Coût marginal : de l’estimation à la variation exacte

Nablio · 15 min · guide principalPublié le 2 octobre 2026

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Pour les notions du cours et l’aide individuelle, consultez le tutorat MATH 122 à McGill.

Une unité supplémentaire, un lot supplémentaire et le coût total de production ne répondent pas à la même question. Ce guide les relie : utilisez une dérivée pour un taux local, multipliez ce taux pour une estimation et intégrez-le pour une variation exacte dans le modèle. Il faut connaître la notation des fonctions, la règle de dérivation des puissances et les primitives élémentaires.

Dans l’exemple résolu, $q$ est la quantité numérique produite en unités et $C(q)$ le coût total numérique en dollars canadiens (CAD) : $\begin{gathered}C(q)=500+12q+0{,}04q^2,\\0\le q\le200.\end{gathered}$ Nous traitons la production comme continue pour utiliser le calcul, même si les objets réels se comptent en unités entières. Le modèle s’applique seulement sur cet intervalle. Le coût fixe est $C(0)=500$ CAD; il reste à payer même si la production est nulle.

Cette leçon originale accompagne une application de MATH 122 à McGill. Ce n’est ni une révision de tout le cours ni une évaluation officielle. Le plan actuel de votre section détermine les notions à étudier.

1. Interpréter le coût marginal comme un taux

Le coût marginal est la dérivée $C^\prime(q)$ . Il mesure la variation du coût total par unité supplémentaire près d’un niveau de production donné. Le coût total se mesure en CAD; le coût marginal, en CAD par unité. Le coût moyen unitaire, $C(q)/q$ pour $q>0$ , répartit tous les coûts engagés sur les unités produites.

Exemple expliqué

Dérivez le modèle : $\begin{gathered}C^\prime(q)=12+0{,}08q,\\C^\prime(50)=16.\end{gathered}$ À 50 unités, le coût total augmente au taux de 16 CAD par unité. Le coût fixe de 500 CAD disparaît à la dérivation parce qu’il ne varie pas avec la production.

Pour une unité supplémentaire, la dérivée donne l’estimation $16\times1=16$ CAD. Le calcul direct donne $\begin{gathered}C(51)-C(50)\\=1216{,}04-1200\\=16{,}04.\end{gathered}$ Le coût exact de cette unité est légèrement supérieur parce que le coût marginal augmente entre 50 et 51.

À 50 unités, le coût total vaut $1200$ CAD et le coût moyen unitaire vaut $1200/50=24$ CAD par unité. Ce sont des quantités différentes du taux marginal de 16 CAD par unité.

À éviter. Assimiler le coût marginal au coût exact de l’unité suivante. La dérivée est un taux à un niveau de production donné; l’ajout d’une unité parcourt un intervalle.

À vous d’essayer

Pour un nouvel exercice, soit $D(q)=300+8q+0{,}02q^2$ le coût total numérique en CAD, où la quantité numérique produite $q$ est traitée comme continue sur $0\le q\le150$ . À $q=40$ , calculez le coût total, le coût moyen unitaire et le coût marginal. Quelle quantité permet d’estimer localement le coût d’une unité supplémentaire?

Voir la réponse et le raisonnement

Calculer les trois quantités
$D(40)=300+320+32=652$ CAD. Le coût moyen unitaire vaut $652/40=16{,}30$ CAD par unité. La dérivation donne $D^\prime(q)=8+0{,}04q$ , donc $D^\prime(40)=9{,}60$ CAD par unité.
Choisir la quantité qui répond à la question
Utilisez le coût marginal : 9,60 CAD par unité multiplié par une unité supplémentaire donne une estimation locale de 9,60 CAD. Le coût moyen unitaire inclut le coût fixe et la production antérieure; il n’estime pas le coût de l’unité suivante.

2. Estimer un lot, puis vérifier la variation exacte

Soit $h\ge0$ le nombre numérique d’unités ajoutées, avec $q$ et $q+h$ dans le domaine du modèle. L’estimation linéaire est $C^\prime(q)h$ . Elle conserve le taux de départ; la soustraction directe $C(q+h)-C(q)$ tient compte de la variation du taux sur tout le lot.

