu/r_0$. Ne soustrayez pas deux vitesses; soustrayez les contributions au carré dans le bilan d'énergie. Ces lancements radiaux vers l'extérieur, avec $\varepsilon\ge0$, n'ont pas de rayon maximal fini. Au seuil exact, l'objet continue à s'éloigner à tout rayon fini; sa vitesse ne tend vers zéro qu'asymptotiquement. Il n'atteint pas l'infini en un temps fini.

Une énergie négative impose une borne supérieure à la séparation, mais ne garantit pas une orbite sans collision. Un lancement radial peut ramener l'objet sur la planète. Une énergie non négative permet la libération sur une trajectoire sortante sans collision; un objet lancé vers l'intérieur peut d'abord heurter la surface. La libération ne signifie pas non plus que la gravitation disparaît à une certaine altitude.

Comparez un satellite de 250 kg dans deux orbites circulaires possibles autour de la même planète : $r_1=1{,}0\times10^7\,\mathrm m$ et $r_2=2{,}0\times10^7\,\mathrm m$. Pour le mouvement circulaire seulement, l'équation des forces radiales donne $v^2=\mu/r$. Remplacez cette expression dans les énergies cinétique et totale :

$$K_{\mathrm{circ}}=\frac{m\mu}{2r},\qquad E_{\mathrm{circ}}=-\frac{m\mu}{2r}.$$

Dans l'orbite basse, $K_1=2{,}0\times10^9\,\mathrm J$, $U_1=-4{,}0\times10^9\,\mathrm J$ et $E_1=-2{,}0\times10^9\,\mathrm J$. Dans l'orbite haute, ces valeurs deviennent respectivement $1{,}0\times10^9\,\mathrm J$, $-2{,}0\times10^9\,\mathrm J$ et $-1{,}0\times10^9\,\mathrm J$.

L'état plus haut possède un milliard de joules de plus d'énergie totale, malgré un milliard de joules de moins d'énergie cinétique. Son énergie potentielle a augmenté de deux milliards de joules. Sa vitesse circulaire vaut environ 2828 m/s au lieu de 4000 m/s. Comparer seulement les vitesses fait oublier la variation plus grande de l'énergie potentielle.

Il s'agit d'une comparaison de deux états, pas d'un plan de manœuvre ni d'un calcul de carburant. Une poussée du moteur modifie d'abord la vitesse à la position actuelle du satellite. La formule de vitesse circulaire ne décrit pas tous les points de la trajectoire de transfert. La différence nette d'énergie mécanique ne suffit pas à déterminer la poussée, le carburant ou la durée.