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Collège Ahuntsic · 201-SN2-RE

Tutorat en calcul différentiel pour le cours 201-SN2-RE à Ahuntsic

Faites le lien entre un taux sur un intervalle et une dérivée à un instant précis. Essayez l’exemple résolu ou demandez à un tuteur d’expliquer ce lien et de vous aider à commencer un exercice.

Demander de l’aide en calculEssayer l’exemple résolu

Votre cours de calcul différentiel à Ahuntsic

Le cours 201-SN2-RE d’Ahuntsic, Calcul différentiel, présente les limites et les dérivées dans des applications scientifiques. Ce guide vous aide à travailler la définition de la dérivée et à distinguer continuité et dérivabilité.

Utilisez votre plan de cours actuel pour choisir les autres notions à réviser.

Matière du cours

  • Limites et continuité
  • Définition de la dérivée et règles de dérivation
  • Étude de fonctions
  • Taux de variation, taux liés et optimisation

Avant de calculer un taux

Précisez la variable d’entrée, la grandeur calculée et leurs unités. Repérez les deux valeurs de la variable utilisées pour un taux moyen. Pour trouver un taux instantané, faites tendre la deuxième valeur vers la première et vérifiez ce qui se passe de chaque côté.

Deux étapes à vérifier

  • Gardez l’accroissement du temps non nul pendant la simplification du quotient de différences, puis passez à la limite.
  • Lors d’un changement de formule, vérifiez séparément les valeurs de la fonction et les pentes de chaque côté.

Passer d’un taux de remplissage moyen à une dérivée

Le volume d’eau d’un réservoir est modélisé par V(t)=20+2t+t2V(t)=20+2t+t^2 pour 0≤t≤20\le t\le2. Ici, tt est la valeur numérique du temps en minutes et V(t)V(t), celle du volume en litres. Trouvez le taux de remplissage moyen de 1 à 2 minutes, puis utilisez la définition de la dérivée pour trouver le taux instantané à 1 minute. Pourquoi les deux résultats peuvent-ils être différents?

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Commencez par diviser la variation de volume par le temps écoulé. Pour la dérivée, remplacez le deuxième instant par 1+h1+h, où h≠0h\ne0 est un accroissement du temps mesuré en minutes. Développez (1+h)2(1+h)^2 avant de simplifier.

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  1. 1. Trouver la variation de volume

    Le modèle donne V(1)=23V(1)=23 L et V(2)=28V(2)=28 L. Le réservoir gagne 28−23=528-23=5 L sur un intervalle de temps de 2−1=12-1=1 minute. Un volume en litres et un taux de remplissage en litres par minute décrivent des grandeurs différentes.

  2. 2. Calculer le taux moyen

    Notons rmoyr_{\mathrm{moy}} le taux de remplissage moyen sur cet intervalle. Alors rmoy=(28−23) L(2−1) min=5 L/min.\begin{aligned}r_{\mathrm{moy}}&=\frac{(28-23)\,\mathrm{L}}{(2-1)\,\mathrm{min}}\\&=5\,\mathrm{L/min}.\end{aligned} Sur le graphique du volume en fonction du temps, il s’agit de la pente de la sécante passant par les deux points correspondant aux extrémités de l’intervalle.

  3. 3. Réduire l’intervalle sans diviser par zéro

    En utilisant les valeurs du modèle en minutes et en litres, V(1+h)=20+2(1+h)+(1+h)2=23+4h+h2.\begin{aligned}&V(1+h)\\&=20+2(1+h)\\&\quad +(1+h)^2\\&=23+4h+h^2.\end{aligned} Soustrayez V(1)=23V(1)=23 avant de diviser. Pour 0<∣h∣≤10<|h|\le1, V(1+h)−V(1)h=4h+h2h=4+h.\begin{aligned}&\frac{V(1+h)-V(1)}{h}\\&=\frac{4h+h^2}{h}\\&=4+h.\end{aligned} Ce quotient est un taux moyen en L/min. Pour h=0,1h=0{,}1, il donne 4,1 L/min; pour h=−0,1h=-0{,}1, il donne 3,9 L/min. Un accroissement négatif utilise un instant antérieur.

  4. 4. Passer à la limite et interpréter le résultat

    Lorsque hh tend vers zéro de chaque côté, 4+h4+h tend vers 4. Ainsi, V′(1)=lim⁡h→0V(1+h)−V(1)h=4.\begin{aligned}&V^{\prime}(1)\\&=\lim_{h\to0}\frac{V(1+h)-V(1)}{h}\\&=4.\end{aligned} Le taux de remplissage instantané est donc de 4 L/min. Il s’agit de la pente de la tangente à 1 minute, exprimée en litres par minute. Le taux moyen sur la minute suivante est plus élevé, car le taux de remplissage augmente pendant cet intervalle. La dérivée est un taux obtenu par passage à la limite; elle ne décrit pas l’arrivée soudaine de 4 L supplémentaires.

