Cercle trigonométrique et graphiques

Du triangle rectangle au tour complet

Vous connaissez déjà le sinus et le cosinus comme rapports de longueurs dans un triangle rectangle. Nous les étendons ici à toute rotation, y compris aux angles négatifs et à plusieurs tours. Revoyez les longueurs et les angles d’un triangle rectangle si le choix des côtés opposé et adjacent reste difficile.

Il faut connaître les fractions, les racines carrées, les coordonnées et les équations simples. Prévoyez environ 45 minutes pour la leçon et un premier passage des exercices. Cette préparation ciblée ne prétend pas couvrir un cours complet. Les angles sont en radians, sauf si le symbole des degrés apparaît. Réglez votre calculatrice en mode radians.

La lettre grecque $\theta$ désigne un angle. Un point $(x,y)$ possède une coordonnée horizontale $x$ et une coordonnée verticale $y$. Une rotation positive part de l’axe horizontal positif dans le sens antihoraire; une rotation négative est horaire. La variable horizontale de chaque graphique sera précisée : un angle et un temps sont des grandeurs différentes.

1. Les radians : longueur d’arc divisée par le rayon

Sur un cercle de rayon $r>0$, un arc de longueur $s$ correspond à un angle de valeur absolue $|\theta|=s/r$. Utilisez les mêmes unités de longueur. Le signe dépend du sens de rotation; une longueur d’arc ordinaire est positive ou nulle. La circonférence vaut $2\pi r$ : un tour positif mesure donc $2\pi$ radians, ou $360^\circ$. Ainsi, $180^\circ=\pi$ radians.

$$\text{radians}=\text{degrés}\times\frac{\pi}{180},\qquad \text{degrés}=\text{radians}\times\frac{180}{\pi}.$$

Exemple résolu 1 : conserver le sens

Une roue de rayon 4 cm tourne dans le sens horaire sur une longueur d’arc de 6 cm. Trouvez l’angle signé.

$$|\theta|=\frac{6}{4}=\frac32,\qquad\theta=-\frac32\text{ rad}.$$

Cela représente environ $-85{,}9^\circ$. Les unités de longueur s’annulent; « rad » précise la convention angulaire. L’angle n’est pas de $-6$ radians : le rayon compte. Ajouter un tour complet donne la même direction finale, $-3/2+2\pi$, mais décrit une rotation différente.

2. Coordonnées, signes et valeurs exactes

Le cercle trigonométrique est centré à l’origine et de rayon 1. À l’angle $\theta$, on définit

$$P=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$

Dans le premier quadrant, une perpendiculaire forme un triangle rectangle d’hypoténuse 1 : ces définitions retrouvent les rapports de côtés. Dans les autres quadrants, les coordonnées portent un signe; les longueurs des côtés n’en portent pas. Dans les quadrants I, II, III et IV, les signes de $(\cos\theta,\sin\theta)$ sont respectivement $(+,+),(-,+),(-,-),(+,-)$. Les points sur les axes sont aux frontières des quadrants.

Pour un point qui n’est pas sur un axe, l’angle de référence $\alpha$ est l’angle aigu avec le demi-axe horizontal le plus proche. En un tour positif, les quatre positions associées à $\alpha$ sont $\alpha,\pi-\alpha,\pi+\alpha,2\pi-\alpha$. Le quadrant détermine les signes.

Un triangle 45°–45°–90° donne $\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\sqrt2/2$. Partager un triangle équilatéral en deux donne $\sin(\pi/6)=1/2$, $\cos(\pi/6)=\sqrt3/2$; ces valeurs s’échangent à $\pi/3$.

• $\theta=0:\ (\cos\theta,\sin\theta)=(1,0)$
• $\theta=\pi/6:\ (\sqrt3/2,1/2)$
• $\theta=\pi/4:\ (\sqrt2/2,\sqrt2/2)$
• $\theta=\pi/3:\ (1/2,\sqrt3/2)$
• $\theta=\pi/2:\ (0,1)$

Exemple résolu 2 : réduire, situer, puis attribuer les signes

Trouvez exactement $\cos(11\pi/6)$ et $\sin(11\pi/6)$. L’angle se trouve dans le quadrant IV; l’angle de référence est $2\pi-11\pi/6=\pi/6$. Donc

$$\cos(11\pi/6)=\frac{\sqrt3}{2},\qquad\sin(11\pi/6)=-\frac12.$$

Vérification : $3/4+1/4=1$. L’angle coterminal $-\pi/6$ rejoint le même point. Sur les axes, lisez directement les coordonnées : $\pi$ donne $(-1,0)$, $3\pi/2$ donne $(0,-1)$ et $2\pi$ ramène à $(1,0)$. Aussi, $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$ seulement si $\cos\theta\ne0$; la tangente n’est pas définie en $\pi/2+k\pi$, pour tout entier $k$.

3. Décrire des directions et additionner des déplacements

Un vecteur déplacement décrit un changement de position par une norme et une direction. Ses composantes horizontale et verticale signées décrivent ce même changement selon deux axes perpendiculaires.

Exemple résolu 3 : un vecteur déplacement

Un robot parcourt 8 m en ligne droite à l’angle $2\pi/3$, mesuré dans le sens antihoraire à partir de l’est. L’est est le sens horizontal positif et le nord, le sens vertical positif. Multiplier les coordonnées du cercle trigonométrique par la longueur donne

$$d_x=8\cos(2\pi/3)=-4\text{ m},\qquad d_y=8\sin(2\pi/3)=4\sqrt3\text{ m}.$$

Le déplacement correspond à 4 m vers l’ouest et à $4\sqrt3$ m vers le nord. Ce sont des composantes signées, pas deux trajets supplémentaires. Vérifiez la longueur : $\sqrt{(-4)^2+(4\sqrt3)^2}=8$ m. Cette méthode décrit une direction sans introduire de modèle de forces.

Ajouter un deuxième déplacement dans les mêmes axes

Notons ce premier déplacement $\mathbf a=(-4,4\sqrt3)\text{ m}$. Le robot parcourt ensuite 8 m vers l’est : son deuxième déplacement est $\mathbf b=(8,0)\text{ m}$. Gardez l’est et le nord comme sens positifs pour les deux vecteurs. Tracez la deuxième flèche à partir de la pointe de la première. La résultante $\mathbf R=\mathbf a+\mathbf b$ relie le point de départ initial à la position finale.

