Le modèle binomial en quatre exercices

a. Le nombre d’essais est fixé à huit. Chaque résultat est vert ou non vert, la probabilité d’obtenir du vert reste $2/5$ et l’indépendance est donnée. Ainsi,

$$X\sim\operatorname{Bin}(8,2/5).$$

Ici, $n=8$, $p=2/5=0{,}4$ et $X$ peut valoir $0,1,2,\ldots,8$. Les cinq secteurs de la roulette donnent bien deux catégories pour l’événement compté.

b. Dans la seconde expérience, le nombre de tours n’est pas fixé. De plus, $Y$ compte les essais jusqu’au premier succès plutôt que les succès parmi un nombre fixe d’essais. Une loi binomiale ne décrit donc pas $Y$, même si les tours restent indépendants et que la probabilité d’obtenir du vert reste constante.

Les sept essais fixés, les deux résultats possibles, la probabilité commune et l’indépendance donnée conduisent à $X\sim\operatorname{Bin}(7,0{,}60)$. Une disposition précise de cinq graines qui germent et de deux qui ne germent pas a pour probabilité $(0{,}60)^5(0{,}40)^2$. Il y a

$$\binom75=\frac{7!}{5!2!}=21$$

façons de choisir les cinq positions donnant un succès. Ces dispositions ne peuvent pas se produire ensemble; on additionne donc leurs probabilités :

$$\begin{aligned}\Pr(X=5)&=21(0{,}60)^5(0{,}40)^2\\&=0{,}2612736\approx0{,}2613.\end{aligned}$$

La probabilité est d’environ $26{,}13\,\%$. L’expression $(0{,}60)^5$ seule oublie les deux échecs ainsi que les positions possibles. En pratique, une condition commune comme un arrosage insuffisant pourrait compromettre l’indépendance; la réponse utilise les hypothèses de l’énoncé.

Les hypothèses donnent $X\sim\operatorname{Bin}(6,0{,}15)$. La probabilité qu’une livraison n’échoue pas vaut $0{,}85$.

a. Au moins deux signifie $X\ge2$. Le complément est $X=0$ ou $X=1$ :

$$\begin{aligned}\Pr(X=0)&=(0{,}85)^6,\\\Pr(X=1)&=6(0{,}15)(0{,}85)^5.\end{aligned}$$

Donc,

$$\begin{aligned}\Pr(X\ge2)&=1-(0{,}85)^6\\&\quad-6(0{,}15)(0{,}85)^5\\&=0{,}223515703125\approx0{,}2235.\end{aligned}$$

b. Plus de deux signifie $X\ge3$. Retirez les cas comptant exactement deux livraisons échouées de l’événement précédent :

$$\begin{aligned}\Pr(X=2)&=\binom62(0{,}15)^2(0{,}85)^4\\&=0{,}176177109375,\\\Pr(X>2)&=\Pr(X\ge2)-\Pr(X=2)\\&=0{,}04733859375\approx0{,}0473.\end{aligned}$$

Les réponses sont d’environ $22{,}35\,\%$ et $4{,}73\,\%$. Le second événement exclut tous les cas comptant exactement deux livraisons échouées, ce qui explique la diminution. Remplacer $p=0{,}15$ par $0{,}85$ tout en comptant les livraisons échouées répondrait à une autre question.

Notons $X$ le nombre d’exécutions produisant le motif parmi les $n$ exécutions choisies. Pour chaque choix fixe de $n$, on a $X\sim\operatorname{Bin}(n,0{,}30)$. La probabilité de n’obtenir aucun succès vaut $(0{,}70)^n$. Il faut donc

$$\begin{aligned}\Pr(X\ge1)&=1-(0{,}70)^n\ge0{,}95,\\(0{,}70)^n&\le0{,}05.\end{aligned}$$

En essayant des entiers consécutifs près du seuil, on trouve

$$\begin{aligned}n=8:&\quad1-(0{,}70)^8=0{,}94235199,\\n=9:&\quad1-(0{,}70)^9=0{,}959646393.\end{aligned}$$

Huit exécutions donnent une probabilité inférieure à $0{,}95$; neuf dépassent ce seuil. Chaque exécution supplémentaire multiplie la probabilité de n’obtenir aucun succès par $0{,}70<1$. La probabilité d’au moins un succès augmente donc avec $n$. Tous les entiers positifs plus petits échouent aussi à atteindre le seuil. Le minimum est donc neuf exécutions, donnant une probabilité de $0{,}9596$ à quatre décimales, soit environ $95{,}96\,\%$.

Il s’agit d’un seuil de probabilité, pas d’une garantie de succès. Le protocole fixe neuf exécutions à l’avance; s’arrêter au premier succès décrirait une autre expérience.