Rayons lumineux : réflexion, réfraction et images

1. Tracez d'abord la normale

Un rayon est une ligne fléchée indiquant le sens de propagation de la lumière. Dans un milieu transparent uniforme, les rayons sont rectilignes. À la séparation de deux milieux, commencez par tracer la normale : une droite perpendiculaire à la surface au point où arrive le rayon.

L'angle d'incidence est compris entre le rayon incident et cette normale. Les angles de réflexion et de réfraction se mesurent aussi depuis la normale, dans leurs milieux respectifs. Si l'angle est donné depuis la surface, convertissez-le : angle depuis la normale = 90° − angle depuis la surface.

Réflexion : angles égaux, même milieu

Sur un miroir plan, le rayon réfléchi reste dans le milieu incident et respecte $\theta_r=\theta_i$. Ici, chaque angle vaut 35° depuis la normale. Le rayon réfléchi forme donc un angle de 55° avec la surface du miroir.

Sur une surface rugueuse, les normales locales ont des orientations différentes. Chaque rayon respecte la loi de la réflexion, mais les rayons réfléchis se dispersent : c'est la réflexion diffuse. Un miroir lisse produit une réflexion spéculaire.

À vous d'essayer : Un rayon arrive à 25° de la surface d'un miroir. Quels sont les angles d'incidence et de réflexion? Ne reprenez pas directement la valeur de 25°.

2. Réfraction : prévoir, puis calculer

La réfraction est le changement de direction qui peut se produire lorsque la lumière entre dans un autre milieu transparent. L'indice de réfraction est $n=\frac{c}{v}$, où $c\approx 3{,}00\times10^8\text{ m/s}$ est la vitesse de la lumière dans le vide et v, sa vitesse dans le milieu. L'indice n n'a pas d'unité. Par exemple, $n=1{,}50$ correspond à $v\approx 2{,}00\times10^8\text{ m/s}$.

Pour le rayon transmis, $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. L'indice 1 désigne le milieu que quitte la lumière; l'indice 2, celui où elle entre. Réglez la calculatrice en degrés lorsque les angles sont donnés en degrés.

• Un indice plus élevé à l'entrée fait dévier le rayon vers la normale, pour une incidence non nulle.
• Un indice plus faible fait dévier le rayon en s'éloignant de la normale, si un rayon transmis existe.
• À incidence normale, $\theta_1=0^\circ$ et $\theta_2=0^\circ$. La vitesse peut changer sans que la direction change.

Exemple résolu : de l'air à un milieu d'indice plus élevé

Prenez $n_1=1{,}00$ pour l'air, $n_2=1{,}50$ pour le matériau et $\theta_1=45{,}0^\circ$.

1. Prévoyez : le deuxième indice est plus élevé, donc $\theta_2$ devrait être inférieur à 45,0°.
2. Calculez le sinus : $$\begin{gathered}\sin\theta_2=\frac{1{,}00}{1{,}50}\sin 45{,}0^\circ\\\approx 0{,}4714\end{gathered}$$.
3. Trouvez l'angle : $$\begin{gathered}\theta_2=\arcsin(0{,}4714)\\\approx 28{,}1^\circ\end{gathered}$$ depuis la normale.
4. Vérifiez : 28,1° est inférieur à 45,0°, ce qui confirme la déviation prévue. Le résultat est un angle; 0,4714 est son sinus.

La figure montre seulement le trajet transmis; une partie de la lumière peut aussi être réfléchie à la surface.

Nouvel essai : Gardez les deux mêmes milieux, mais prenez $\theta_1=30{,}0^\circ$. Prévoyez la déviation, calculez $\sin\theta_2$, puis trouvez $\theta_2$. Un angle d'incidence plus petit devrait donner un angle de réfraction plus petit.