Additionnez les composantes horizontales entre elles, puis les composantes verticales entre elles, en conservant leurs signes :

$$\begin{aligned}R_x&=-4+8=4\text{ m},\\R_y&=4\sqrt3+0=4\sqrt3\text{ m}.\end{aligned}$$

Ainsi, $\mathbf R=(4,4\sqrt3)\text{ m}$ : le déplacement total est de 4 m vers l’est et de $4\sqrt3$ m vers le nord.

Retrouver la norme et la direction

Les composantes horizontale et verticale de la résultante sont perpendiculaires. Pythagore donne donc sa norme $R$ :

$$\begin{aligned}R&=\sqrt{4^2+(4\sqrt3)^2}\\&=\sqrt{64}=8\text{ m}.\end{aligned}$$

Les deux composantes sont positives : la résultante est dans le quadrant I. En divisant ses composantes par sa norme, on obtient

$$\begin{aligned}\cos\theta&=4/8=1/2,\\\sin\theta&=4\sqrt3/8=\sqrt3/2.\end{aligned}$$

Donc $\theta=\pi/3=60^\circ$, mesuré dans le sens antihoraire à partir de l’est, soit 60° au nord de l’est. Le robot a parcouru $8+8=16\text{ m}$, tandis que son déplacement entre le départ et l’arrivée a une norme de 8 m. N’utilisez pas $\sqrt{8^2+8^2}$ pour les deux déplacements parcourus : ils ne sont pas perpendiculaires. Additionnez d’abord leurs composantes signées, puis utilisez le triangle rectangle de la résultante.

Votre tuteur peut vous aider à choisir les axes, tracer les flèches, expliquer une composante négative et travailler un trajet modifié avec vous. Essayez l’exercice 11 avec un deuxième déplacement plus court.

Pour appliquer les composantes aux forces, trouvez une force résultante et l’accélération qu’elle produit.

4. Tracer sinus et cosinus à partir d’un point tournant

Faites augmenter l’angle régulièrement. Tracer la hauteur du point en fonction de l’angle donne $y=\sin\theta$; tracer sa coordonnée horizontale en fonction de l’angle donne $y=\cos\theta$. Sur ces graphiques, l’axe horizontal représente l’angle en radians, et non la position horizontale du point.

Les deux graphiques se répètent après $2\pi$. Le sinus commence à 0 et augmente d’abord; le cosinus commence à 1. Leur image est $[-1,1]$. Des rotations opposées conservent la coordonnée horizontale et inversent la verticale : $\cos(-\theta)=\cos\theta$ et $\sin(-\theta)=-\sin\theta$. Ces identités vérifient aussi les signes aux angles négatifs.

5. Amplitude, période et décalage horizontal

Pour un modèle sinusoïdal

$$y(t)=D+A\cos\bigl(B(t-C)\bigr),$$

supposons $A\ne0$ et $B>0$. Les mêmes caractéristiques s’appliquent avec un sinus.

• $D$ est la ligne médiane; l’amplitude vaut $|A|$, la valeur absolue de $A$, soit sa distance à zéro. Elle est toujours positive ou nulle.
• L’image est $[D-|A|,D+|A|]$. Un $A$ négatif réfléchit le graphique par rapport à sa ligne médiane.
• La période vaut $T=2\pi/B$, car l’angle doit augmenter de $2\pi$.
• $C$ est le décalage horizontal : positif vers la droite, négatif vers la gauche. Factorisez le coefficient de $t$ avant de le lire.

Si $t$ est en secondes, $B$ est en radians par seconde, $C$ et $T$ en secondes; $A,D,y$ ont la même unité de sortie. Si l’entrée est un angle $\theta$, la période et le décalage décrivent plutôt des variations d’angle. Si $A=0$ ou $B=0$, le modèle est constant et n’a pas de plus petite période positive; la description usuelle d’une sinusoïde non constante ne s’applique pas.

Exemple résolu 4 : interpréter une hauteur périodique

La hauteur d’un repère idéal, en centimètres, suit le modèle

$$h(t)=7+3\cos\left(\frac{\pi}{2}(t-1)\right),$$

où $t$ est la valeur numérique du temps en secondes. La ligne médiane est 7 cm, l’amplitude 3 cm, l’image $[4,10]$ cm, la période $2\pi/(\pi/2)=4$ s et le décalage 1 s vers la droite. À $t=1$, l’angle est nul : $h(1)=10$ cm, un maximum. À $t=3$, l’angle vaut $\pi$ : $h(3)=4$ cm, un minimum. Développer l’angle donne $(\pi/2)t-\pi/2$; le décalage reste 1 s, et non $\pi/2$ s.

Ce modèle idéal se répète sans amortissement. Le mouvement d’un point d’une onde sinusoïdale utilise la même idée graphique. Dans les ondes dans l’espace et le temps, distinguez cette période en secondes d’une longueur d’onde mesurée sur un axe spatial; nous ne modélisons pas ici l’onde progressive elle-même.

6. Trouver toutes les solutions dans l’intervalle donné

Une fonction trigonométrique réciproque renvoie un angle principal, pas automatiquement toutes les solutions. En radians, $\arcsin u$ donne une valeur dans $[-\pi/2,\pi/2]$, $\arccos u$ dans $[0,\pi]$ et $\arctan u$ dans $(-\pi/2,\pi/2)$. L’arcsinus et l’arccosinus réels exigent $-1\le u\le1$. Sur une calculatrice, $\sin^{-1}$ désigne l’arcsinus, et non l’inverse multiplicatif $1/\sin\theta$.

