Tutorat de mécanique à John Abbott

Trouvez la baisse de hauteur, puis utilisez la conservation de l’énergie mécanique. Au point le plus bas, la force résultante vers le pivot produit l’accélération vers le centre.

1. 1. Trouver la baisse de hauteur

   Notons $h$ la hauteur du point de départ au-dessus du point le plus bas, en mètres. La distance verticale sous le pivot vaut d’abord $L\cos\theta$, puis $L$ au point le plus bas.

   $$h=L-L\cos\theta$$

   $$h=L(1-\cos\theta)$$

   $$h=(0{,}80\,\mathrm m)(1-\cos60^\circ)$$

   $$h=(0{,}80\,\mathrm m)(1-0{,}50)$$

   $$h=0{,}40\,\mathrm m$$

   Utilisez la hauteur verticale, et non la distance parcourue le long de l’arc.

2. 2. Utiliser l’énergie pour trouver la vitesse

   Notons $v$ la grandeur de la vitesse au point le plus bas, en $\mathrm{m/s}$. Fixons l’énergie potentielle gravitationnelle à zéro à cet endroit. Pour le système formé de la masse et de la Terre, l’énergie potentielle gravitationnelle initiale devient de l’énergie cinétique. La tension du fil est perpendiculaire au mouvement et n’effectue aucun travail.

   $$mgh=\frac12mv^2$$

   $$v^2=2gh$$

   $$v^2=2(9{,}8)(0{,}40)\,\mathrm{m^2/s^2}$$

   $$v^2=7{,}84\,\mathrm{m^2/s^2}$$

   La racine carrée positive donne :

   $$v=2{,}8\,\mathrm{m/s}$$

3. 3. Passer à une équation de forces au point le plus bas

   Notons $T$ la tension du fil, en newtons. Au point le plus bas, tracez $T$ vers le haut, en direction du pivot, et $mg$ vers le bas. La trajectoire est circulaire : l’accélération vers le centre vaut $a_r=\frac{v^2}{L}$; l’indice $r$ désigne la direction radiale. Ici, cette direction est vers le haut.

   $$a_r=\frac{7{,}84\,\mathrm{m^2/s^2}}{0{,}80\,\mathrm m}$$

   $$a_r=9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$$

   La vitesse est horizontale à cet instant, mais sa direction change.

4. 4. Calculer la tension

   La deuxième loi de Newton dans le sens du pivot donne :

   $$T-mg=\frac{mv^2}{L}$$

   Donc :

   $$T=mg+\frac{mv^2}{L}$$

   Calculez les deux termes avec les valeurs en unités SI :

   $$mg=(0{,}50)(9{,}8)\,\mathrm N$$

   $$mg=4{,}9\,\mathrm N$$

   $$\frac{mv^2}{L}=\frac{(0{,}50)(7{,}84)}{0{,}80}\,\mathrm N$$

   $$\frac{mv^2}{L}=4{,}9\,\mathrm N$$

   $$T=4{,}9\,\mathrm N+4{,}9\,\mathrm N$$

   $$T=9{,}8\,\mathrm N$$

5. 5. Expliquer pourquoi $T=mg$ ne convient pas

   Le poids vaut $4{,}9\,\mathrm N$ : la tension est donc ici deux fois plus grande. Si $T$ était égal à $mg$, la force résultante vers le centre serait nulle, ce qui ne maintiendrait pas cette masse en mouvement sur sa trajectoire circulaire. La tension peut ne fournir aucun travail tout en changeant la direction de la vitesse.