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Ajuster une droite, puis examiner ce qu’elle explique
La tension de sortie d’un capteur augmente avec la charge appliquée. Une droite peut-elle décrire utilement cette relation? Vous allez ajuster une droite, comparer ses prédictions aux observations, puis examiner un autre jeu de données où une forte association laisse pourtant un motif courbe dans les résidus.
Commencez lorsque vous savez substituer une valeur dans l’équation d’une droite et calculer une moyenne. Pour revoir la pente, l’ordonnée à l’origine et les coordonnées, consultez Points, pente et graphiques de droites. Les calculs de cette leçon ne demandent pas de calcul différentiel.
Définir les grandeurs avant de calculer
Dans cet exemple pédagogique fictif, une technicienne applique six charges connues à un capteur. Les données ont été construites pour cette leçon; elles ne proviennent ni d’un appareil réel, ni d’une expérience, ni d’une fiche technique.
- Variable explicative : x désigne la charge appliquée, mesurée en newtons (N).
- Variable réponse : y désigne la tension de sortie observée, mesurée en millivolts (mV).
- Valeur ajustée : ŷ, lu « y chapeau », est la tension prédite par la droite ajustée pour une valeur donnée de x. Elle s’exprime aussi en mV.
- Résidu : e est la valeur observée moins la valeur prédite, soit , en mV.
| Charge appliquée x (N) | Tension observée y (mV) |
|---|---|
| 0 | 1,1 |
| 1 | 2,8 |
| 2 | 5,1 |
| 3 | 7,1 |
| 4 | 8,8 |
| 5 | 11,1 |
Les observations forment six couples : gardez chaque charge avec la tension correspondante. Les points montent et semblent proches d’une droite. Un modèle affine mérite donc d’être examiné, mais cette impression ne suffit pas à déterminer s’il convient.
Quelles hypothèses adoptons-nous?
Pour cet exercice, considérez les charges comme connues avec précision par rapport à la variation de la tension, donnez le même poids aux six observations et estimez aussi l’ordonnée à l’origine. Nous prédisons la tension à partir de la charge. Estimer une charge inconnue à partir d’une tension est une autre question d’étalonnage : inverser les variables ne donne pas automatiquement la même régression.
Le calcul des moindres carrés ne demande pas, à lui seul, que les données suivent une loi normale. Pour utiliser la droite au-delà de la description de ces six points, il faudrait des éléments indiquant qu’une relation affine convient dans l’intervalle visé et que les conditions de mesure restent comparables. Ces données seules n’établissent ni l’indépendance des erreurs ni une variabilité constante. Six observations ne permettent pas de certifier la performance d’un appareil ou la précision de prédictions futures.
Ajuster la droite avec toutes les observations
Écrivons la droite ajustée sous la forme , où a est l’ordonnée à l’origine estimée et b la pente estimée. Vérifiez le rôle de chaque lettre : votre cours peut utiliser une autre notation pour l’équation d’une droite.
La droite passant par la première et la dernière observation est une droite possible. La méthode des moindres carrés choisit plutôt a et b pour rendre aussi petite que possible la somme des carrés des résidus verticaux :
Ici, n est le nombre d’observations, i désigne une observation et Σ signifie qu’on additionne sur toutes les observations. Le carré empêche les résidus positifs et négatifs de s’annuler. Il donne aussi davantage de poids à un grand résidu. Il s’agit d’écarts verticaux de tension, pas des plus courtes distances perpendiculaires à la droite. SSE s’exprime en mV².
