Angles, similitude, aire et volume

Commencer par la grandeur cherchée

Choisissez un parcours : les sections 1–4 reprennent les angles et le calcul direct des changements d’échelle. Si vous connaissez déjà ces bases, passez aux sections 5–6 pour comparer les unités et retrouver des longueurs à partir d’une aire ou d’un volume. Terminez par les questions qui correspondent à votre notion actuelle.

La question demande-t-elle un angle, une longueur, une aire ou un volume? Nommer cette grandeur vous aide à choisir une méthode et une unité. Cette leçon utilise l’arithmétique de base, les fractions et les équations simples. Tous les angles sont en degrés et tous les triangles sont des triangles ordinaires dans un plan.

Essayez chaque question avant d’ouvrir sa réponse. Vous pouvez d’abord revoir l’algèbre de base, ou utiliser les méthodes du triangle rectangle lorsque l’énoncé indique un angle droit.

1. Utiliser les propriétés des angles avant d’estimer à partir du croquis

Erreur fréquente : soustraire de $90^\circ$ sans justification. Repérez les angles qui forment le triangle ou l’angle plat indiqué; utilisez les données plutôt que la taille apparente dans le dessin.

2. Associer les côtés homologues de triangles semblables

Des triangles semblables ont la même forme : leurs angles homologues sont égaux, et les longueurs de leurs côtés homologues ont un même rapport. Deux paires d’angles homologues égaux suffisent à établir la similitude de triangles, car la troisième paire doit aussi être égale.

Exemple résolu : les triangles $ABC$ et $DEF$ sont donnés comme semblables, avec $A$ correspondant à $D$, $B$ à $E$ et $C$ à $F$. Ainsi, $AB$ correspond à $DE$, $BC$ à $EF$, et $AC$ à $DF$. Les longueurs sont les suivantes :

• $AB=4$ cm, $BC=6$ cm et $AC=8$ cm
• $DE=6$ cm; trouvez $EF$ et $DF$

Soit $k$ le rapport de similitude du triangle $ABC$ au triangle $DEF$. Divisez une nouvelle longueur par la longueur initiale correspondante :

$$k=\frac{DE}{AB}=\frac64=\frac32.$$

Multipliez chaque côté initial par ce même facteur :

$$\begin{aligned} EF&=\frac32(6)=9\text{ cm},\\ DF&=\frac32(8)=12\text{ cm}. \end{aligned}$$

Vérification : $6/4=9/6=12/8=3/2$. Le facteur est sans unité, car les longueurs homologues utilisent la même unité. Ajouter 2 cm à chaque côté ne conserverait pas l’égalité de ces rapports.

3. Distinguer l’aire du volume

Erreur fréquente : mélanger les unités de longueur avant de multiplier. Pour un rectangle de 2 m de longueur et de 50 cm de largeur, écrivez d’abord 50 cm comme 0,5 m; l’aire vaut $2\times0{,}5=1$ m². Multiplier 2 par 50 mélangerait mètres et centimètres.

4. Multiplier chaque dimension, puis compter les facteurs

Doublez toutes les longueurs des exemples précédents. Le rectangle mesure alors 8 cm sur 6 cm : son aire vaut $48$ cm², soit quatre fois 12 cm². La boîte mesure 8 cm sur 6 cm sur 4 cm : son volume vaut $192$ cm³, soit huit fois 24 cm³.

Chaque multiplication apporte un autre facteur 2 :

$$\text{facteur d’aire}=2\times2=4,$$ $$\text{facteur de volume}=2\times2\times2=8.$$

Plus généralement, lorsque toutes les longueurs homologues sont multipliées par le même facteur positif $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Cette règle décrit un changement d’échelle uniforme. Si seule la hauteur d’une boîte double tandis que sa base reste inchangée, son volume double simplement.

5. Harmoniser les unités avant de comparer les mesures

Un rapport de similitude compare des mesures homologues exprimées dans la même unité. On ne peut pas former un rapport d’aires en divisant directement une valeur en mètres carrés par une valeur en centimètres carrés. Il faut d’abord convertir. Changer d’unité modifie la valeur numérique de la mesure; cela n’agrandit pas l’objet.

Pourquoi les unités carrées et cubiques ont des facteurs de conversion différents

Un mètre vaut 100 centimètres. Un carré de 1 m de côté mesure donc 100 cm de côté :

$$1\text{ m}^2=(100\text{ cm})(100\text{ cm})=10\,000\text{ cm}^2.$$

Un cube dont les arêtes mesurent 1 m apporte trois facteurs 100 : $1\text{ m}^3=1\,000\,000\text{ cm}^3$. Pour la capacité, $1\text{ L}=1\text{ dm}^3=1000\text{ cm}^3$, car un décimètre vaut 10 cm. Ainsi, 0,6 m² vaut 6000 cm², tandis que 0,6 L vaut 600 cm³. Comptez les dimensions avant de choisir le facteur.

