Une onde dans l’espace et le temps

Lire une onde dans l’espace et dans le temps

Un graphique d’onde peut montrer la forme d’une corde entière à un instant donné, ou le mouvement d’une petite partie de la corde au fil du temps. Commencez par l’axe horizontal : il indique à quelle question le graphique répond.

Cet exemple porte sur une onde transversale sinusoïdale idéale qui se propage vers la droite sur une corde uniforme. « Transversale » signifie que chaque petite partie de la corde monte et descend, perpendiculairement à la direction de propagation. On néglige l’amortissement et les réflexions; le profil se translate sans se déformer. Dans ce modèle idéal, chaque particule conserve sa coordonnée horizontale. Une particule désigne une petite partie repérée de la corde, et non une crête.

Deux graphiques d’une même onde

Notons $x$ la position horizontale le long de la corde, mesurée vers la droite en mètres, et $t$ le temps en secondes. L’élongation $y$ est le déplacement vertical par rapport à la position d’équilibre, positif vers le haut. On écrit $y(x,t)$, car l’élongation dépend de la position et du temps. Les graphiques donnent $y$ en centimètres.

Repérons la particule située en $x=0$ et appelons-la $P$. Choisissons $t=0$ à un instant où $P$ est au sommet de son mouvement. La corde se prolonge de part et d’autre du segment représenté; $x=0$ est un choix d’origine, pas une extrémité fixe.

Les deux courbes ont la même forme sur la page, car les échelles horizontales ont été choisies pour montrer un cycle complet. Leurs axes portent toutefois des unités différentes. Sur A, avancer vers la droite du graphique signifie regarder plus loin le long de la corde. Sur B, cela signifie attendre davantage en observant $P$.

Lire l’amplitude et la longueur d’onde sur le profil

L’amplitude $A$ est la distance maximale entre une particule et sa position d’équilibre. La crête est à $2{,}0\,\mathrm{cm}$ au-dessus de l’équilibre, et le creux à $2{,}0\,\mathrm{cm}$ au-dessous. Ainsi,

$$A=2{,}0\,\mathrm{cm}=0{,}020\,\mathrm m.$$

La distance verticale totale entre une crête et un creux est $2A=4{,}0\,\mathrm{cm}$. C’est le double de l’amplitude.

La longueur d’onde $\lambda$, lettre grecque prononcée « lambda », est la longueur horizontale d’une répétition complète du profil. Sur la figure A, la crête en $x=0$ et la suivante en $x=0{,}60\,\mathrm m$ donnent

$$\lambda=0{,}60\,\mathrm m.$$

Une crête et le creux adjacent ne sont séparés que d’une demi-longueur d’onde, soit $0{,}30\,\mathrm m$. Pour mesurer une longueur d’onde complète, choisissez deux points successifs au même stade du motif, par exemple deux crêtes.

Un seul profil instantané donne de l’information spatiale. Il ne permet pas, à lui seul, de connaître la vitesse de propagation, son sens ou la durée d’un cycle pour une particule. Ici, la propagation vers la droite fait partie des hypothèses; elle n’est pas déduite de la figure A seule.

Lire la période et la fréquence sur le graphique temporel

La période $T$ est la durée d’une oscillation complète d’une particule. Sur la figure B, $P$ est à son point de rebroussement supérieur en $t=0$, puis de nouveau en $t=0{,}20\,\mathrm s$. Donc

$$T=0{,}20\,\mathrm s.$$

Entre ces deux instants, la particule passe par l’équilibre en descendant à $0{,}05\,\mathrm s$, atteint son point de rebroussement inférieur à $0{,}10\,\mathrm s$, puis passe par l’équilibre en montant à $0{,}15\,\mathrm s$.

La fréquence $f$ est le nombre d’oscillations complètes par seconde. Puisqu’un cycle dure $T$ secondes,

$$\begin{aligned} f&=\frac{1}{T}\\ &=\frac{1}{0{,}20\,\mathrm s}\\ &=5{,}0\,\mathrm{Hz}. \end{aligned}$$

Un hertz, noté $\mathrm{Hz}$, correspond à un cycle par seconde. La fréquence et la période décrivent la même répétition de deux façons réciproques : cinq cycles occupent une seconde, donc un cycle dure un cinquième de seconde.

Aux passages par l’équilibre à $0{,}05\,\mathrm s$ et $0{,}15\,\mathrm s$, l’élongation est la même, mais le mouvement se fait en sens opposés. Ces instants sont séparés par $T/2$, pas par une période entière. Un cycle complet ramène la particule à la même élongation et au même stade de son mouvement.

Relier les deux graphiques par la vitesse de propagation

Notons $v$ la vitesse de propagation du profil, prise comme une grandeur positive. Suivons une crête qui avance vers la droite. En une période, le profil avance d’une longueur d’onde : la crête identique suivante atteint alors un point d’observation fixe. La distance divisée par la durée donne

$$\begin{aligned} v&=\frac{\lambda}{T}\\ &=\frac{0{,}60\,\mathrm m}{0{,}20\,\mathrm s}\\ &=3{,}0\,\mathrm{m/s}. \end{aligned}$$

Comme $f=1/T$, on obtient aussi $v=f\lambda$. Les unités concordent : $\mathrm{s^{-1}}$ multiplié par $\mathrm m$ donne $\mathrm{m/s}$.