Étape 1 : calculer les deux moyennes
Il y a n = 6 observations. La somme des charges vaut 15 N et celle des tensions vaut 36 mV. Une barre désigne une moyenne :
Étape 2 : mesurer la variation autour des moyennes
Définissons et . Le premier mesure la dispersion des entrées; le second combine les écarts correspondants des entrées et des sorties.
| x (N) | x − x̄ (N) | y − ȳ (mV) | (x − x̄)² (N²) | (x − x̄)(y − ȳ) (N·mV) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | −2,5 | −4,9 | 6,25 | 12,25 |
| 1 | −1,5 | −3,2 | 2,25 | 4,80 |
| 2 | −0,5 | −0,9 | 0,25 | 0,45 |
| 3 | 0,5 | 1,1 | 0,25 | 0,55 |
| 4 | 1,5 | 2,8 | 2,25 | 4,20 |
| 5 | 2,5 | 5,1 | 6,25 | 12,75 |
| Total | 0 | 0 | 17,50 | 35,00 |
Par exemple, à x = 1 N, le produit vaut (−1,5)(−3,2) = 4,80 N·mV. Gardez les couples ensemble : multiplier un écart d’une ligne par un écart de tension d’une autre ligne modifie l’ajustement.
Étape 3 : calculer la pente et l’ordonnée à l’origine
Pour une régression ordinaire par les moindres carrés, à poids égaux et avec ordonnée à l’origine, à condition que les x ne soient pas tous identiques,
Les unités concordent : (N·mV)/N² = mV/N. Multiplier la pente par une charge en N donne une tension en mV, qu’on peut ajouter à l’ordonnée à l’origine.
Gardez cette convention d’unités chaque fois que vous utilisez l’équation numérique. Selon la pente, la tension prédite augmente de 2 mV pour une augmentation de charge de 1 N. Cela ne signifie pas que chaque mesure augmente exactement de 2 mV. L’ordonnée à l’origine donne la tension prédite à charge nulle, soit 1 mV. Zéro appartient à l’intervalle observé : cette interprétation ne demande donc pas d’extrapolation. La valeur observée indiquée dans le tableau est de 1,1 mV.
Étape 4 : vérifier une propriété de la droite ajustée
À la charge moyenne, la prédiction vaut 1 + 2(2,5) = 6 mV, la tension moyenne. Une droite des moindres carrés avec ordonnée à l’origine passe par (x̄; ȳ). Cette propriété peut révéler certaines erreurs de calcul; elle ne montre pas que le modèle affine convient aux données.
Si toutes les entrées étaient identiques, Sxx vaudrait zéro et la formule de la pente serait indéfinie : les données ne montreraient pas comment la sortie varie avec l’entrée. Utilisez plusieurs valeurs d’entrée distinctes et ne confondez pas le nombre de mesures avec l’étendue qu’elles couvrent.
Voir ce que la droite laisse dans les résidus
Calculez chaque valeur prédite avec la droite, puis soustrayez toujours dans le même ordre : valeur observée moins valeur prédite.
| x (N) | y observée (mV) | ŷ prédite (mV) | Résidu e (mV) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1,1 | 1,0 | +0,1 |
| 1 | 2,8 | 3,0 | −0,2 |
| 2 | 5,1 | 5,0 | +0,1 |
| 3 | 7,1 | 7,0 | +0,1 |
| 4 | 8,8 | 9,0 | −0,2 |
| 5 | 11,1 | 11,0 | +0,1 |
À x = 1 N, ŷ = 1 + 2(1) = 3 mV, donc e = 2,8 − 3 = −0,2 mV. Le point se trouve sous la droite : celle-ci surestime la tension observée de 0,2 mV. À x = 2 N, e = 5,1 − 5 = +0,1 mV; le point est au-dessus de la droite, qui sous-estime la tension de 0,1 mV.
Un graphique des résidus garde x sur l’axe horizontal, mais remplace y par e sur l’axe vertical. La droite ajustée inclinée devient la référence horizontale e = 0. Ne reliez pas les points des résidus : chacun représente une observation distincte.
Ici, les écarts ne dépassent pas 0,2 mV en valeur absolue, sans motif net en U à ces six charges. C’est une description limitée, pas une preuve d’erreurs aléatoires ou de précision du capteur. Dans une application réelle, savoir si 0,2 mV est assez petit dépend de l’objectif et de la tolérance visée, que cet exemple fictif ne précise pas.