Exemple expliqué

Pour passer de 50 à 60 unités, $h=10$ . L’estimation locale vaut $\begin{gathered}C^\prime(50)\times10\\=16\times10\\=160\text{ CAD}.\end{gathered}$ Le modèle exact donne $\begin{gathered}C(60)-C(50)\\=1364-1200\\=164\text{ CAD}.\end{gathered}$ L’estimation est inférieure de 4 CAD à la variation exacte.

Le graphique ci-dessous explique cet écart. Sur ces dix unités, le coût marginal passe de $16$ à $16{,}8$ CAD par unité. Le rectangle utilise le taux de départ; le mince triangle au-dessus représente l’augmentation omise.

Le développement du modèle quadratique donne une vérification exacte pour tout accroissement admissible : $\begin{gathered}C(q+h)-C(q)\\=(12+0{,}08q)h+0{,}04h^2\\=C^\prime(q)h+0{,}04h^2.\end{gathered}$ Dans ce modèle, l’estimation linéaire omet $0{,}04h^2$ CAD. Passer d’une unité ajoutée à dix fait passer cette erreur de 0,04 CAD à 4 CAD. Cette formule d’erreur appartient à ce modèle quadratique; ce n’est pas une règle universelle du coût marginal.

Le coût marginal augmente linéairement de 16 CAD par unité à 50 unités à 16,8 à 60 unités. Le rectangle sous le taux de départ a une aire de 160 CAD; le mince triangle au-dessus a une aire de 4 CAD, soit 164 CAD au total. L’axe vertical commence à zéro. — L’aire colorée représente la variation de coût entre 50 et 60 unités. Rectangle : $10\times16=160$ CAD. Triangle : $\tfrac12\times10\times0{,}8=4$ CAD. Leur somme vaut 164 CAD; ce n’est pas le coût total à 60 unités.

À éviter. Multiplier le coût marginal par la quantité finale. Utilisez le nombre d’unités ajoutées, soit la quantité finale moins la quantité de départ.

À vous d’essayer

Reprenez le nouveau modèle $D(q)=300+8q+0{,}02q^2$ sur $0\le q\le150$ . La production passe de 40 à 42 unités. Estimez la variation de coût à partir du coût marginal initial, puis calculez la variation exacte. Expliquez le sens de l’erreur.

Voir la réponse et le raisonnement

Utiliser la variation de quantité
L’accroissement est $h=42-40=2$ unités. Comme $D^\prime(40)=9{,}60$ CAD par unité, l’estimation vaut $9{,}60\times2=19{,}20$ CAD. Multiplier par 42 utiliserait le mauvais intervalle.
Vérifier la différence et expliquer l’erreur
$D(42)=671{,}28$ CAD et $D(40)=652$ CAD : l’augmentation exacte vaut donc $19{,}28$ CAD. L’estimation est inférieure de $0{,}08$ CAD parce que $D^\prime(q)=8+0{,}04q$ augmente avec la production. Les deux extrémités respectent le domaine.

3. Retrouver une variation de coût ou un total par intégration

Si le coût marginal est continu sur l’intervalle, son intégrale donne la variation exacte dans le modèle de coût : $\int_a^b C^\prime(q)\,dq=C(b)-C(a).$ Ici, $a$ et $b$ sont les quantités produites au départ et à l’arrivée. Pour retrouver $C(b)$ lui-même, il faut aussi connaître un coût de départ $C(a)$ .

Exemple expliqué

Pour la même augmentation de 50 à 60 unités, une primitive de $12+0{,}08q$ est $12q+0{,}04q^2$ . Vérifiez-la par dérivation, puis soustrayez la valeur à la borne inférieure de celle à la borne supérieure : $\begin{gathered}\int_{50}^{60}(12+0{,}08q)\,dq\\=[12q+0{,}04q^2]_{50}^{60}\\=864-700\\=164\text{ CAD}.\end{gathered}$ Le résultat concorde avec la différence des coûts et l’aire colorée complète du graphique.