Exemple résolu 5 : toutes les solutions, avec les bornes

Résolvez $\sin\theta=-1/2$ pour $0\le\theta\le2\pi$. La calculatrice donne l’angle principal $\arcsin(-1/2)=-\pi/6$, hors de l’intervalle demandé. Le sinus est négatif dans les quadrants III et IV. L’angle de référence est $\pi/6$, d’où

$$\theta=\pi+\pi/6=7\pi/6\quad\text{ou}\quad\theta=2\pi-\pi/6=11\pi/6.$$

Les deux valeurs donnent bien $-1/2$. Aucune borne ne convient : $\sin0=\sin2\pi=0$. Pour tous les angles réels, ajoutez $2k\pi$ à chaque solution, où $k$ est un entier; conservez ensuite seulement les valeurs de l’intervalle demandé.

Vérification des bornes : $\cos\theta=1$ sur $[0,2\pi]$ possède deux valeurs d’angle, 0 et $2\pi$, même si elles correspondent au même point du cercle. Sur $[0,2\pi)$, excluez $2\pi$. Aux extrema, ne comptez pas deux fois le même angle : $\sin\theta=1$ donne seulement $\pi/2$ en un tour. Une équation comme $\sin\theta=1{,}2$ n’a aucune solution réelle.

Pour un graphique transformé, isolez d’abord le sinus ou le cosinus, résolvez pour son angle complet, puis retrouvez la variable initiale. Transformez aussi l’intervalle, ou vérifiez chaque valeur obtenue dans l’intervalle initial.

Huit exercices progressifs

Essayez d’abord sans ouvrir les indices. Pour chaque réponse, vérifiez le quadrant, l’unité et l’intervalle.

1. Convertissez $150^\circ$ et $-45^\circ$ en radians.

   Indice facultatif 1

   Multipliez chaque angle en degrés par $\pi/180$.

   Solution expliquée 1

   $150\pi/180=5\pi/6$, et $-45\pi/180=-\pi/4$. Le signe négatif conserve le sens horaire.

2. Un cercle a un rayon de 5 cm. Trouvez la longueur d’arc associée à l’angle antihoraire $3\pi/5$.

   Indice facultatif 2

   Utilisez $s=r|\theta|$, avec l’angle en radians.

   Solution expliquée 2

   $s=5(3\pi/5)=3\pi$ cm. C’est une longueur d’arc, pas une corde. Elle est positive, comme toute longueur non nulle.

3. Trouvez les coordonnées sur le cercle trigonométrique à $5\pi/4$.

   Indice facultatif 3

   Repérez le quadrant et soustrayez $\pi$ pour obtenir l’angle de référence.

   Solution expliquée 3

   L’angle de référence est $\pi/4$, dans le quadrant III. Les deux coordonnées sont négatives : $(\cos(5\pi/4),\sin(5\pi/4))=(-\sqrt2/2,-\sqrt2/2)$. La somme de leurs carrés vaut 1.

4. Trouvez $\sin(-\pi/3)$, $\cos(-\pi/3)$ et dites si $\tan(3\pi/2)$ existe.

   Indice facultatif 4

   Réfléchissez le point de l’angle positif par rapport à l’axe horizontal; la tangente exige un cosinus non nul.

   Solution expliquée 4

   $\sin(-\pi/3)=-\sqrt3/2$ et $\cos(-\pi/3)=1/2$. À $3\pi/2$, le point est $(0,-1)$; la tangente demanderait une division par zéro et n’est donc pas définie.

5. Un point du cercle tourne de $0$ à $\pi$. Donnez les valeurs du sinus et du cosinus à $0,\pi/2,\pi$, puis indiquez quel graphique décroît pendant tout ce demi-tour.

   Indice facultatif 5

   Lisez les coordonnées des points à droite, en haut et à gauche.

   Solution expliquée 5

   Le sinus vaut successivement $0,1,0$; le cosinus vaut $1,0,-1$. Le cosinus décroît pendant tout le demi-tour. Le sinus augmente, puis diminue : observer seulement les valeurs aux extrémités ferait manquer son maximum.

6. Pour $y(t)=2-4\sin(\pi(t+1))$, avec $t$ en secondes et $y$ en centimètres, trouvez amplitude, ligne médiane, période, décalage et image.

   Indice facultatif 6

   Écrivez $t+1=t-(-1)$. L’amplitude utilise une valeur absolue.

   Solution expliquée 6

   Amplitude : 4 cm; ligne médiane : 2 cm; période : $2\pi/\pi=2$ s; décalage : 1 s vers la gauche; image : $[-2,6]$ cm. Le coefficient −4 réfléchit la courbe par rapport à la ligne médiane; l’amplitude reste positive.

7. Résolvez $\cos\theta=-\sqrt2/2$ sur $[0,2\pi)$. Comparez avec la valeur principale de l’arccosinus.

   Indice facultatif 7

   Le cosinus est négatif dans les quadrants II et III.

   Solution expliquée 7

   L’angle de référence est $\pi/4$, d’où $\theta=3\pi/4,5\pi/4$. La valeur principale $\arccos(-\sqrt2/2)=3\pi/4$ fournit seulement la première. Aucune borne n’a un cosinus de $-\sqrt2/2$.

8. Résolvez $\sin\theta=0$ sur $[-\pi,\pi]$, puis sur $[-\pi,\pi)$.

   Indice facultatif 8

   Les zéros du sinus sont les multiples entiers de $\pi$; observez les crochets.

   Solution expliquée 8

   L’intervalle fermé comprend $-\pi,0,\pi$. L’intervalle semi-ouvert comprend seulement $-\pi,0$. Même si $-\pi$ et $\pi$ rejoignent le même point, ce sont deux valeurs d’angle distinctes, à conserver chacune lorsque la borne correspondante est incluse.

Trois exercices de transfert et de reprise

9. Un déplacement de 12 m a une composante horizontale de $-6\sqrt3$ m et une composante verticale de $-6$ m. Trouvez sa direction $\theta$ dans $[0,2\pi)$, mesurée dans le sens antihoraire à partir du demi-axe horizontal positif.

   Indice facultatif 9

   Divisez chaque composante par 12; trouvez l’angle de référence, puis le quadrant.

   Solution expliquée 9

   $\cos\theta=-\sqrt3/2$, $\sin\theta=-1/2$. Les deux sont négatifs : la direction est dans le quadrant III, avec un angle de référence de $\pi/6$. Donc $\theta=7\pi/6$, soit $210^\circ$. Utiliser seulement $\arctan(d_y/d_x)=\pi/6$ ferait perdre le quadrant. Vérification de la longueur : $\sqrt{108+36}=12$ m.