À vous : une fonction continue est-elle toujours dérivable?

Un modèle idéal de remplissage change à 1 minute. Notons W(t)W(t) la valeur numérique du volume en litres, avec tt en minutes. Pour 0≤t≤10\le t\le1, utilisez W(t)=20+2t+t2W(t)=20+2t+t^2. Pour 1<t≤21<t\le2, utilisez W(t)=23+6(t−1)W(t)=23+6(t-1). Vérifiez d’abord le volume au raccord. Trouvez ensuite les taux à gauche et à droite. Est-ce que W′(1)W^{\prime}(1) existe? Enfin, quel nombre pourrait remplacer 6 pour que les deux taux soient égaux?

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Pour la continuité, comparez W(1)W(1) aux limites du volume de chaque côté. Pour la dérivée, utilisez (W(1+h)−W(1))/h\bigl(W(1+h)-W(1)\bigr)/h : prenez la première formule si h<0h<0 et la deuxième si h>0h>0.

Vérifier chaque étape

  1. 1. Vérifier que les volumes se rejoignent

    La première formule donne W(1)=23W(1)=23 L. Les deux limites du volume valent aussi 23 L, donc WW est continue à 1 minute. Le volume ne présente aucun saut.

  2. 2. Vérifier le taux à gauche

    Pour h<0h<0 près de zéro, la première formule s’applique et le quotient de différences vaut 4+h4+h, comme dans l’exemple résolu. Sa limite lorsque h→0−h\to0^- est de 4 L/min.

  3. 3. Vérifier le taux à droite

    Pour h>0h>0 près de zéro, W(1+h)=23+6hW(1+h)=23+6h. Ainsi, W(1+h)−W(1)h=6hh=6.\begin{aligned}&\frac{W(1+h)-W(1)}{h}\\&=\frac{6h}{h}=6.\end{aligned} Le taux à droite est de 6 L/min. Comme 4≠64\ne6, la dérivée W′(1)W^{\prime}(1) n’existe pas. Le graphique du volume présente un point anguleux même si la fonction est continue.

  4. 4. Faire coïncider les pentes

    Remplacez 6 par 4 dans la deuxième formule : W(t)=23+4(t−1)W(t)=23+4(t-1) pour 1<t≤21<t\le2. Le raccord reste à 23 L et les deux taux valent maintenant 4 L/min. Le modèle modifié est dérivable à 1 minute.

Si l’algèbre vous a bloqué, développez le carré et soustrayez la valeur initiale au complet sur des lignes séparées. Si vous avez conclu que des volumes égaux impliquaient des pentes égales, comparez les deux quotients de différences dans l’exercice sur la continuité ci-dessus.

Reprendre l’étape difficile avec un tuteur

Apportez un exercice que vous avez le droit de partager, même si vous ne l’avez pas commencé. Vous pouvez choisir ensemble la première étape ou reprendre un calcul déjà essayé. Votre tuteur peut vous demander de repérer l’intervalle, de préciser les unités et d’expliquer quelle grandeur la question demande. Ensemble, vous pouvez trouver une soustraction oubliée ou une erreur de développement avant de revenir à la limite.

Pour une fonction définie par morceaux, votre tuteur peut vous aider à choisir la bonne formule de chaque côté et à esquisser le raccord. Modifiez ensuite un coefficient vous-même et expliquez si la valeur, la continuité ou la dérivée change.

Préparer une révision ciblée

Suivez les notions et les consignes d’évaluation actuelles de votre groupe. Commencez par une question sur le taux moyen, une dérivée calculée par définition et une question de continuité pour une fonction définie par morceaux. Précisez ce que chaque limite mesure, vérifiez le résultat, puis reprenez l’étape difficile sans la solution. Ajoutez des exercices de dérivation et d’application parmi les sujets vus en classe.

Pratique autonome

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Information sur le cours à Ahuntsic

Avant de demander une séance

Puis-je demander de l’aide sans connaître le code du cours?

Oui. Indiquez le sujet à travailler. Vous pouvez joindre un exercice et ce que vous avez commencé, mais ce n’est pas nécessaire pour demander de l’aide. Ajoutez le code ou le plan de cours si vous l’avez.

Comment se déroulent les séances?

Les séances sont individuelles et se déroulent actuellement en anglais, sur Zoom ou Google Meet. Le tutorat en personne à Montréal est offert sur demande; le lieu, la disponibilité et le prix sont convenus avant la réservation.

Comment fixer l’heure d’une séance?

Envoyez vos disponibilités. Nous confirmerons la disponibilité du tuteur et conviendrons de la date, de l’heure, du format et du prix total avant le paiement. La réservation est confirmée par écrit.

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