Une somme nulle vérifie le calcul, pas la pertinence du modèle
La somme des résidus est 0,1 − 0,2 + 0,1 + 0,1 − 0,2 + 0,1 = 0 mV. La somme de leurs carrés vaut 4(0,1²) + 2(0,2²) = 0,12 mV².
Avec une ordonnée à l’origine, un ajustement ordinaire par les moindres carrés à poids égaux vérifie et , à l’arrondi près. Ces propriétés de la méthode restent vraies même si une droite convient mal. Elles ne signifient pas que chaque résidu est nul et n’imposent pas autant de résidus positifs que négatifs. Elles ne sont pas nécessairement valables pour une droite contrainte à passer par l’origine ou pour des coefficients choisis arbitrairement.
Changer les données : une forte corrélation peut masquer une courbure
Remplaçons maintenant les tensions par le jeu B, lui aussi construit pour la leçon, aux mêmes charges. Nous comparons deux jeux pédagogiques; nous ne décrivons pas un capteur qui change au fil du temps.
| x (N) | y observée (mV) | ŷ prédite (mV) | Résidu e (mV) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1,5 | 1,0 | +0,5 |
| 1 | 2,9 | 3,0 | −0,1 |
| 2 | 4,6 | 5,0 | −0,4 |
| 3 | 6,6 | 7,0 | −0,4 |
| 4 | 8,9 | 9,0 | −0,1 |
| 5 | 11,5 | 11,0 | +0,5 |
Les moyennes restent x̄ = 2,5 N et ȳ = 6 mV. Sxx vaut toujours 17,5 N². Les six produits centrés donnent maintenant 13,75 + 4,65 + 0,70 + 0,30 + 4,35 + 13,75 = 35 N·mV. La droite des moindres carrés est donc encore ŷ = 1 + 2x. Nous avons réajusté la droite aux nouvelles données; nous n’avons pas simplement supposé que les anciens coefficients convenaient.
Les résidus sont positifs aux extrémités et négatifs au milieu. Ce motif systématique en U incite à remettre en question la forme affine du modèle. Vérifier les mesures, examiner les conditions de mesure et recueillir davantage d’observations pourrait aider à décider si un autre modèle est justifié. Six points construits ne déterminent ni la véritable relation physique ni un modèle de remplacement unique.
Vérifier l’affirmation d’une forte corrélation
Le coefficient de corrélation r est une mesure sans unité de l’association linéaire. Si les x et les y ne sont pas constants, définissons ; alors .
Pour le jeu B, les écarts des tensions à leur moyenne sont −4,5, −3,1, −1,4, 0,6, 2,9 et 5,5 mV. La somme de leurs carrés vaut 70,84 mV², donc
Ce résultat est très proche de +1 malgré la courbure des résidus. Pour cet ajustement ordinaire à une variable explicative avec ordonnée à l’origine, R² = r² ≈ 0,988. La droite rend compte d’environ 98,8 % de la variation observée autour de la moyenne dans ce jeu. Ce n’est ni une probabilité de 98,8 % que la droite soit correcte, ni une promesse sur les prochaines mesures.
La somme des résidus du jeu B est également nulle, mais la somme de leurs carrés vaut 2(0,5²) + 2(0,1²) + 2(0,4²) = 0,84 mV². Ni la somme nulle ni une forte corrélation ne remplacent l’examen du motif.
Adapter la conclusion aux éléments disponibles
- Un motif courbe dans les résidus suggère que la droite laisse une caractéristique systématique inexpliquée.
- Un graphique sans courbure évidente ne prouve pas qu’un modèle est correct. Un petit échantillon peut masquer des motifs, et un graphique selon x ne suffit pas à établir l’indépendance ou les autres hypothèses sur les mesures.
- Une dispersion qui s’élargit soulèverait une autre question, celle de la variabilité. Un résidu particulièrement grand demanderait une vérification; il ne justifierait pas la suppression automatique de l’observation.