10. Pour le modèle $h(t)=7+3\cos((\pi/2)(t-1))$, trouvez tous les instants où $h=7$ cm, pour $0\le t\le8$ s.

    Indice facultatif 10

    Isolez le cosinus. Ses zéros sont $\pi/2+k\pi$. Retrouvez $t$ avant de filtrer l’intervalle.

    Solution expliquée 10

    $h=7$ donne $\cos((\pi/2)(t-1))=0$. Donc $(\pi/2)(t-1)=\pi/2+k\pi$, d’où $t=2+2k$ secondes. Les entiers permis $k=-1,0,1,2,3$ donnent $t=0,2,4,6,8$ s. Les deux bornes comptent. Par substitution, le cosinus est nul à chacun de ces instants. La hauteur traverse la ligne médiane deux fois par période de 4 s; chaque borne commune d’intervalle ne se compte qu’une fois.

11. Reprise avec une donnée modifiée : gardez le premier déplacement de 8 m du robot à $2\pi/3$ de l’est, mais remplacez le deuxième par 4 m vers l’est. Trouvez les composantes signées, la norme et la direction de la résultante dans $[0,2\pi)$. Calculez aussi la distance totale parcourue.

    Indice facultatif 11

    Gardez les mêmes axes. Additionnez $(-4,4\sqrt3)\text{ m}$ et $(4,0)\text{ m}$. Si les composantes horizontales s’annulent, lisez directement la direction sur l’axe restant.

    Solution expliquée 11

    $$\begin{aligned}R_x&=-4+4=0\text{ m},\\R_y&=4\sqrt3+0=4\sqrt3\text{ m}.\end{aligned}$$

    Ainsi, $\mathbf R=(0,4\sqrt3)\text{ m}$, de norme $R=4\sqrt3\text{ m}$. Comme $R_x=0$ et $R_y>0$, le vecteur pointe plein nord : $\theta=\pi/2=90^\circ$. Lisez le demi-axe vertical positif; $\arctan(R_y/R_x)$ ferait diviser par zéro. La distance parcourue vaut $8+4=12\text{ m}$. Le déplacement vers l’est raccourci annule la composante vers l’ouest du premier déplacement sans changer sa composante vers le nord.

Avant de continuer, expliquez pourquoi un angle principal ne suffit pas toujours, pourquoi une amplitude est positive ou nulle et pourquoi les bornes d’un intervalle peuvent changer la réponse. Si une étape reste difficile, refaites l’exercice correspondant en dessinant le cercle ou en écrivant les unités.

Approfondissement facultatif : démontrer des identités trigonométriques

Démontrer une identité plutôt que chercher un angle

Une identité affirme que deux expressions ont la même valeur pour toute entrée de leur domaine commun. Ce domaine compte : une expression dont le dénominateur est nul n’est pas définie, même si une expression simplifiée ensuite possède une valeur à cet endroit.

Résoudre une équation consiste plutôt à trouver les entrées permises qui la rendent vraie. Par exemple, $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ est vraie pour tout angle réel $\theta$. L’équation $\sin\theta = \frac12$ est vraie seulement pour certains angles. Ici, $\theta$ représente un angle réel; les intervalles sont exprimés en radians. La notation $\sin^2\theta$ signifie $(\sin\theta)^2$.

Partons de trois relations connues :

• $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, pour tout $\theta$ réel.
• $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, lorsque $\cos\theta \ne 0$.
• $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$, lorsque $\cos\theta \ne 0$.

Une méthode utile consiste à transformer un seul membre jusqu’à obtenir l’autre, à l’aide d’égalités justifiées. Indiquez d’abord les restrictions. Exprimez la tangente ou la sécante à l’aide du sinus et du cosinus. Utilisez ensuite un dénominateur commun, une factorisation ou l’identité de Pythagore. Un essai numérique peut révéler une erreur, mais ne démontre pas une affirmation pour tous les angles.

Exemple d’identité 1 : réécrire avant de simplifier

Démontrez $\tan\theta \cos\theta = \sin\theta$ sur son domaine.

Le membre de gauche impose $\cos\theta \ne 0$. Pour ces angles,

$\tan\theta \cos\theta = \left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right) \cos\theta = \sin\theta$.

Le facteur simplifié est non nul grâce à la restriction initiale. Pour $\theta = \frac{\pi}{2}$, le membre de droite vaut 1, mais le membre de gauche initial n’est pas défini. L’identité ne lui attribue donc aucune valeur à $\frac{\pi}{2}$.

Exemple d’identité 2 : utiliser un dénominateur commun

Démontrez $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$.

Les deux membres imposent $\cos\theta \ne 0$. Transformons le membre de gauche :

$$\begin{aligned}1 + \tan^2\theta&= \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\\&= \frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\\&= \frac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta\end{aligned}$$.

Le nombre 1 a été réécrit sous la forme $\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}$; il n’a pas disparu. Il s’agit d’une identité lorsque $\cos\theta \ne 0$, et non d’une équation dans laquelle on cherche $\theta$.

Exemple d’identité 3 : factoriser sans perdre le domaine initial

Simplifiez $\frac{1-\cos^2\theta}{1-\cos\theta}$, puis expliquez où le résultat est égal à $1 + \cos\theta$.

Le dénominateur initial impose $\cos\theta \ne 1$. Factorisons le numérateur :

$$\begin{aligned}\frac{1-\cos^2\theta}{1-\cos\theta}\\&= \frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{1-\cos\theta}\\&= 1 + \cos\theta\end{aligned}$$, à condition que $\cos\theta \ne 1$.

Pour $\theta = 0$, le quotient initial est de la forme $\frac00$ et n’est pas défini. L’expression simplifiée vaut 2, mais cela ne supprime pas la restriction initiale. Les valeurs sont égales sur le domaine initial; les deux formules n’ont pas le même domaine.

Quatre exercices progressifs

Consultez l’indice ou la solution dès que cela vous aide. Il n’est pas nécessaire de terminer une question avant de demander de l’aide.

