Tracer une fonction rationnelle en respectant les coupures du domaine

Avant de commencer

Vous devriez savoir factoriser un trinôme, calculer des limites unilatérales et utiliser les règles de la chaîne et du quotient. Au besoin, reprenez le guide sur les domaines et les limites ou le diagnostic des règles de dérivation. Pour un exemple polynomial qui distingue croissance et concavité, consultez la leçon de calcul différentiel d’André-Grasset.

Cette leçon ajoute une difficulté absente de ces exemples polynomiaux : la courbe comporte des branches séparées, car certaines entrées sont exclues. Suivez le plan actuel de votre section pour déterminer quand intégrer l’étude de courbes à votre révision.

Notation : toutes les entrées, sorties et coordonnées sont réelles et sans unité. $x$ est l’entrée horizontale et $y=f(x)$ la sortie verticale. Une prime désigne une dérivation par rapport à $x$. Le symbole $\mathbb R$ désigne les nombres réels; $\cup$ réunit des ensembles ou des intervalles. Un intervalle ouvert exclut ses extrémités. L’infini indique une direction dans une limite; ce n’est pas une entrée à remplacer dans la formule.

Donner un rôle à chaque information

1. Le domaine indique où des points peuvent exister. Marquez ses coupures avant tout tableau de signes.
2. La fonction et ses limites donnent les hauteurs, les intersections avec les axes et le comportement près des entrées exclues ou aux extrémités de la courbe. Une entrée exclue ne suffit pas à prouver une asymptote verticale; vérifiez les limites.
3. La dérivée première donne la pente de la tangente. Son signe positif indique une croissance; son signe négatif, une décroissance sur l’intervalle étudié.
4. La dérivée seconde décrit la variation de cette pente. Un signe positif indique une concavité vers le haut; un signe négatif, vers le bas.
5. Le domaine complet compte pour une conclusion globale. Un maximum local compare seulement les points voisins. Un maximum global doit être au moins aussi haut que chaque point du domaine.

Pour ces fonctions rationnelles, séparez les tableaux à chaque entrée exclue et à chaque zéro de la dérivée étudiée. Dans chacun des intervalles obtenus, les expressions factorisées gardent leurs signes. Confirmez-les avec une entrée test par intervalle; ne prolongez pas une conclusion à travers une entrée exclue.

Exemple résolu : trois branches pour une formule

Pour $f(x)=\dfrac1{x^2-1}$, trouvez le domaine, les intersections avec les axes, les asymptotes, les intervalles de croissance et de décroissance, les extrema locaux et globaux, ainsi que la concavité. Y a-t-il des points d’inflexion? Justifiez le tracé à partir de ces informations.

1. Marquer les entrées permises et les vrais points

Le dénominateur se factorise en $(x-1)(x+1)$; il s’annule donc en −1 et en 1. Ces deux valeurs sont exclues du domaine :

Il s’agit de trois intervalles séparés. Aucun facteur du numérateur ne peut se simplifier. Le numérateur vaut toujours 1 : $f$ n’a donc aucun zéro et ne coupe pas l’axe des x. L’entrée 0 est permise et donne $f(0)=-1$; l’intersection avec l’axe des y est $(0,-1)$. Comme $f(-x)=f(x)$, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des y.

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Équivalent textuel : le domaine exclut −1 et 1. L’entrée 0 est permise et donne le point (0, −1). Aucun morceau de la courbe ne relie les branches à travers une entrée exclue.

2. Placer chaque branche à l’aide des limites

À l’extérieur des deux coupures, $x^2-1>0$, donc $f(x)>0$. Entre les coupures, $x^2-1<0$, donc $f(x)<0$. Lorsque le dénominateur tend vers zéro, son signe détermine vers quel infini la sortie tend :

• En s’approchant de −1 par la gauche : $x^2-1\to0^+$, donc $f(x)\to+\infty$.
• En s’approchant de −1 par la droite : $x^2-1\to0^-$, donc $f(x)\to-\infty$.
• En s’approchant de 1 par la gauche : $x^2-1\to0^-$, donc $f(x)\to-\infty$.
• En s’approchant de 1 par la droite : $x^2-1\to0^+$, donc $f(x)\to+\infty$.

Ainsi, $x=-1$ et $x=1$ sont des asymptotes verticales. Aux deux extrémités, le dénominateur devient arbitrairement grand tout en restant positif :

Les deux branches extérieures s’approchent de l’asymptote horizontale $y=0$ par le haut. La courbe n’atteint jamais la hauteur 0, car son numérateur ne s’annule pas. N’en faites pas une règle générale : d’autres fonctions peuvent croiser leur asymptote horizontale.