- L’interpolation utilise une entrée dans l’intervalle observé. L’extrapolation en sort, là où ces observations ne permettent pas de vérifier directement la droite.
- Une association décrite par la régression, même avec un graphique de résidus sans motif apparent, n’établit pas à elle seule une relation de cause à effet.
Cinq questions : calculer, interpréter, puis examiner le modèle
Ces exercices sont originaux. Ouvrez un indice au besoin, comparez votre raisonnement à la solution complète, puis essayez la version modifiée. Une calculatrice peut aider pour l’arithmétique; expliquez ce que signifie chaque résultat.
1. Ajuster une nouvelle droite d’étalonnage
Un autre jeu fictif de mesures comprend les charges x = 0, 1, 2, 3 N et les tensions y = 1, 3, 4, 6 mV, associées dans cet ordre. Trouvez la droite des moindres carrés à poids égaux avec ordonnée à l’origine. Interprétez sa pente et sa prédiction à charge nulle.
Indice pour la question 1
Trouvez les deux moyennes, puis calculez Sxx et Sxy. La pente est Sxy/Sxx, pas la moyenne des y, ni nécessairement la pente de la droite passant par les extrémités.
Solution complète de la question 1
Les moyennes sont x̄ = 1,5 N et ȳ = 3,5 mV. Les écarts des x sont −1,5, −0,5, 0,5, 1,5 N; ceux des y sont −2,5, −0,5, 0,5, 2,5 mV.
Sxx = 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 = 5 N². Sxy = 3,75 + 0,25 + 0,25 + 3,75 = 8 N·mV. Ainsi, b = 8/5 = 1,6 mV/N et a = 3,5 − 1,6(1,5) = 1,1 mV.
La droite est ŷ = 1,1 + 1,6x, avec x en N et ŷ en mV. Chaque newton supplémentaire augmente la tension prédite de 1,6 mV; la tension prédite à charge nulle vaut 1,1 mV. À x̄ = 1,5 N, la droite donne bien 3,5 mV.
Les tensions prédites sont 1,1, 2,7, 4,3 et 5,9 mV; les résidus sont −0,1, +0,3, −0,3 et +0,1 mV. Leur somme est nulle. La pente entre les extrémités, (6 − 1)/(3 − 0) = 5/3 mV/N, est différente, car ce choix de droite ne tient pas compte des deux observations intermédiaires.
Reprise : modifier les tensions
Gardez x = 0, 1, 2, 3 N, mais utilisez y = 2, 3, 5, 6 mV. Trouvez la nouvelle droite et vérifiez sa prédiction à la charge moyenne.
Solution de la reprise 1
Maintenant, ȳ = 4 mV, tandis que x̄ = 1,5 N et Sxx = 5 N². Les écarts des y sont −2, −1, 1, 2 mV; donc Sxy = 3 + 0,5 + 0,5 + 3 = 7 N·mV. Ainsi, b = 1,4 mV/N et a = 4 − 1,4(1,5) = 1,9 mV.
La droite est ŷ = 1,9 + 1,4x. À x = 1,5 N, elle prédit 4 mV. Ses prédictions sont 1,9, 3,3, 4,7, 6,1 mV; les résidus sont +0,1, −0,3, +0,3, −0,1 mV, dont la somme est encore nulle.
2. Lire le signe d’un résidu
Reprenez la droite du jeu A, ŷ = 1 + 2x. À x = 4 N, la tension observée vaut 8,8 mV. Calculez la prédiction et le résidu. La droite surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle la tension, et où se trouve l’observation par rapport à la droite?
Indice pour la question 2
Substituez d’abord la charge. Calculez ensuite la valeur observée moins la valeur prédite. Un résidu positif correspond à un point au-dessus de la droite.
Solution complète de la question 2
ŷ = 1 + 2(4) = 9 mV. Le résidu vaut e = 8,8 − 9 = −0,2 mV. L’observation est sous la droite, qui surestime la tension de 0,2 mV. Écrire « −0,2 N » attribuerait l’unité de l’entrée à un écart de sortie; dire « sous-estime » inverserait la comparaison.