12. Démontrez $\frac{1-\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta$. Précisez le domaine.

    Indice facultatif 12

    Remplacez le numérateur avant de simplifier.

    Solution expliquée 12

    Il faut $\cos\theta \ne 0$. Le numérateur vaut $\cos^2\theta$; le quotient devient donc $\frac{\cos^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta$ sur ce domaine.

13. Démontrez $\sin\theta \tan\theta + \cos\theta = \sec\theta$. Précisez le domaine et expliquez comment réunir les deux termes en une fraction.

    Indice facultatif 13

    Réécrivez la tangente, puis utilisez le dénominateur $\cos\theta$.

    Solution expliquée 13

    Il faut $\cos\theta \ne 0$. Le membre de gauche devient $\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta$. Multiplier $\cos\theta$ par $\frac{\cos\theta}{\cos\theta}$ conserve sa valeur sur le domaine permis.

14. Simplifiez $\frac{1-\sin^2\theta}{1+\sin\theta}$. L’expression initiale est-elle définie pour $\theta = \frac{3\pi}{2}$?

    Indice facultatif 14

    Factorisez la différence de carrés et conservez la restriction du dénominateur.

    Solution expliquée 14

    Il faut $\sin\theta \ne -1$. La factorisation donne $\frac{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}{1+\sin\theta} = 1 - \sin\theta$. Pour $\frac{3\pi}{2}$, le dénominateur initial est nul : l’expression initiale n’est pas définie. La valeur 2 obtenue avec la formule simplifiée n’est pas une valeur du quotient initial à cet angle.

15. Sur $0\le \theta < 2\pi$, résolvez $\tan\theta \cos\theta = \frac12$. Expliquez la différence avec l’exemple d’identité 1.

    Indice facultatif 15

    Conservez d’abord le domaine de la tangente, puis utilisez l’exemple d’identité 1.

    Solution expliquée 15

    L’équation initiale impose $\cos\theta \ne 0$. Sur ce domaine, elle devient $\sin\theta = \frac12$. Dans l’intervalle demandé, $\theta = \frac{\pi}{6}$ ou $\frac{5\pi}{6}$. Les deux angles ont un cosinus non nul et vérifient l’équation initiale. L’exemple d’identité 1 démontrait une égalité pour tout angle permis; cette équation sélectionne les angles pour lesquels la valeur commune est $\frac12$.

Un tuteur peut vous aider à repérer les angles permis, à choisir une première transformation et à expliquer pourquoi chaque étape conserve l’expression. Nous pouvons commencer par les identités de base ou une question que vous n’avez pas encore commencée.

Approfondissement facultatif : résoudre des équations trigonométriques du second degré

Parfois, l’angle inconnu apparaît dans un sinus ou un cosinus élevé au carré. Il faut alors accomplir deux tâches : résoudre une équation du second degré pour trouver la valeur trigonométrique, puis trouver tous les angles qui donnent cette valeur. Cet approfondissement ajoute environ 20 minutes, avec deux exemples résolus et quatre exercices. Utilisez les valeurs du cercle trigonométrique et la méthode de résolution sur un intervalle présentées plus haut.

Utiliser une variable temporaire, puis revenir à l’angle

Ici, $\theta$ est un angle réel en radians. La notation $\sin^2\theta$ signifie $(\sin\theta)^2$, et non $\sin(\theta^2)$. Si tous les termes utilisent le sinus, posez $u=\sin\theta$; s’ils utilisent le cosinus, posez $u=\cos\theta$. La variable temporaire $u$ est un nombre entre −1 et 1, pas un angle.

1. Obtenez zéro dans un membre. Si le sinus et le cosinus apparaissent ensemble, vérifiez d’abord si $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ permet de tout exprimer avec une seule fonction.
2. Résolvez pour $u$. Factorisez le trinôme. Un produit est nul lorsqu’au moins un facteur est nul : résolvez donc chaque équation obtenue en annulant un facteur. Si la factorisation est difficile, la formule quadratique est une autre possibilité; conservez les valeurs exactes jusqu’au calcul des angles.
3. Vérifiez les valeurs possibles. Gardez seulement les valeurs réelles de $u$ dans $[-1,1]$. Une racine algébrique comme 2 ne peut pas être le sinus ou le cosinus d’un angle réel.
4. Revenez à la fonction trigonométrique. Écrivez $\sin\theta=u$ ou $\cos\theta=u$ pour chaque valeur conservée. Utilisez les signes et les angles de référence pour trouver tous les angles permis, en ajoutant des tours complets au besoin.
5. Vérifiez l’intervalle et l’équation initiale. Incluez une borne fermée si elle convient; excluez une borne ouverte. Écrivez chaque angle une seule fois, puis vérifiez-le par substitution.

Ne divisez pas par une expression qui pourrait être nulle. Diviser par $\sin\theta$, $\cos\theta$ ou une autre expression pouvant valoir zéro risque de supprimer des solutions. Gardez cette expression comme facteur et traitez le cas où elle est nulle. De plus, la règle du produit nul s’applique à un produit égal à zéro, pas à une somme ni à un produit égal à un autre nombre.

Exemple d’équation 1 : deux valeurs du sinus, trois angles

Résolvez $2\sin^2\theta-\sin\theta-1=0$ sur $0\le\theta\le2\pi$.

Posez $u=\sin\theta$. L’équation devient

$$\begin{aligned}2u^2-u-1&=0,\\(2u+1)(u-1)&=0.\end{aligned}$$

Donc $2u+1=0$ ou $u-1=0$, d’où $u=-\frac12$ ou $u=1$. Les deux valeurs appartiennent à $[-1,1]$. Ce sont des valeurs du sinus : il reste à trouver les angles.

• $\sin\theta=-\frac12$ : le sinus est négatif dans les quadrants III et IV. L’angle de référence vaut $\pi/6$, ce qui donne $7\pi/6$ et $11\pi/6$.
• $\sin\theta=1$ : le sommet du cercle trigonométrique donne seulement $\pi/2$ dans cet intervalle. Ne comptez pas cet angle deux fois.

