Simplifier une fraction sans oublier son domaine

Nablio · 7 minPublié le 11 septembre 2026

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Ces notions de base en calcul différentiel sont utiles en MATH 203 à Concordia et en MATH 140 à McGill; l’ordre des sujets et le rythme des cours peuvent varier.

Vous simplifiez une fraction, remplacez la variable par un nombre et obtenez une réponse tout à fait ordinaire. Mais ce nombre était-il permis dans l’expression initiale? Cette petite question d’algèbre devient essentielle en calcul différentiel, lorsqu’il faut distinguer la valeur d’une fonction en un point de ce qu’elle approche près de ce point.

Simplifier par un facteur commun revient à diviser. Diviser le numérateur et le dénominateur par le même facteur préserve la fraction seulement lorsque ce facteur est non nul. Prenez donc cette habitude : notez les restrictions imposées par le dénominateur avant de simplifier, puis conservez-les à côté de l’expression simplifiée.

Le graphique suit y = x + 3 avec un trou en (2, 5). La limite lorsque x tend vers 2 vaut 5, même si f n’est pas définie en 2. — Le cercle ouvert indique un point exclu, pas l’absence de limite. Le raisonnement complet suit ci-dessous.

1. Conserver le domaine de définition initial

Considérons $f(x)=\frac{x^2+x-6}{x-2}$ . Le dénominateur est nul lorsque $x=2$ ; la fonction initiale est donc définie pour tous les nombres réels sauf 2. Les nombres 3 et $-2$ ont pour produit $-6$ et pour somme 1. Le numérateur se factorise donc en $(x+3)(x-2)$ . Nous pouvons simplifier par le facteur commun seulement si $x-2$ est non nul. Pour chaque valeur admissible de $x$ , la fraction et $x+3$ donnent le même résultat. La restriction fait partie du résultat simplifié, même si la nouvelle formule ne contient plus de dénominateur visible.

Exemple expliqué

$\begin{aligned}f(x)&=\frac{x^2+x-6}{x-2}\\&=\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}\\&=x+3,\qquad x\ne2.\end{aligned}$ $f(3)=6$ . $f$ n’est pas définie en 2 : le dénominateur initial est nul.

À éviter. On peut simplifier par des facteurs communs, pas par des termes d’une somme. Dans $\frac{x+3}{x}$ , il n’y a pas de facteur $x$ commun au numérateur et au dénominateur. Pour $x\ne0$ , cette expression vaut $1+\frac{3}{x}$ , et non 3.

À vous d’essayer

Soit $p(x)=\frac{x^2-9}{x+3}$ . Simplifiez en conservant la restriction, puis déterminez $p(-3)$ .

Voir la réponse et le raisonnement

Factorisez $x^2-9$ en $(x-3)(x+3)$ . Après simplification, $p(x)=x-3$ , avec $x\ne-3$ . La fonction $p$ n’est donc toujours pas définie en $-3$ . La formule simplifiée ne rétablit pas une valeur de $x$ exclue par le dénominateur initial.

2. Une limite décrit les valeurs voisines

Reprenons $f(x)=\frac{x^2+x-6}{x-2}$ . Même si $f$ n’est pas définie en 2, $f(x)$ vaut $x+3$ pour tout $x\ne2$ . Lorsque $x$ s’approche de 2 par la gauche ou par la droite, ces valeurs s’approchent de 5. La limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 2 est donc 5. Quelques valeurs numériques illustrent cette approche; c’est l’égalité avec $x+3$ pour toutes les valeurs admissibles voisines qui explique la limite. Une limite peut exister même si la fonction n’a aucune valeur au point considéré.

Exemple expliqué

Pour $x=1.9$ et $x=1.99$ , les valeurs de la fonction sont $4.9$ et $4.99$ . Pour $x=2.01$ et $x=2.1$ , elles sont $5.01$ et $5.1$ . En $x=2$ , la fonction n’est pas définie. $\lim_{x\to2}f(x)=5.$ Cela ne signifie pas que $f(2)=5$ .

À éviter. Une substitution directe qui donne $\frac{0}{0}$ ne détermine pas la limite. Cette expression ne vaut pas zéro. Ici, la factorisation révèle le comportement de la fonction près de la valeur exclue.

À vous d’essayer

Soit $q(x)=\frac{x^2-4}{x^2-x-2}$ . Quelles restrictions restent après simplification, et quelle est la limite lorsque $x$ tend vers 2?

Voir la réponse et le raisonnement

Le dénominateur se factorise en $(x-2)(x+1)$ ; il faut donc exclure 2 et $-1$ . En factorisant le numérateur et en simplifiant, on obtient $\frac{x+2}{x+1}$ , toujours avec les deux restrictions. Lorsque $x$ tend vers 2, cette expression tend vers $\frac{4}{3}$ . La simplification n’a pas rétabli la valeur exclue 2.

3. Combler le trou définit un prolongement

Le graphique de $f$ est la droite $y=x+3$ avec un point manquant en $(2,5)$ . Il s’agit d’une discontinuité amovible : nous pourrions définir une nouvelle fonction qui comble ce trou. Ce prolongement serait égal à $f$ partout où $f$ est définie, tout en lui attribuant aussi une valeur en 2. Pour que le prolongement soit continu en ce point, cette valeur doit être égale à la limite. Lui attribuer une autre valeur laisserait un écart entre le point et le graphique voisin.

Exemple expliqué

Fonction initiale : $f(x)=x+3$ pour $x\ne2$ ; aucune valeur en 2. Prolongement continu : $r(x)=x+3$ pour tout nombre réel $x$ , avec $r(2)=5$ .

À vous d’essayer

Définissons $r(x)=x+3$ pour $x\ne2$ et $r(2)=c$ . Si $c=0$ , quelles sont la valeur $r(2)$ et la limite en 2? Quelle valeur de $c$ rend $r$ continue en ce point?

Voir la réponse et le raisonnement

Si $c=0$ , la valeur de la fonction est 0, mais la limite est 5. Changer une seule valeur ne modifie pas les valeurs voisines. La continuité exige que la valeur soit égale à la limite; il faut donc choisir $c=5$ .

Votre prochaine séance de révision

Au prochain problème sur une fonction rationnelle, notez d’abord les restrictions initiales. Distinguez ensuite trois questions : quelle est la formule simplifiée? Quelle est la valeur au point considéré? Quelle est la limite près de ce point?
Gardez une courte liste de vos erreurs de domaine. Lorsque vous corrigez un exercice, indiquez à quelle étape une restriction a été oubliée et réécrivez le résultat avec toutes ses restrictions.

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Ces sources permettent de situer les notions. Les exercices de ce guide sont originaux et les cours ne sont pas présentés comme équivalents.

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