Tutorat 201-015-RE à Dawson : maths de 5e secondaire

Le dénominateur initial impose $x\ne3$. Factorisez le numérateur : $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Pour les valeurs permises, l’équation devient $x+3=6$, ce qui donne le candidat $x=3$. Or cette valeur rend l’expression initiale indéfinie. L’équation n’a donc aucune solution. La simplification conserve la règle sur son domaine; elle ne réintègre pas une valeur exclue.

Le carré s’annule à $x=-2$; le sommet est donc $(-2,18)$. Comme $(x+2)^2\ge0$, sa multiplication par −2 donne un terme non positif : $q(x)\le18$. La parabole s’ouvre vers le bas et sa valeur maximale est 18. Pour les intersections, posez la valeur de la fonction égale à zéro : $(x+2)^2=9$, donc $x+2=\pm3$, puis $x=-5$ ou $x=1$. Les points $(-5,0)$ et $(1,0)$ sont à égale distance de l’axe $x=-2$.

Sur le domaine indiqué, $x+1\ge0$, et l’image est $[0,\infty)$. À partir de $y=(x+1)^2$, prenez la racine carrée non négative : $x=\sqrt y-1$. Ainsi, $f^{-1}(x)=\sqrt x-1$, de domaine $[0,\infty)$ et d’image $[-1,\infty)$. En particulier, $f^{-1}(9)=2$, et $f(2)=9$. Sans la restriction, des valeurs distinctes comme 0 et −2 ont la même image; la fonction quadratique complète n’admettrait donc pas de fonction réciproque. La réciproque inverse le parcours de la règle; elle n’est pas $1/f(x)$.

Les deux arguments des logarithmes doivent être positifs : $x-1\gt0$ et $x+1\gt0$, donc $x\gt1$. Sur ce domaine, la somme vaut $\log_2((x-1)(x+1))$. Passez à la forme exponentielle : $x^2-1=2^3=8$. Les candidats algébriques sont $x=\pm3$; seul $x=3$ appartient au domaine initial. Vérification : $\log_2 2+\log_2 4=1+2=3$. À −3, les logarithmes initiaux ne sont pas définis dans les réels.

Le théorème de Pythagore donne le côté adjacent : $\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$ cm; on retient la racine positive pour une longueur. Le côté opposé et l’hypoténuse connus donnent $\sin\theta=7/25$, donc $\theta=\arcsin(7/25)\approx16{,}3^\circ$. Utilisez le mode degrés. On peut vérifier avec $\tan\theta=7/24$. L’angle est aigu, et le côté le plus court est opposé au plus petit angle aigu. Utiliser $7/24$ comme rapport pour le sinus confondrait le côté adjacent avec l’hypoténuse.