Ici, il faut les deux graphiques : le profil instantané fournit $\lambda$, et le graphique temporel fournit $T$. Le graphique temporel seul ne donne pas la distance entre les crêtes voisines.

Suivre une crête et suivre une particule

À $t=0$, la particule $P$ se trouve à une crête. La crête se propage vers la droite à $3{,}0\,\mathrm{m/s}$. La particule $P$ reste en $x=0$ et se déplace verticalement.

Notons $\Delta x$ la variation de position horizontale de la crête, et $\Delta t$ la durée écoulée. Après un quart de période, soit $0{,}05\,\mathrm s$, la crête a parcouru horizontalement

$$\begin{aligned} \Delta x&=v\,\Delta t\\ &=(3{,}0\,\mathrm{m/s})(0{,}05\,\mathrm s)\\ &=0{,}15\,\mathrm m. \end{aligned}$$

La particule située en $x=0{,}15\,\mathrm m$ occupe maintenant cette crête. Pendant ce temps, la figure B indique que $P$ est descendue de $+2{,}0\,\mathrm{cm}$ jusqu’à l’équilibre. Suivre une crête nous fait passer d’une particule à une autre; suivre $P$ nous garde à la même coordonnée horizontale.

Pourquoi la particule est-elle momentanément immobile à une crête? Regardez son graphique temporel. À un point de rebroussement supérieur lisse, la tangente est horizontale : la particule cesse de monter et commence à descendre. Sa vitesse verticale instantanée est nulle à cet instant. Elle n’y reste pas immobile pendant une durée non nulle.

La crête mobile est une position d’élongation maximale dans le profil. Elle peut avancer régulièrement vers la droite pendant que la particule qui occupe cette position a une vitesse instantanée nulle. Les deux vitesses décrivent des mouvements différents.

La pente du profil instantané indique comment l’élongation varie avec la position. La pente du graphique temporel indique comment elle varie avec le temps. Utilisez le second graphique pour lire la vitesse verticale instantanée de la particule. Une tangente horizontale sur un profil instantané quelconque ne suffit pas, à elle seule, à déterminer la vitesse d’une particule sans connaître l’évolution du profil.

Pour aller plus loin : Construire une équation d’onde à partir des graphiques

Cette section utilise les radians et la fonction cosinus. Les deux graphiques peuvent être utilisés sans elle.

Le cosinus commence à son maximum : $\cos 0=1$. Son argument doit augmenter de $2\pi$ radians pour décrire un cycle complet. Sur le profil instantané, $x/\lambda$ compte le nombre de longueurs d’onde parcourues le long de la corde. Multiplier ce nombre par $2\pi$ donne l’argument du cosinus. Multiplier par $A$ fixe l’échelle verticale :

$$y(x,0)=A\cos\!\left(2\pi\frac{x}{\lambda}\right).$$

Par exemple, $x=\lambda/2$ donne $\cos\pi=-1$. Le milieu du cycle représenté est donc un creux, d’élongation $-A$.

Après une durée $t$, tout le profil s’est déplacé de $vt$ vers la droite. L’élongation maintenant observée en $x$ est celle que le profil initial avait en $x-vt$. Remplaçons $x$ par $x-vt$ dans l’équation du profil :

$$y(x,t)=A\cos\!\left(2\pi\frac{x-vt}{\lambda}\right).$$

Puisque $v=\lambda/T$, on peut aussi écrire

$$\begin{aligned} &y(x,t)\\ &=A\cos\!\left[2\pi\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right)\right]. \end{aligned}$$

Les rapports $x/\lambda$ et $t/T$ sont tous deux sans dimension. Le signe moins décrit une translation vers la droite : quand le temps augmente, $x$ doit aussi augmenter pour qu’une crête conserve la même valeur de l’argument du cosinus. Ce signe dépend de notre choix du sens positif de $x$ vers la droite.

En $x=0$, l’expression devient $A\cos(-2\pi t/T)$. Le cosinus est pair : $\cos(-z)=\cos z$ pour tout angle $z$. Le mouvement de $P$ s’écrit donc

$$y(0,t)=A\cos\!\left(2\pi\frac{t}{T}\right),$$

ce qui reproduit la figure B. Une translation vers la gauche du même profil initial donnerait un signe plus dans l’équation d’onde et le même graphique temporel en $x=0$, car le cosinus est pair. Cette paire de graphiques ne détermine donc pas le sens de propagation; c’est notre hypothèse de propagation vers la droite qui le fixe.