Par exemple, deux panneaux semblables ont des aires de 0,12 m² et de 2700 cm². Convertissez la première aire en 1200 cm². Du premier panneau au second, le rapport des aires vaut $2700/1200=9/4$, et non $2700/0{,}12$. La section suivante montre comment en déduire le rapport des longueurs.

L’échelle d’un plan est un rapport de longueurs

Sur un plan à l’échelle 1:50, une longueur de 1 cm représente une longueur réelle de 50 cm. Du plan à l’objet réel, le facteur des longueurs est 50. Un segment de 6 cm représente 300 cm, soit 3 m. Une région d’aire 2 cm² représente $2(50)^2=5000$ cm², soit 0,5 m². Le facteur d’aire vaut $50^2$, car les deux dimensions changent. On suppose ici que le plan utilise la même échelle dans toutes les directions.

6. Retrouver une longueur à partir d’une aire ou d’un volume

Certains problèmes donnent un rapport d’aires ou de volumes et demandent une longueur. Établissez d’abord que les figures ou les solides sont semblables. Déterminez ensuite quelle grandeur est donnée et laquelle est cherchée.

Soit $k>0$ le rapport des longueurs de l’objet initial à son image semblable. Soient $A_0,A_1$ les aires initiale et finale, exprimées dans la même unité carrée, et $V_0,V_1$ les volumes initial et final dans la même unité cubique. Toutes ces mesures sont positives. Pour des solides, comparez des faces homologues entre elles, ou les aires totales entre elles.

$$\frac{A_1}{A_0}=k^2,\qquad \frac{V_1}{V_0}=k^3.$$

Pour annuler l’élévation au carré, prenez la racine carrée positive. Pour annuler l’élévation au cube, prenez la racine cubique :

$$k=\sqrt{\frac{A_1}{A_0}}\quad\text{ou}\quad k=\sqrt[3]{\frac{V_1}{V_0}}.$$

La racine carrée de 9/4 vaut 3/2, car $(3/2)^2=9/4$. Même si l’équation $x^2=9/4$ admet aussi une solution négative, un rapport de longueurs positives ne peut pas être négatif. De même, la racine cubique de 27/8 vaut 3/2, car $(3/2)^3=27/8$. Vérifiez une racine proposée en l’élevant à la puissance indiquée. Ces facteurs positifs servent pour les agrandissements comme pour les réductions; cette leçon n’utilise pas de rapports de transformation signés.

Exemple résolu : agrandir une affiche

Une affiche rectangulaire mesure initialement 24 cm sur 18 cm. Une affiche semblable a une aire de 972 cm². Trouvez ses dimensions et son périmètre.

1. Nommez le sens : de l’affiche initiale à l’affiche agrandie.
2. Comparez les aires : l’aire initiale vaut $24(18)=432$ cm², donc $k^2=972/432=9/4$.
3. Retrouvez le rapport des longueurs : $k=3/2$. Les nouvelles dimensions valent $24(3/2)=36$ cm et $18(3/2)=27$ cm.
4. Vérifiez les grandeurs cherchées : $36(27)=972$ cm². Le périmètre vaut $2(36+27)=126$ cm. Le périmètre initial vaut 84 cm; leur rapport est $126/84=3/2$, soit le rapport des longueurs.

Le périmètre additionne des longueurs : chaque terme comporte un facteur $k$. L’aire d’un rectangle est le produit de deux longueurs : elle comporte donc deux facteurs $k$. Multiplier chaque côté par le rapport d’aires 9/4 donnerait une affiche trop grande.

Exemple résolu : une boîte semblable, son aire totale et son volume

Une boîte rectangulaire fermée mesure 4 cm de longueur, 3 cm de largeur et 2 cm de hauteur. Une boîte semblable a un volume de 81 cm³. Trouvez ses dimensions et son aire totale. Traitez les boîtes comme des solides géométriques, sans tenir compte de l’épaisseur des parois.

Le volume initial vaut $4(3)(2)=24$ cm³. Ainsi, $k^3=81/24=27/8$, et $k=3/2$. Les nouvelles dimensions sont 6 cm, 4,5 cm et 3 cm. Leur produit vaut $6(4{,}5)(3)=81$ cm³, comme demandé.