La réponse complète, en ordre croissant, est

$$\boxed{\theta=\frac\pi2,\ \frac{7\pi}6,\ \frac{11\pi}6.}$$

Vérification : pour un sinus de $-\frac12$, le membre de gauche vaut $2(\frac14)+\frac12-1=0$; pour un sinus de 1, il vaut $2-1-1=0$. Aux deux bornes, le sinus est nul et le membre de gauche vaut −1 : aucune borne ne convient. Les deux équations issues des facteurs couvrent toutes les valeurs possibles du sinus, et le cercle donne tous les angles associés à chaque valeur.

Exemple d’équation 2 : rejeter une valeur impossible du cosinus

Résolvez $2\cos^2\theta-5\cos\theta+2=0$ sur $0\le\theta<2\pi$.

Posez $u=\cos\theta$, puis factorisez :

$$\begin{aligned}2u^2-5u+2&=0,\\(2u-1)(u-2)&=0,\\u&=\frac12\quad\text{ou}\quad u=2.\end{aligned}$$

Rejetez $u=2$ : le cosinus est une coordonnée horizontale sur le cercle trigonométrique et ne peut pas dépasser 1. Il s’agit bien d’une racine du trinôme en $u$, mais elle ne donne aucun angle réel. Il est inutile d’entrer $\arccos(2)$ dans une calculatrice.

Pour $\cos\theta=\frac12$, l’angle de référence vaut $\pi/3$. Le cosinus est positif dans les quadrants I et IV, donc

$$\boxed{\theta=\frac\pi3,\ \frac{5\pi}3.}$$

Vérification : remplacer le cosinus par $\frac12$ donne $2(\frac14)-5(\frac12)+2=0$. Pour $\theta=0$, le cosinus vaut 1 et le membre de gauche vaut −1. La borne $2\pi$ est exclue de l’intervalle; elle ne vérifierait pas l’équation de toute façon. La seule valeur principale $\arccos(\frac12)=\pi/3$ donnée par la calculatrice ferait manquer l’angle du quatrième quadrant.

Quatre exercices progressifs : les valeurs, puis les angles

Pour chaque exercice, définissez la variable temporaire, trouvez ses valeurs possibles et donnez tous les angles de l’intervalle demandé. Le dernier exercice combine une identité avec plusieurs tours complets. Consultez un indice dès que vous avez besoin d’un point de départ.

16. Résolvez $\sin^2\theta=\frac14$ sur $0\le\theta<2\pi$.

    Indice facultatif 16

    Posez $u=\sin\theta$. Un carré égal à $\frac14$ permet deux signes. Chaque valeur du sinus donne ici deux angles.

    Solution expliquée 16

    Avec $u=\sin\theta$, écrivez $u^2-\frac14=(u-\frac12)(u+\frac12)=0$. Ainsi, $u=\frac12$ ou $u=-\frac12$, deux valeurs de $[-1,1]$. Le sinus positif donne $\pi/6,5\pi/6$; le sinus négatif donne $7\pi/6,11\pi/6$. Donc

    $$\boxed{\theta=\frac\pi6,\ \frac{5\pi}6,\ \frac{7\pi}6,\ \frac{11\pi}6.}$$

    Le carré de chaque valeur du sinus est $\frac14$. À la borne 0, le sinus est nul et ne convient pas; $2\pi$ est exclu et ne conviendrait pas non plus. Garder seulement la racine carrée positive ferait perdre deux solutions.

17. Résolvez $\cos^2\theta+\cos\theta-2=0$ sur $0\le\theta\le2\pi$. Expliquez pourquoi les bornes de l’intervalle doivent être vérifiées séparément.

    Indice facultatif 17

    Posez $u=\cos\theta$, factorisez, puis vérifiez que chaque racine appartient à $[-1,1]$. Quels angles ont un cosinus de 1?

    Solution expliquée 17

    Posez $u=\cos\theta$. Alors $u^2+u-2=(u+2)(u-1)=0$, d’où $u=-2$ ou $u=1$. Rejetez −2, car un cosinus ne peut pas être inférieur à −1. Il reste $\cos\theta=1$, ce qui donne

    $$\boxed{\theta=0,\ 2\pi.}$$

    Les deux bornes sont incluses. Elles correspondent au même point du cercle, mais constituent deux valeurs d’angle distinctes dans l’intervalle fermé demandé. À chacune, le membre de gauche initial vaut $1+1-2=0$. Sur $[0,2\pi)$, seule la valeur 0 resterait.

18. Résolvez $2\sin^2\theta=\sin\theta$ sur $-\pi\le\theta\le\pi$. Expliquez quelles solutions seraient perdues en divisant les deux membres par $\sin\theta$.

    Indice facultatif 18

    Regroupez les termes dans un même membre et mettez $\sin\theta$ en facteur. Conservez le cas du facteur nul. Cherchez ensuite les deux angles de l’intervalle dont le sinus vaut $\frac12$.

    Solution expliquée 18

    Avec $u=\sin\theta$, l’équation devient $2u^2-u=u(2u-1)=0$. Donc $u=0$ ou $u=\frac12$, deux valeurs permises. Le sinus est nul à $-\pi,0,\pi$; il vaut $\frac12$ à $\pi/6,5\pi/6$. Aucun angle strictement entre $-\pi$ et 0 n’a un sinus positif. La liste complète est

    $$\boxed{\theta=-\pi,\ 0,\ \frac\pi6,\ \frac{5\pi}6,\ \pi.}$$

    Les deux bornes sont incluses et conviennent. Pour un sinus nul, les deux membres de l’équation initiale valent 0; pour un sinus de $\frac12$, ils valent $\frac12$. Diviser par $\sin\theta$ supposerait ce sinus non nul et ferait perdre $-\pi,0,\pi$. La factorisation conserve ces trois solutions.

19. Résolvez $\sin^2\theta+\cos\theta=1$ sur $0\le\theta\le4\pi$. Utilisez une seule fonction trigonométrique avant de factoriser et tenez compte de tous les tours permis.

    Indice facultatif 19

    Remplacez $\sin^2\theta$ par $1-\cos^2\theta$, puis posez $u=\cos\theta$. Énumérez les angles issus de chaque facteur sur deux tours complets.