3. Trouver où la courbe monte et descend

Écrivons $f(x)=(x^2-1)^{-1}$. La règle de la chaîne donne

Sur le domaine, le dénominateur au carré est strictement positif. Le signe de $f'$ est donc celui de $-x$ : positif si $x<0$, nul en 0 et négatif si $x>0$. Conservez les coupures du domaine dans les intervalles :

• La fonction est croissante sur $]-\infty,-1[$ et sur $]-1,0[$.
• Elle est décroissante sur $]0,1[$ et sur $]1,+\infty[$.

En 0, le signe passe de positif à négatif. Le point $(0,-1)$ est donc un maximum local; c’est aussi le point le plus haut de la branche centrale. Ce n’est pas un maximum global : les branches extérieures positives montent sans borne près des asymptotes. La branche centrale descend sans borne près de chaque coupure. Ainsi, $f$ n’a ni maximum global ni minimum global. Elle n’a pas non plus de minimum local.

Les entrées exclues ±1 ne sont ni des points stationnaires ni des nombres critiques de $f$ : un nombre critique doit appartenir au domaine de la fonction. En 0, $f'(0)=0$ décrit une tangente horizontale; cela ne veut pas dire que la hauteur de la fonction est nulle.

4. Vérifier la concavité sans inventer de points

Dérivons $-2x(x^2-1)^{-2}$ avec les règles du produit et de la chaîne :

Le numérateur est toujours positif. Le dénominateur au cube garde le signe de $x^2-1$. La courbe est donc concave vers le haut sur $]-\infty,-1[$ et $]1,+\infty[$, et concave vers le bas sur $]-1,1[$.

La concavité diffère de part et d’autre de ±1, mais aucun point de la courbe n’existe à ces entrées. Il ne peut donc pas s’agir de points d’inflexion. La dérivée seconde ne s’annule nulle part dans le domaine : il n’y a aucun autre candidat. Cette courbe n’a aucun point d’inflexion. En 0, $f''(0)=-2$, ce qui concorde avec un maximum local dans une portion concave vers le bas.

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Équivalent textuel : si x<−1, f′ et f″ sont positives; si −1<x<0, f′ est positive et f″ négative; si 0<x<1, les deux sont négatives; si x>1, f′ est négative et f″ positive. En x=0, f′=0 et f″=−2. Les deux dérivées sont non définies aux entrées exclues ±1.

5. Assembler et vérifier le tracé

Tracez d’abord les asymptotes, puis le point $(0,-1)$. Dessinez une branche par intervalle du domaine. La branche de gauche monte d’une hauteur proche de 0 vers $+\infty$; la branche centrale monte de $-\infty$ à son maximum local, puis redescend vers $-\infty$; la branche de droite descend de $+\infty$ vers 0. Respectez la concavité donnée par la dérivée seconde pour chaque branche.

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Équivalent textuel : sur l’intervalle de gauche, la courbe monte d’une hauteur limite de 0 vers l’infini positif. Sur l’intervalle central, elle monte de l’infini négatif à (0, −1), puis redescend vers l’infini négatif. Sur l’intervalle de droite, elle descend de l’infini positif vers une hauteur limite de 0. Les branches extérieures sont concaves vers le haut; la branche centrale est concave vers le bas.

Dernières vérifications : la courbe est symétrique par rapport à l’axe des y; les points extérieurs sont tous au-dessus de 0; les points centraux ont une hauteur au plus égale à −1; aucun point n’existe en x=±1. L’ensemble image est $]-\infty,-1]\,\cup\,]0,+\infty[$, ce qui confirme l’absence de plus grande ou de plus petite valeur globale.

Corriger deux erreurs plausibles

« La concavité change en ±1, donc ce sont des points d’inflexion. » Demandez d’abord les coordonnées de chacun des points proposés. $f(-1)$ et $f(1)$ n’existent pas. Gardez dans votre description les différences de concavité de part et d’autre des coupures, mais retirez les points annoncés. Ne tracez jamais de segment à travers une coupure.

« La dérivée passe de + à − en 0, donc −1 est le maximum global. » Ce test établit un maximum local. L’entrée permise 2 donne déjà $f(2)=1/3>-1$, ce qui réfute la conclusion globale. La limite $f(x)\to+\infty$ lorsque $x\to1^+$ établit qu’aucun maximum global n’existe ailleurs non plus.