L’aire totale additionne les aires des six faces, deux de chaque taille. L’aire totale initiale vaut $2(4\cdot3+4\cdot2+3\cdot2)=52$ cm². Chaque aire de face est multipliée par $k^2=9/4$, donc la nouvelle aire totale vaut $52(9/4)=117$ cm². Directement, $2(6\cdot4{,}5+6\cdot3+4{,}5\cdot3)=117$ cm². L’aire totale utilise le facteur d’aire, même si la boîte possède trois dimensions.

Avant d’utiliser un rapport : la similitude doit être donnée ou justifiée. Des aires égales ne suffisent pas à l’établir. Si une seule dimension change, calculez à partir des dimensions réelles plutôt que de supposer un facteur commun aux longueurs.

Réessayer sans les exemples

1. Deux angles adjacents forment ensemble un angle plat. L’un mesure $137^\circ$. Trouvez l’autre.
2. Deux triangles semblables ont des côtés homologues de 12 cm et de 8 cm. Quel est le rapport de similitude du premier triangle au second? Que devient un autre côté mesurant 15 cm dans le premier triangle?
3. Toutes les longueurs d’un solide sont divisées par deux. Une face a initialement une aire de 36 cm², et le solide a un volume de 80 cm³. Trouvez la nouvelle aire de cette face et le nouveau volume.

Passer des unités à un nouveau problème d’échelle

Ces sept questions s’appuient sur les sections 5–6. Pour une question de similitude, écrivez le sens du rapport, précisez si le rapport donné concerne une longueur, une aire ou un volume, puis vérifiez la grandeur demandée. Toutes les longueurs sont positives.

4. Convertir la grandeur donnée. Exprimez 2500 cm² en m² et 18 000 cm³ en litres.

5. Retrouver une longueur à partir d’une aire. Une carte rectangulaire initiale mesure 10 cm de largeur et a une aire de 200 cm². Une carte semblable a une aire de 450 cm². Trouvez la largeur et la hauteur de la deuxième carte.

6. Réduire un solide à partir de son volume. Deux solides semblables ont des volumes de 625 cm³ et de 40 cm³. Le premier possède une arête de 15 cm et une face donnée d’aire 150 cm². Trouvez l’arête et l’aire de la face homologues dans le deuxième solide.

7. Lire une aire sur un plan. Sur un plan à l’échelle uniforme 1:50, un plancher rectangulaire est représenté par un rectangle de 4 cm sur 3 cm. Trouvez les dimensions réelles en mètres et l’aire réelle en m².

8. Reconnaître un changement non uniforme. Une boîte rectangulaire fermée passe de 4 cm sur 3 cm sur 2 cm à 4 cm sur 3 cm sur 4 cm. Trouvez son nouveau volume et sa nouvelle aire totale. Peut-on utiliser $k=2$ pour toute la boîte?

9. Vérifier l’hypothèse de similitude. Deux rectangles mesurent 2 cm sur 12 cm et 3 cm sur 8 cm. Ils ont la même aire. Un rapport d’aires de 1 suffit-il à prouver un rapport de longueurs de 1 entre eux?

10. Transfert : combiner les unités et le calcul inverse. Un modèle géométrique a un volume de 2 L et une hauteur de 10 cm. Un modèle semblable a un volume de 6750 cm³. Trouvez sa hauteur. Si le premier modèle a une aire totale de 1000 cm², trouvez celle du deuxième.

Choisissez la suite : si les rapports étaient incorrects, nommez la figure initiale et l’image et revoyez les côtés homologues. Si les unités étaient incorrectes, reprenez les unités carrées et cubiques. Si vous avez multiplié une longueur par un rapport d’aires, revoyez le calcul inverse et expliquez quelle racine est nécessaire avant de calculer.

Avant de continuer, expliquez pourquoi vous avez utilisé des degrés, des centimètres, des centimètres carrés ou des centimètres cubes dans une réponse. Expliquez ensuite quelles longueurs sont homologues dans une question de similitude.

Besoin d’aide pour choisir la première étape? En tutorat d’algèbre et de précalcul, votre tuteur peut vérifier vos angles et vos côtés homologues, résoudre un problème de mesure avec vous, puis vous accompagner pendant que vous essayez vous-même une nouvelle question.

Références des programmes et portée

Ces exercices ciblent certaines notions; ils ne constituent pas une révision complète d’une année ou d’un cours. La progression des apprentissages du Québec, pages imprimées 31–32 traite des unités, des mesures manquantes et des rapports d’aires et de volumes de figures et de solides semblables. Les attentes varient selon l’année et la séquence. En Ontario, MTH1W, 2021, avec pistes pédagogiques en anglais, E1.3 porte sur les conversions d’unités, E1.4 sur les changements de dimensions et B3.5 sur le raisonnement proportionnel en contexte. Choisissez les exemples correspondant aux notions de votre classe.