    Solution expliquée 19

    L’identité $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ est vraie pour tout angle réel. La substitution donne $1-\cos^2\theta+\cos\theta=1$. Posez $u=\cos\theta$, soustrayez 1 et multipliez par −1 :

    $$\begin{aligned}u^2-u&=0,\\u(u-1)&=0.\end{aligned}$$

    Donc $\cos\theta=0$ ou $\cos\theta=1$. Les deux valeurs sont permises. Le cosinus est nul à $\pi/2+k\pi$, ce qui donne ici $\pi/2,3\pi/2,5\pi/2,7\pi/2$. Il vaut 1 à $2k\pi$, ce qui donne $0,2\pi,4\pi$. Dans ces formules, $k$ est un entier quelconque; seuls les angles affichés appartiennent à l’intervalle demandé. Réunir et ordonner les deux listes donne

    $$\boxed{\theta=0,\ \frac\pi2,\ \frac{3\pi}2,\ 2\pi,\ \frac{5\pi}2,\ \frac{7\pi}2,\ 4\pi.}$$

    Vérification dans l’équation initiale : lorsque le cosinus est nul, $\sin^2\theta=1$, et le membre de gauche vaut $1+0=1$. Lorsque le cosinus vaut 1, le sinus est nul, et le membre de gauche vaut $0+1=1$. Les deux bornes fermées conviennent. S’arrêter à la fin du premier tour, à $2\pi$, ferait manquer trois solutions; diviser par le cosinus ferait perdre les quatre solutions où le cosinus est nul.

Avant de continuer : pouvez-vous distinguer une racine en $u$ d’un angle en $\theta$, justifier chaque valeur rejetée et montrer qu’aucun angle permis n’a été oublié? Si la factorisation pose problème, revoyez les bases d’algèbre avant le calcul. Si les valeurs sont correctes mais qu’il manque des angles, revenez à la résolution sur un intervalle.

Atelier de modélisation : des observations aux intervalles de temps

Lire une formule donnée et construire un modèle sont deux compétences distinctes. Cet atelier facultatif de 20 à 30 minutes ajoute deux exemples résolus et quatre exercices. Revoyez d’abord l’amplitude, la période et le décalage, puis toutes les solutions dans un intervalle. Utilisez les radians; aucune dérivée n’est nécessaire.

On suppose un mouvement sinusoïdal d’amplitude et de période constantes. Quelques mesures ne suffisent pas à prouver cette hypothèse. Pour une valeur maximale $M$, une valeur minimale $m$, avec $M>m$, et une période $T>0$, choisissons une amplitude positive :

$$D=\frac{M+m}{2},\qquad A=\frac{M-m}{2}>0.$$

$$y(t)=D+A\cos\!\left(\frac{2\pi}{T}(t-C)\right).$$

Ici, $C$ est un instant où la hauteur est maximale, pas nécessairement le premier instant observé. Deux maxima consécutifs sont séparés d’une période; un maximum et le minimum suivant ne sont séparés que d’une demi-période. Deux hauteurs égales ne sont pas nécessairement séparées d’une période. Si seul un passage par la ligne médiane est donné, le sens du mouvement — montée ou descente — distingue deux phases possibles. Des expressions différentes avec un sinus ou un cosinus peuvent décrire le même mouvement : vérifiez les observations plutôt que d’exiger une formule unique.

Exemple résolu 11 : reconstruire et vérifier un modèle

Un repère mobile idéal atteint deux maxima consécutifs de 10 cm à 2 s et à 14 s. Entre les deux, sa hauteur minimale est de 2 cm à 8 s. Modélisez sa hauteur sur l’intervalle d’observation $0\le t\le14$, où $t$ est la valeur numérique du temps en secondes et $h(t)$ celle de la hauteur en centimètres.

La ligne médiane est $D=(10+2)/2=6$, l’amplitude $A=(10-2)/2=4$, la période $T=14-2=12$, et un maximum survient à $C=2$. Ainsi,

$$h(t)=6+4\cos\!\left(\frac{\pi}{6}(t-2)\right).$$

L’angle augmente de $\pi/6$ radian par seconde. Vérifiez le cycle complet dans le tableau ci-dessous. La hauteur diminue après 2 s et augmente après 8 s. L’image est $[2,10]$; le domaine observé est $[0,14]$, même si la formule idéale est définie pour toute entrée réelle. Ne prenez pas 6 s comme période : cette durée mène d’un maximum à un minimum.

Un modèle équivalent utilisant le sinus est

$$h(t)=6+4\sin\!\left(\frac{\pi}{6}(t+1)\right).$$

Son angle est celui du cosinus augmenté de $\pi/2$. L’identité $\sin(\theta+\pi/2)=\cos\theta$ confirme donc l’équivalence. Un décalage écrit différemment ne décrit pas forcément un autre mouvement.

Exemple résolu 12 : les instants de passage ne sont pas des durées

Dans ce même intervalle d’observation, quand le repère est-il à au moins 8 cm de hauteur, et pendant combien de temps au total? Trouvez d’abord les instants où le seuil est atteint :

$$h(t)=8\quad\Longleftrightarrow\quad\cos\theta=\frac12,$$

$$\theta=\frac{\pi}{6}(t-2),\qquad-\frac\pi3\le\theta\le2\pi.$$

Dans cet intervalle d’angles, les valeurs frontières sont $-\pi/3,\ \pi/3,\ 5\pi/3$. La conversion $t=2+6\theta/\pi$ donne $t=0,4,12$. Testez ensuite les intervalles, pas seulement ces instants : à 2 s, la hauteur est de 10 cm (au-dessus du seuil); à 8 s, elle est de 2 cm (en dessous); à 13 s, elle dépasse 8 cm. Donc,

$$t\in[0,4]\cup[12,14].$$

Le symbole $\cup$ réunit les deux intervalles admissibles sans inclure le temps qui les sépare. Leur durée totale est $(4-0)+(14-12)=6$ s. Le deuxième intervalle s’arrête à la fin de l’observation, et non au prochain passage à 16 s. Soustraire le premier instant de passage du dernier compterait à tort du temps passé sous 8 cm.