Pour le coût total à 60 unités, partez d’une production nulle et ajoutez le coût fixe : $\begin{gathered}C(60)\\=C(0)+\int_0^{60}C^\prime(q)\,dq\\=500+864\\=1364\text{ CAD}.\end{gathered}$ L’intégrale de 50 à 60 donne seulement 164 CAD, pas 1364 CAD.

Les unités permettent une vérification : un taux en CAD par unité multiplié par un accroissement en unités donne des CAD. Ajouter une constante à tous les coûts totaux ne change ni la dérivée ni une différence de coûts. Le coût marginal seul ne permet donc pas de déterminer le coût fixe.

À éviter. Oublier le coût de départ lorsque la question demande un total. L’intégrale définie du coût marginal donne une variation de coût; une intégrale indéfinie laisse une constante inconnue.

À vous d’essayer

Un autre modèle continu de production a pour coût marginal $K^\prime(q)=9+0{,}1q$ CAD par unité sur $0\le q\le100$ , avec $K(0)=240$ CAD. Calculez la variation exacte de coût entre 20 et 30 unités, puis le coût total à 30 unités. Expliquez pourquoi les deux réponses diffèrent.

Voir la réponse et le raisonnement

Intégrer sur l’intervalle demandé
Une primitive est $9q+0{,}05q^2$ . Ainsi, $\begin{gathered}K(30)-K(20)\\=[9q+0{,}05q^2]_{20}^{30}\\=315-200\\=115\text{ CAD}.\end{gathered}$ Ces bornes mesurent seulement les dix unités supplémentaires.
Inclure le coût de départ pour obtenir le total
$K(30)=240+\int_0^{30}(9+0{,}1q)\,dq=240+315=555$ CAD. Autrement, $K(20)=440$ CAD, donc $K(30)=440+115$ . Le total inclut les 240 CAD initiaux et toute la production jusqu’à 30; la variation de 115 CAD concerne seulement le passage de 20 à 30.

Prolongement facultatif : un taux décroissant et un budget en quantités entières

Utilisez la méthode d’accumulation ci-dessus avec un nouveau modèle fictif. Soit $q$ la quantité d’articles et $C(q)$ le coût total en dollars canadiens (CAD), pour $0\le q\le120$ . Le coût marginal est $C^\prime(q)=18-0{,}1q$ CAD par article, avec $C(40)=900$ CAD.

Traitez la production comme continue pour le calcul; les quantités réellement produites doivent être entières. Ce modèle diffère de l’exemple résolu précédent.

Choisir une quantité qui respecte le budget

Le budget supplémentaire au-delà de 40 articles est d’au plus 250 CAD. Estimez le nombre d’articles supplémentaires permis à partir du coût marginal initial, puis trouvez la quantité totale maximale permise et son coût total avec le modèle exact. Un coût marginal décroissant signifie-t-il que le coût total diminue?

Voir un indice

Notez $h$ le nombre d’articles ajoutés aux 40 premiers, avec $0\le h\le80$ . Intégrez de 40 à $40+h$ , puis comparez des choix entiers voisins.

Voir la réponse expliquée

Soit $h$ le nombre d’articles ajoutés aux 40 premiers, avec $0\le h\le80$ . Le taux initial est $C^\prime(40)=14$ CAD par article, ce qui donne une estimation de $250/14\approx17{,}86$ articles supplémentaires. Le coût supplémentaire exact, en CAD, vaut $\begin{gathered}C(40+h)-C(40)\\=\int_{40}^{40+h}(18-0{,}1q)\,dq\\=[18q-0{,}05q^2]_{40}^{40+h}\\=14h-0{,}05h^2.\end{gathered}$

Pour $h=19$ , le coût ajouté vaut 247,95 CAD; pour $h=20$ , il vaut 260 CAD. Puisque $C^\prime(q)\ge6>0$ dans tout le domaine du modèle, le coût total augmente. Si vingt articles supplémentaires dépassent le budget, tout ajout permis plus grand le dépasse aussi.

Le maximum est de 59 articles au total, au coût de $900+247{,}95=1\,147{,}95$ CAD. Le coût marginal diminue, mais reste positif. Arrondir seulement l’estimation initiale ferait manquer ce choix.