À vous : supprimer les coupures du domaine

Changez le dénominateur et considérez $g(x)=\dfrac1{x^2+1}$. Avant de calculer, prédisez s’il existe des entrées exclues, si la courbe se trouve au-dessus ou au-dessous de l’axe des x et si les parties extérieures peuvent encore monter sans borne.

En gardant la réponse fermée, trouvez le domaine, les intersections avec les axes, la symétrie, les asymptotes, les intervalles de croissance et de décroissance, les extrema et la concavité. Situez les éventuels points d’inflexion et faites un croquis. L’asymptote horizontale donne-t-elle un minimum global?

Vérifier la solution complète

Domaine, points et limites

Comme $x^2+1\ge1$, le domaine est $\mathbb R$ au complet. La courbe est positive et continue partout, symétrique par rapport à l’axe des y, avec une intersection $(0,1)$ sur l’axe des y et aucune sur l’axe des x. Il n’y a pas d’asymptote verticale. Lorsque $x\to\pm\infty$, $g(x)\to0$ par le haut : $y=0$ reste une asymptote horizontale.

Dérivée première et extrema

$$g'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}.$$

Le dénominateur est positif partout. La courbe monte sur $]-\infty,0[$ et descend sur $]0,+\infty[$. Le point $(0,1)$ est un maximum local et un maximum global : $0\lt g(x)\le1$ pour tout x réel, et seule l’entrée x=0 atteint la borne supérieure. Il n’y a ni minimum local ni minimum global. Même si 0 est la borne inférieure, ou infimum, la fonction ne l’atteint jamais. L’ensemble image est $]0,1]$.

Dérivée seconde et points d’inflexion

$$\begin{aligned}g''(x)&=-2(x^2+1)^{-2}+8x^2(x^2+1)^{-3}\\&=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}.\end{aligned}$$

Le dénominateur est toujours positif. Le numérateur est nul en $x=\pm1/\sqrt3$, positif à l’extérieur de ces deux entrées et négatif entre elles. Ainsi, g est concave vers le haut sur $]-\infty,-1/\sqrt3[$ et $]1/\sqrt3,+\infty[$, et concave vers le bas sur $]-1/\sqrt3,1/\sqrt3[$.

Cette fois, les deux candidats appartiennent au domaine et g y est continue. Les changements de signe établissent deux points d’inflexion :

$$\left(-\frac1{\sqrt3},\frac34\right),\qquad\left(\frac1{\sqrt3},\frac34\right).$$

Les coupures des tableaux ont des raisons différentes : 0 est un zéro de g′, tandis que ±1/√3 sont des zéros de g″. Aucune de ces entrées n’est exclue du domaine.

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Équivalent textuel : g monte d’une hauteur limite de 0 jusqu’au maximum global (0, 1), puis redescend vers 0. Elle est concave vers le haut à l’extérieur des entrées x=±1/√3, et vers le bas entre elles. Chaque point d’inflexion a une hauteur de 3/4.

Comparer votre prédiction

La borne inférieure 1 du dénominateur empêche toute divergence infinie. Remplacer −1 par +1 supprime les deux asymptotes verticales, rend la sortie positive partout, transforme le maximum central en maximum global et introduit deux vrais points d’inflexion.

Vérification rapide : peut-on croiser une asymptote horizontale?

Soit $h(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$, de domaine $\mathbb R$. On vous donne $h'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$. Trouvez l’asymptote horizontale et déterminez si la courbe la croise. Situez les extrema à l’aide des signes de la dérivée, puis justifiez leur caractère global ou non. Aucun tableau de dérivée seconde n’est demandé ici.

Reprendre la première étape sans justification

Si vous avez traversé une coupure, redessinez seulement le domaine et les limites unilatérales. Si vous avez confondu croissance et concavité, écrivez une phrase sur le signe de f′ et une autre sur f″. Si vous avez annoncé à tort un extremum global, comparez le point à toutes les branches et aux limites. Refermez ensuite les solutions et reprenez la question dont le dénominateur a changé.

Étudier votre tracé avec un tuteur

Apportez une question de pratique que vous avez le droit de partager, votre croquis et la première étape que vous ne pouviez pas expliquer. Un tuteur peut vous aider à conserver les entrées exclues dans les deux tableaux, à justifier le sens de chaque branche et à distinguer les extrema locaux des extrema globaux. Utilisez la page existante de tutorat en calcul différentiel pour demander de l’aide sur ce sujet; transmettez votre plan de cours afin que le niveau, les notions et la disponibilité puissent être confirmés avant la réservation.