Reprise : une nouvelle mesure de vérification
Gardez la même droite, sans la réajuster. Une nouvelle mesure à x = 3 N donne y = 7,3 mV. Trouvez le résidu et expliquez son signe.
Solution de la reprise 2
La prédiction reste ŷ = 1 + 2(3) = 7 mV. La différence vaut 7,3 − 7 = +0,3 mV : le nouveau point est au-dessus de la droite, qui sous-estime cette mesure de 0,3 mV. Cette nouvelle observation n’a pas servi à ajuster la droite. La propriété de somme nulle des résidus d’ajustement n’impose donc pas que cette différence supplémentaire et les anciens résidus aient ensemble une somme nulle.
3. Distinguer interpolation et extrapolation
Le jeu A couvre des charges de 0 à 5 N. Avec sa droite ajustée, prédisez la tension à 2,5 N et à 6 N. Classez chaque calcul et précisez ce que ces nombres ne garantissent pas.
Indice pour la question 3
La classification dépend de l’intervalle des entrées, pas du fait que la sortie prédite soit positive ou proche d’une observation.
Solution complète de la question 3
À 2,5 N, ŷ = 1 + 2(2,5) = 6 mV. C’est une interpolation, car 2,5 appartient à [0; 5]. À 6 N, ŷ = 1 + 2(6) = 13 mV. C’est une extrapolation, car 6 dépasse la plus grande charge observée.
Les deux substitutions sont arithmétiquement correctes. L’extrapolation suppose que la droite reste utile hors de l’intervalle mesuré, ce que les données ne vérifient pas. Même la valeur interpolée reste une prédiction du modèle : ce n’est ni une mesure observée ni une garantie qu’une future tension vaudra exactement 6 mV.
Reprise : examiner deux autres charges
Calculez les prédictions à 4,5 N et à 7 N. Le fait que les résidus soient petits aux six charges utilisées pour l’ajustement donne-t-il le même appui aux deux prédictions?
Solution de la reprise 3
Les prédictions valent 10 mV à 4,5 N et 15 mV à 7 N. La première est une interpolation; la seconde, une extrapolation. De petits écarts entre 0 et 5 N ne donnent aucune indication directe sur le comportement à 7 N. Ils ne quantifient pas non plus l’incertitude de l’une ou l’autre prédiction. De nouvelles observations dans l’intervalle visé seraient utiles avant de se fier au prolongement.
4. Examiner le modèle, pas seulement la soustraction
Un étudiant approuve la droite du jeu B parce que r ≈ 0,994 et que la somme des résidus est nulle. Expliquez ce qui manque à son raisonnement à l’aide du motif des résidus. Indiquez où la droite surestime et où elle sous-estime.
Indice pour la question 4
Lisez les résidus de gauche à droite : +0,5, −0,1, −0,4, −0,4, −0,1, +0,5 mV. Demandez-vous si les signes et les tailles des écarts dépendent systématiquement de la charge.
Solution complète de la question 4
La droite sous-estime à 0 et 5 N, où les résidus sont positifs. Elle surestime à 1, 2, 3 et 4 N, où ils sont négatifs; les plus grandes surestimations se trouvent au milieu. Le motif en U suggère que la droite laisse une courbure systématique inexpliquée.
Une valeur élevée de r résume la forte association linéaire globale; elle n’exclut pas ce motif. La somme nulle découle de l’ajustement par les moindres carrés à poids égaux avec ordonnée à l’origine, même si la droite convient mal. Vérifier les mesures et leurs conditions, puis recueillir davantage de données avant de choisir un autre modèle serait une suite raisonnable. Le graphique ne prouve pas une loi quadratique et n’établit pas la précision future.
Reprise : un jeu plus petit
Pour une autre droite ajustée avec ordonnée à l’origine, les résidus à x = 0, 1, 2, 3 N sont +0,2, −0,2, −0,2, +0,2 mV. Un étudiant dit que leur somme nulle prouve que le modèle est correct. Que pouvez-vous conclure?