Nouvelle situation indépendante : un autre départ et un autre budget

Le budget supplémentaire de 250 CAD ne s’applique plus. Dans une situation de production indépendante décrite par le même modèle, partez de 60 articles avec $C(60)=1\,160$ CAD. On dispose d’au plus 115 CAD pour des articles supplémentaires. Trouvez le plus grand ajout possible, la quantité finale et le coût total.

Voir un indice pour le nouvel essai

Notez $k$ le nombre d’articles ajoutés aux 60 premiers, avec $0\le k\le60$ . Utilisez la nouvelle quantité de départ comme borne inférieure de l’intégrale.

Voir la réponse du nouvel essai

Soit $k$ le nombre d’articles ajoutés aux 60 premiers, avec $0\le k\le60$ . Le coût supplémentaire exact, en CAD, vaut $\begin{gathered}C(60+k)-C(60)\\=\int_{60}^{60+k}(18-0{,}1q)\,dq\\=12k-0{,}05k^2.\end{gathered}$ Dix articles supplémentaires coûtent exactement 115 CAD; onze coûtent 125,95 CAD. Le coût total augmente sur cet intervalle : on peut donc ajouter au plus dix articles, pour un total de 70 articles au coût de $1\,160+115=1\,275$ CAD.

4. Pourquoi le coût moyen peut-il baisser quand le coût total augmente?

Approfondissement facultatif : la première section et la dérivation suffisent pour commencer; l’intégration n’est pas nécessaire. Le coût moyen unitaire répartit le coût total sur toutes les unités produites. Posons $A(q)=C(q)/q$ , en CAD par unité. Il est défini seulement pour $q>0$ . Une hausse du total ne suffit pas à déterminer le sens de variation de cette moyenne : la quantité au dénominateur change aussi. Reprenons le modèle continu $C(q)=500+12q+0{,}04q^2$ sur $0\le q\le 200$ , où q est la production mesurée en unités et C(q), le coût total en CAD.

Exemple expliqué

Exemple résolu : comparer les totaux et les moyennes. À 50 unités, $C(50)=1200$ CAD et $A(50)=1200/50=24$ CAD par unité. À 60 unités, $C(60)=1364$ CAD et $\begin{gathered}A(60)\\=1364/60\\=341/15\\\approx 22{,}73\end{gathered}$ CAD par unité. Le coût total augmente de 164 CAD, tandis que le coût moyen unitaire diminue de $19/15\approx1{,}27$ CAD par unité. Les deux niveaux de production respectent le domaine du modèle.

Expliquer la variation à l’aide du lot ajouté. Les dix unités supplémentaires coûtent 164 CAD au total, soit $164/10=16{,}40$ CAD par unité ajoutée. Cette valeur est inférieure au coût moyen précédent de 24 CAD par unité. En réunissant les 50 premières unités et les dix nouvelles, on obtient $\begin{gathered}A(60)\\=\frac{50\times24+10\times16{,}40}{60}\\\approx22{,}73\end{gathered}$ CAD par unité. Le lot ajouté, moins coûteux par unité, fait baisser la moyenne globale. Son coût moyen exact est de 16,40 CAD par unité; le taux marginal de départ vaut $C^\prime(50)=16$ CAD par unité.

Expliquer ensuite le comportement local par une dérivée. En divisant d’abord le modèle par q, on trouve $A(q)=500/q+12+0{,}04q$ pour $0<q\le 200$ . La dérivation donne $A^\prime(q)=-500/q^2+0{,}04$ . À $q=50$ , $A^\prime(50)=-0{,}16$ CAD par unité au carré. Ce taux mesure la variation locale du coût moyen unitaire par unité supplémentaire de production. En parallèle, $C^\prime(50)=16$ CAD par unité est positif : le total augmente localement tandis que la moyenne diminue localement.

La règle du quotient fournit une vérification générale : $\begin{gathered}A^\prime(q)\\=\frac{qC^\prime(q)-C(q)}{q^2}\\=\frac{C^\prime(q)-A(q)}q\end{gathered}$ , lorsque C est dérivable et que $q>0$ est intérieur au domaine. Comme q est positif, un coût marginal inférieur au coût moyen rend A′ négatif; un coût marginal supérieur au coût moyen rend A′ positif. L’égalité donne une dérivée nulle, ce qui ne suffit pas à prouver un minimum. Ces conclusions sont locales; pour un lot de taille précisée, comparez les moyennes réelles ou utilisez le coût exact du lot.

