Tutorat 201-SN1-RE · Dawson

1. Compter les groupes qui ont la même probabilité. La notation $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ compte les façons de choisir, sans tenir compte de l’ordre, $k$ objets parmi $n$ objets distincts; la factorielle $n!$ est le produit des entiers positifs jusqu’à $n$, avec $0!=1$. Il existe $\binom{12}{3}=12\cdot11\cdot10/(3\cdot2\cdot1)=220$ groupes possibles. 2. Compter les groupes favorables. Obtenir exactement un composant défectueux impose d’en choisir un parmi les $4$ défectueux et deux parmi les $8$ autres : $\binom41\binom82=4(28)=112$ groupes. En notant $\Pr$ la probabilité, $\Pr(X=1)=112/220=28/55\approx0{,}5091$, soit environ $50{,}9\,\%$. Cet échantillonnage sans remise correspond au modèle hypergéométrique. 3. Calculer l’espérance du nombre obtenu. Notons $I_j$ la valeur $1$ si le tirage $j$ donne un composant défectueux, et $0$ sinon, pour $j=1,2,3$. Alors $X=I_1+I_2+I_3$. Avant d’observer les résultats, chaque position dans l’ordre aléatoire de tirage a une probabilité de défaut de $4/12$. En notant $\mathbb{E}$ l’espérance, la règle d’addition des espérances, appelée linéarité, donne $\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[I_1]+\mathbb{E}[I_2]+\mathbb{E}[I_3]=3(4/12)=1$. Cette règle d’addition n’exige pas des tirages indépendants. Une espérance de un est une moyenne à long terme, pas une garantie pour chaque échantillon. 4. Changer le modèle de tirage. Avec remise et indépendance, la probabilité de défaut reste $p=4/12=1/3$. Il y a $\binom31=3$ positions possibles pour l’unique tirage défectueux, et chaque disposition a une probabilité $p(1-p)^2$. La nouvelle probabilité est donc $\binom31(1/3)(2/3)^2=4/9\approx0{,}4444$, soit environ $44{,}4\,\%$. Cette formule binomiale ne convient pas aux tirages dépendants initiaux. Les deux modèles ont une espérance de $1$, mais des probabilités différentes pour chaque nombre de défauts.