Solution de la reprise 4
La somme est bien nulle, mais cela est seulement compatible avec la méthode d’ajustement. Des extrémités positives et un milieu négatif suggèrent un motif courbe possible. Avec seulement quatre observations, son interprétation est particulièrement incertaine. Vous pouvez signaler le motif et chercher plus d’information; vous ne pouvez affirmer ni que la droite est correcte ni qu’un modèle courbe précis est établi.
5. Distinguer association et causalité
Dans une autre étude observationnelle fictive, une technicienne note la température de la pièce et la tension de sortie du capteur pendant que les charges appliquées varient aussi. Une pente de régression positive relie la température à la tension. Montre-t-elle qu’augmenter la température cause l’augmentation de tension prédite? Expliquez pourquoi la charge appliquée compte.
Indice pour la question 5
Les deux variables du graphique ne sont pas les seules choses qui ont changé. Pensez à une variable qui peut modifier la tension et aussi varier avec la température enregistrée.
Solution complète de la question 5
Non. La pente ajustée décrit une association dans ces observations. Si les charges plus élevées ont été utilisées lorsque la pièce était plus chaude, la charge pourrait contribuer à expliquer l’association entre température et tension. La régression seule ne permet pas de départager ces explications.
Il faudrait savoir comment les mesures ont été recueillies et comment les autres conditions ont été contrôlées. Une expérience soigneusement conçue pourrait aider à étudier un effet de la température. Une forte corrélation ou un graphique de résidus sans motif évident ne transforme pas, à lui seul, cette comparaison observationnelle en résultat causal.
Reprise : modifier plusieurs choses ensemble
Une technicienne remplace la pile d’un capteur et change la charge appliquée en même temps. La tension suivante est plus élevée. Une droite ajustée aux anciennes mesures montre-t-elle que la nouvelle pile a causé cette augmentation?
Solution de la reprise 5
Non. L’état de la pile et la charge ont changé. Une droite décrivant les anciennes données n’identifie pas le changement qui a causé la différence. Des mesures comparables où la charge est contrôlée aideraient à étudier l’effet de la pile; cette seule comparaison avant-après ne l’isole pas.
Choisir la suite selon la difficulté
- Si la pente ou l’ordonnée à l’origine reste floue, revoyez les bases des graphiques de droites, puis la question 1.
- Si vous inversez le signe des résidus, écrivez « observé − prédit » avant chaque soustraction, puis reprenez la question 2.
- Si un résultat numérique semble plus certain que les données ne le permettent, reprenez les questions 3 à 5 et décrivez l’intervalle des entrées, le motif des résidus et les limites avec des mots.
Cette leçon couvre-t-elle toute la régression de mon cours?
Non. Il s’agit d’exercices ciblés sur l’ajustement et l’examen d’un modèle affine à une variable explicative. Comparez-les au plan et aux consignes actuels de votre section. La leçon ne couvre pas l’inférence formelle, les intervalles de prédiction, la régression multiple ou les cartes de contrôle, et ne prétend pas annoncer le contenu d’un examen.
Puis-je demander de l’aide sans avoir commencé une solution?
Oui. Vous pouvez demander de l’aide à l’étape où vous bloquez, y compris pour choisir un premier pas. Une question, des données ou un calcul partiel peuvent aider à cibler l’explication, mais aucune tentative de solution n’est exigée.
Les séances de tutorat sont-elles offertes en français?
Les séances de tutorat se déroulent actuellement en anglais. Cette leçon écrite et ses solutions sont disponibles en français et en anglais.
Sources et portée des exemples
Les données, graphiques, questions et solutions ont été créés pour cette leçon. Références méthodologiques : les formules des moindres carrés, les résidus et l’examen d’un modèle, ainsi que les motifs des résidus et les limites d’un seul graphique dans le manuel du NIST, en anglais.
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