Si vous avez étudié les dérivées

Notons $u_P(t)$ la vitesse verticale algébrique de la particule $P$, positive vers le haut. En dérivant son élongation par rapport au temps,

$$\begin{aligned} u_P(t)&=\frac{d}{dt}\,y(0,t)\\ &=-\frac{2\pi A}{T}\sin\!\left(2\pi\frac{t}{T}\right). \end{aligned}$$

À la crête, en $t=0$, le facteur sinus est nul : $u_P(0)=0$. En $t=T/4$, la particule passe par l’équilibre en descendant. Sa vitesse verticale vaut

$$\begin{aligned} u_P(T/4)&=-\frac{2\pi(0{,}020\,\mathrm m)}{0{,}20\,\mathrm s}\\ &=-0{,}20\pi\,\mathrm{m/s}\\ &\approx-0{,}63\,\mathrm{m/s}. \end{aligned}$$

Le signe négatif indique un mouvement vers le bas. La vitesse maximale de la particule, en valeur absolue, est $2\pi A/T$, soit environ $0{,}63\,\mathrm{m/s}$; la vitesse de propagation de l’onde est $3{,}0\,\mathrm{m/s}$. La première mesure l’oscillation verticale; la seconde, le déplacement horizontal du profil.

Trois questions pour vérifier votre compréhension

1 Lire les axes avant de calculer

Sur la figure A, la distance verticale entre une crête et un creux est $4{,}0\,\mathrm{cm}$, et la distance horizontale entre une crête et le creux adjacent est $0{,}30\,\mathrm m$. Trouvez l’amplitude et la longueur d’onde. La figure A seule permet-elle de connaître la période?

Voir la solution expliquée

L’écart vertical entre crête et creux vaut $2A$, donc $A=2{,}0\,\mathrm{cm}$. L’écart horizontal entre crête et creux adjacent vaut $\lambda/2$, donc $\lambda=0{,}60\,\mathrm m$. Le profil instantané seul ne donne pas la période, car son axe horizontal représente la position, pas la durée écoulée. C’est la figure B qui fournit $T=0{,}20\,\mathrm s$.

2 Suivre deux mouvements différents

À partir de $t=0$, attendez $0{,}10\,\mathrm s$. Où se trouve la crête initialement en $x=0$? Quelles sont la coordonnée horizontale et l’élongation de $P$? La particule $P$ se déplace-t-elle verticalement à cet instant précis?

Voir la solution expliquée

La crête avance vers la droite de

$$\Delta x=(3{,}0\,\mathrm{m/s})(0{,}10\,\mathrm s)=0{,}30\,\mathrm m.$$

Sa nouvelle position est $x=0{,}30\,\mathrm m$. La particule $P$ conserve sa coordonnée horizontale $x=0$. Une demi-période s’est écoulée : la figure B donne $y(0,0{,}10\,\mathrm s)=-2{,}0\,\mathrm{cm}$. La particule est à son point de rebroussement inférieur; sa vitesse verticale instantanée y est nulle. La crête s’est déplacée horizontalement pendant que $P$ est descendue de $4{,}0\,\mathrm{cm}$.

3 Prévoir ce qui change dans le même milieu

Pour une nouvelle onde sur la même corde idéale non dispersive, conservez la vitesse de propagation de $3{,}0\,\mathrm{m/s}$ et l’amplitude de $2{,}0\,\mathrm{cm}$, mais doublez la fréquence. « Non dispersive » signifie que, dans ces conditions inchangées, la vitesse de propagation ne dépend pas de la fréquence. Trouvez la nouvelle période et la nouvelle longueur d’onde. Comment les deux graphiques changent-ils?

Voir la solution expliquée

La nouvelle fréquence vaut $10\,\mathrm{Hz}$. Notons $T_{\mathrm{nouv}}$ et $\lambda_{\mathrm{nouv}}$ la nouvelle période et la nouvelle longueur d’onde. Donc

$$\begin{aligned} T_{\mathrm{nouv}}&=\frac{1}{10\,\mathrm{Hz}}\\ &=0{,}10\,\mathrm s,\\[4pt] \lambda_{\mathrm{nouv}}&=\frac{3{,}0\,\mathrm{m/s}}{10\,\mathrm{Hz}}\\ &=0{,}30\,\mathrm m. \end{aligned}$$

Avec les mêmes échelles horizontales, les crêtes de la figure A seraient deux fois plus rapprochées, et les maxima de la figure B seraient séparés par une durée deux fois plus courte. Les deux graphiques conserveraient la même amplitude. La vitesse du profil reste inchangée; la hausse de fréquence seule n’a pas accéléré sa propagation.

Avec le complément sur les dérivées, la vitesse maximale de la particule, $2\pi A/T_{\mathrm{nouv}}$, double et vaut $0{,}40\pi\,\mathrm{m/s}$, soit environ $1{,}26\,\mathrm{m/s}$. Le même mouvement vertical s’effectue en deux fois moins de temps.

Une courte méthode à réutiliser

1. Nommez les deux axes et vérifiez leurs unités.
2. Précisez ce qui reste fixe : le temps pour un profil instantané, la position pour un graphique temporel.
3. Lisez l’amplitude verticalement, puis la longueur d’onde ou la période horizontalement.
4. Avant de calculer une vitesse, identifiez ce qui se déplace : une particule ou un élément du profil.

Cet exemple de pratique est original. Utilisez les hypothèses de votre propre problème pour l’adapter au son, aux ondes stationnaires ou aux phénomènes optiques.