Une limite importante : La réflexion totale interne n'est possible que si la lumière passe d'un indice plus élevé à un indice plus faible et si l'angle d'incidence dépasse l'angle critique, $\theta_c=\arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$. À l'angle critique, le rayon réfracté limite longe la surface. Si la loi de Snell-Descartes exige $\sin\theta_2>1$, aucun rayon réfracté ne se propage dans le deuxième milieu. Pour $n_1=1{,}50$ et $n_2=1{,}00$, $\theta_c\approx 41{,}8^\circ$; un rayon incident à 50° subit une réflexion totale interne.

3. Construisez l'image à partir d'un point de l'objet

La lumière provenant du sommet d'un objet atteint la lentille par de nombreux trajets. On choisit deux rayons pratiques issus du même sommet. Leur intersection après la lentille donne l'image de ce sommet. Les autres points de l'objet forment le reste de l'image.

L’axe principal est l’axe de symétrie de la lentille, tracé horizontalement ici. Le centre optique est le point où cet axe traverse la lentille mince.

Les deux foyers sont sur l’axe, de part et d’autre du centre. Des rayons initialement parallèles à l’axe convergent en un foyer après une lentille convergente; après une lentille divergente, leurs prolongements vers l’arrière se rencontrent en un foyer. Dans ces tracés, la lumière se propage de gauche à droite : $F_1$ est du côté incident et $F_2$, du côté opposé. Pour cette lentille mince idéale dans l’air, les deux foyers sont à la même distance $|f|$ du centre. Cette distance est positive; la distance focale $f$ est positive pour une lentille convergente et négative pour une lentille divergente.

Dans le modèle de la lentille mince idéale, pour des rayons proches de l'axe principal :

• Un rayon passant par le centre optique continue en ligne droite.
• Avec une lentille convergente, un rayon incident parallèle à l'axe ressort en passant par le foyer situé de l'autre côté.
• Avec une lentille divergente, ce rayon parallèle ressort comme s'il provenait du foyer du côté incident. Prolongez-le vers l'arrière pour repérer ce foyer.

Ne faites pas passer tous les rayons par un foyer. La règle du foyer ci-dessus s'applique précisément à un rayon qui arrive parallèle à l'axe.

Une image réelle en trois étapes

Prenez une lentille convergente dont les foyers sont à 10 cm du centre. Placez un objet de 2 cm de hauteur à 15 cm à gauche. L'objet est entre le foyer proche $F_1$ et le double de la distance focale.

Étape 1 : placez l'objet, l'axe et les deux foyers. La base de la flèche représentant l'objet repose sur l'axe principal. Placez la lentille, puis $F_1$ et $F_2$ à la même distance de son centre.

Étape 2 : tracez le rayon initialement parallèle. Depuis le sommet de l'objet, avancez parallèlement à l'axe jusqu'à la lentille. Après la lentille, passez par le foyer opposé $F_2$. Un seul rayon ne suffit pas encore à situer l'image.

Étape 3 : ajoutez le rayon central. Depuis le même sommet, tracez un rayon passant par le centre optique et prolongez-le en ligne droite. Les deux rayons émergents se rencontrent sous l'axe. Placez le sommet de la flèche-image à cette intersection et sa base sur l'axe.

Cette construction donne une image réelle, renversée et agrandie : à 30 cm de la lentille du côté opposé, avec une hauteur physique de 4 cm. Un écran placé à cet endroit peut la recueillir. Les figures emploient la même échelle horizontale et verticale dans le modèle idéal; on situe l'image par l'intersection des rayons, sans deviner où placer sa flèche.

4. Que se passe-t-il si l'objet est entre la lentille et son foyer?

Gardez la même lentille convergente, mais rapprochez l'objet de 2 cm de hauteur à 6 cm de celle-ci. Appliquez exactement les deux mêmes règles de tracé. Cette fois, les rayons émergents s'écartent. Ils ne se rencontrent pas du côté opposé.

Prolongez leurs trajets vers l'arrière avec des pointillés. Les prolongements se rencontrent du côté de l'objet, à 15 cm de la lentille. Ils situent une image virtuelle, droite et agrandie, de 5 cm de hauteur.