Pour une hauteur strictement supérieure à 8 cm, excluez les égalités à 0, 4 et 12 s : $t\in(0,4)\cup(12,14]$. L’instant 14 s reste inclus, car il appartient à l’intervalle d’observation et la hauteur y vaut 10 cm. Ces changements concernant des instants isolés ne modifient pas la durée.

Vérifier l’image avant d’utiliser l’arccosinus

Pour un modèle non constant d’image $[m,M]$, la condition $y\ge H$ est vérifiée dans tout l’intervalle d’observation si $H\le m$, et jamais si $H>M$. Si $H=M$, seuls les maxima dans cet intervalle conviennent : ce sont des instants isolés, de durée totale nulle. Si $m<H<M$, trouvez les passages et testez les intervalles entre eux. Pour une inégalité stricte, traitez les égalités séparément. Si $M=m$, le modèle est constant : comparez cette valeur unique au seuil plutôt que de diviser par une amplitude nulle. N’appliquez jamais l’arccosinus réel à une valeur hors de $[-1,1]$.

Quatre exercices : construire, choisir, résoudre, restreindre

Essayez chaque exercice avant d’ouvrir son indice. Précisez les unités et testez un instant dans chaque intervalle proposé. Les modèles équivalents donnent le même résultat s’ils respectent toutes les conditions.

20. Une hauteur sinusoïdale a deux minima consécutifs de 3 cm à 1 s et à 9 s, et un maximum de 11 cm entre les deux. Construisez un modèle pour $0\le t\le9$, puis situez ce maximum.

    Indice facultatif 20

    Un coefficient négatif devant le cosinus peut placer un minimum au décalage choisi. Trouvez la ligne médiane et sa distance à chacun des extrêmes.

    Solution expliquée 20

    La ligne médiane est à 7 cm, l’amplitude est de 4 cm et la période est de 8 s. Un modèle, avec la hauteur en centimètres et le temps en secondes, est

    $$y(t)=7-4\cos\!\left(\frac\pi4(t-1)\right).$$

    Son amplitude est 4, et non −4. À $t=1,9$, le cosinus vaut 1 et la hauteur vaut 3. À mi-chemin entre les minima, à $t=5$, le cosinus vaut −1 et la hauteur vaut 11. C’est le seul maximum dans l’intervalle d’observation; le suivant est à 13 s.

21. Une hauteur varie de 2 à 10 cm avec une période de 12 s. À $t=0$, elle franchit la ligne médiane en montant. Choisissez entre $6+4\sin(\pi t/6)$ et $6-4\sin(\pi t/6)$, puis vérifiez les hauteurs à 3 s et à 9 s.

    Indice facultatif 21

    Les deux formules commencent à 6. Pour un temps positif très petit, le sinus est positif : quelle formule place le repère au-dessus de la ligne médiane?

    Solution expliquée 21

    Choisissez $y(t)=6+4\sin(\pi t/6)$. La hauteur augmente à partir de la ligne médiane, atteint $y(3)=10$, puis atteint plus tard $y(9)=2$. Le modèle avec le signe moins descend d’abord et inverse ces deux hauteurs. L’image et la période ne suffisent pas à départager ces phases.

22. Pour le repère de l’exemple résolu 11, trouvez tous les instants où $h(t)<4$ sur $[0,14]$, ainsi que la durée totale. Un instant pourrait-il satisfaire $h(t)>10$?

    Indice facultatif 22

    L’équation frontière donne un cosinus égal à −1/2. Situez la partie basse du cycle et testez le minimum.

    Solution expliquée 22

    Les angles frontières $2\pi/3$ et $4\pi/3$ donnent $t=6$ et $t=10$. Puisque $h(8)=2<4$, la réponse est $t\in(6,10)$, de durée $10-6=4$ s. Les deux instants de passage sont exclus par l’inégalité stricte. L’image s’arrête à 10 cm; la condition $h(t)>10$ n’a donc aucune solution.

23. Une hauteur idéale en centimètres est $q(t)=5+3\cos((\pi/4)(t-1))$, avec le temps en secondes. Sur $0\le t\le10$, trouvez les intervalles où $q(t)\ge7$ et leur durée totale. Donnez une réponse exacte avant d’arrondir.

    Indice facultatif 23

    Posez $\alpha=\arccos(2/3)$. La période est de 8 s; les maxima sont à 1 s et à 9 s. Trouvez la demi-largeur autour de chaque maximum, puis prenez l’intersection des intervalles avec l’intervalle d’observation.

    Solution expliquée 23

    Définissez $\alpha=\arccos(2/3)$ en radians et $\delta=4\alpha/\pi$, la valeur numérique de la demi-largeur en secondes. Ici, $\delta\approx1{,}071$. Les deux intervalles non restreints sont $[1-\delta,1+\delta]$ et $[9-\delta,9+\delta]$. Leurs extrémités extérieures dépassent l’intervalle d’observation; la réponse est donc

    $$t\in[0,1+\delta]\cup[9-\delta,10].$$

    Numériquement, les intervalles sont environ $[0;2{,}071]$ et $[7{,}929;10]$ s. Leur durée totale est

    $$2+2\delta=2+\frac{8}{\pi}\arccos(2/3)\approx4{,}142$$

    secondes. Vérifiez les bornes conservées : $q(0)=q(10)=5+3\sqrt2/2>7$. Aux bornes intérieures, la hauteur vaut exactement 7. Garder les deux intervalles complets compterait du temps hors du domaine donné.

Portée : cet atelier original soutient le travail sur la construction de fonctions sinusoïdales et leurs applications en MHF4U en Ontario (B2.6–B2.7, avec un lien aux équations de B3.4). Les questions sur les durées constituent un approfondissement pédagogique, et non une évaluation officielle ou une prédiction du contenu choisi par votre enseignant. Programme ontarien, page imprimée 90, en anglais.

Reprise : fermez les solutions et expliquez pourquoi un passage correspond à un instant, pourquoi une durée est une différence de temps et pourquoi il faut finalement respecter l’intervalle d’observation. Retournez à l’exemple de construction du modèle si le signe ou la phase reste incertain.