Reprise guidée. Reprenez $D(q)=300+8q+0{,}02q^2$ CAD, avec q traité comme une variable continue sur $0\le q\le 150$ . Posons $B(q)=D(q)/q$ pour $0<q\le150$ . À $q=40$ , écrivez d’abord $B(40)=D(40)/40$ et D′(40). Complétez ensuite $\begin{gathered}B^\prime(40)\\=[D^\prime(40)-B(40)]/40\end{gathered}$ . Avant de lire la suite, prévoyez si le coût total et le coût moyen unitaire augmentent ou diminuent localement.

Vérification guidée. $D(40)=652$ CAD, $B(40)=16{,}30$ CAD par unité et $D^\prime(40)=9{,}60$ CAD par unité. Ainsi, $\begin{gathered}B^\prime(40)\\=(9{,}60-16{,}30)/40\\=-0{,}1675\end{gathered}$ CAD par unité au carré. Le coût total augmente localement, tandis que le coût moyen unitaire diminue localement. Un coût marginal positif indique que le total augmente; sa comparaison avec le coût moyen indique le sens de variation locale de la moyenne.

À éviter. Conclure que le coût moyen augmente parce que $C^\prime(q)>0$ . Vérifiez la dérivée de C(q)/q, ou comparez les coûts marginal et moyen au même niveau de production.

À vous d’essayer

À vous de jouer. Soit $K(q)=200+6q+0{,}05q^2$ le coût total en CAD, où la production q est mesurée en unités et traitée comme continue sur $0\le q\le 100$ . À 80 unités, calculez le coût total, le coût moyen unitaire, le coût marginal et la dérivée du coût moyen unitaire. Expliquez le sens de variation locale du coût total et du coût moyen. Un coût marginal positif suffit-il à déterminer si la moyenne augmente? Précisez le domaine de la fonction de coût moyen.

Voir la réponse et le raisonnement

Calculer et nommer chaque grandeur
$K(80)=200+480+320=1000$ CAD. En posant $H(q)=K(q)/q$ , on obtient $H(80)=1000/80=12{,}50$ CAD par unité. $K^\prime(q)=6+0{,}1q$ , donc $K^\prime(80)=14$ CAD par unité. La moyenne est définie sur $0<q\le 100$ ; la division par zéro exclut $q=0$ .
Comparer le coût marginal au coût moyen
$\begin{gathered}H^\prime(80)\\=[K^\prime(80)-H(80)]/80\\=(14-12{,}50)/80\\=0{,}01875\end{gathered}$ CAD par unité au carré. Pour vérifier autrement, $H(q)=200/q+6+0{,}05q$ donne $H^\prime(q)=-200/q^2+0{,}05$ , puis la même valeur à 80. Le coût total et le coût moyen augmentent tous deux localement à 80 unités. La moyenne augmente parce que le coût marginal dépasse ici le coût moyen. Dans l’exemple résolu et la reprise guidée, le coût marginal était positif, mais la moyenne diminuait : le signe positif ne suffit donc pas.

Votre prochaine séance de révision

Cachez les solutions et nommez la quantité cherchée avant de choisir la méthode : un taux, une variation estimée, une variation exacte ou un total.
Reprenez une question avec un plus petit accroissement et expliquez l’effet sur l’approximation locale. Gardez les deux extrémités dans le domaine du modèle.
Si le calcul bloque, utilisez les guides d’algèbre ou de domaines et limites ci-dessous. Pour les techniques d’intégration, choisissez des exemples correspondant au plan de votre section.

Contexte du cours et exercices complémentaires

Consultez la description du cours de McGill et utilisez les leçons ci-dessous pour revoir l’algèbre, les domaines ou l’intégration. Tous les modèles numériques et exercices de ce guide sont originaux.

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Inclure le coût de départ pour obtenir le total

Prolongement facultatif : un taux décroissant et un budget en quantités entières

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4. Pourquoi le coût moyen peut-il baisser quand le coût total augmente?

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