Les pointillés indiquent d'où la lumière semble provenir. La lumière ne se propage pas vers l'arrière le long de ces prolongements. Un œil qui reçoit les rayons émergents peut voir l'image virtuelle, mais un écran placé à sa position apparente ne peut pas la recueillir. Une lentille convergente ne produit donc pas toujours une image réelle.

Lorsqu'un prolongement coïncide avec un véritable rayon incident, ce segment physique reste en trait plein dans la figure.

5. La même méthode pour une lentille divergente

Avec une lentille divergente, le rayon initialement parallèle s'écarte de l'axe. Son prolongement vers l'arrière passe par le foyer proche $F_1$. Le rayon central continue en ligne droite dans le modèle de la lentille mince.

Avec des foyers à 10 cm de la lentille et le même objet de 2 cm placé à 15 cm, les prolongements situent l'image virtuelle à 6 cm de la lentille, du côté de l'objet. L'image est droite et mesure 0,8 cm, soit 0,4 fois la hauteur de l'objet.

Pour un objet réel, une lentille divergente seule forme une image virtuelle, droite et réduite. Expliquez ce résultat avec le tracé des rayons plutôt que de mémoriser uniquement ces trois caractéristiques.

6. Reliez le tracé aux grandeurs et aux signes

Dans la convention « réel positif » employée ici :

• $d_o$ : distance objet-lentille, positive pour les objets réels de cette leçon
• $d_i$ : distance image-lentille, positive pour une image réelle du côté opposé, négative pour une image virtuelle du côté de l'objet
• f : distance focale, positive pour une lentille convergente, négative pour une lentille divergente
• $h_o$ et $h_i$ : hauteurs de l'objet et de l'image, positives au-dessus de l'axe et négatives au-dessous
• $m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o}$ : grandissement linéaire, sans unité; son signe indique l'orientation et la valeur absolue de m donne le rapport des hauteurs

Gardez la même unité de longueur dans $\frac1f=\frac1{d_o}+\frac1{d_i}$. Les centimètres conviennent si les trois longueurs sont en centimètres. Ces distances signées ne sont pas toutes des coordonnées orientées de gauche à droite : un objet dessiné à gauche garde $d_o>0$ dans cette convention.

Dans le tracé de l'image réelle, $d_i=+30\text{ cm}$ et $h_i=-4\text{ cm}$. Quand l'objet est entre le foyer et la lentille, $d_i=-15\text{ cm}$ et $h_i=+5\text{ cm}$. Les signes négatifs n'ont pas le même sens : côté et nature de l'image pour $d_i$; orientation pour $h_i$.

Pour passer aux calculs, utilisez l'exemple résolu sur les lentilles minces et son nouvel essai. Si votre cours utilise une autre convention, gardez ses définitions et l'équation correspondante ensemble.

7. Essayez un nouveau tracé

Gardez la lentille convergente de $f=+10\text{ cm}$ et un objet droit de 2 cm, mais placez l'objet à 20 cm de la lentille. Utilisez du papier quadrillé et une seule échelle pour toutes les longueurs.

1. Placez l'objet, le centre et les deux foyers. Quelle position particulière l'objet occupe-t-il?
2. Depuis le sommet de l'objet, tracez le rayon initialement parallèle et le rayon central.
3. Repérez leur intersection. Donnez la nature, le côté, l'orientation et la hauteur de l'image par rapport à l'objet.
4. Un écran pourrait-il recueillir l'image? Expliquez-le avec les rayons plutôt qu'avec le seul signe d'un nombre.

Continuez avec le sujet optique. Ces bases sont un point de départ; cette leçon ne couvre pas tous les miroirs, dispositifs optiques ou objectifs d'un cours.

Sources

Contenus visés : programme québécois de physique de 5e secondaire, optique géométrique et progression des apprentissages, p. 12–13. La description du cours 203-001-RE à Dawson comprend la réflexion, la réfraction et les lentilles. Règles de tracé et conventions du modèle : OpenStax, réflexion, réfraction et lentilles minces, en anglais. Les exemples et les figures ont été créés pour cette leçon.