Tutorat MAT145 · École de technologie supérieure

1. Distinguer les quantités. Le déplacement est la variation signée de position; la distance est la longueur totale du trajet parcouru, quel que soit le sens du mouvement. Notons $\Delta x$ le déplacement et $D$ la distance totale. Alors $\Delta x=\int_0^5v(t)\,dt$, tandis que $D=\int_0^5|v(t)|\,dt$. 2. Intégrer la vitesse algébrique. Une primitive commode est $F(t)=t^2/2-2t$, puisque $F'(t)=t-2=v(t)$; l’apostrophe désigne la dérivation par rapport au temps. Donc $\Delta x=F(5)-F(0)=(25/2-10)-0=2{,}5\,\mathrm{m}$. Ce résultat positif situe la position finale à cette distance de la position initiale dans le sens positif. 3. Séparer l’intégrale au changement de sens. La vitesse s’annule en $t=2$, est négative avant cet instant et positive ensuite. Ainsi, $D=-\int_0^2(t-2)\,dt+\int_2^5(t-2)\,dt$. Comme $F(2)=-2$, la première contribution est $-[F(2)-F(0)]=2\,\mathrm{m}$; la seconde est $F(5)-F(2)=2{,}5-(-2)=4{,}5\,\mathrm{m}$. Par conséquent, $D=6{,}5\,\mathrm{m}$. Prendre $|\Delta x|$ négligerait le trajet initial dans le sens négatif. 4. Vérifier et interpréter. Le graphique de vitesse forme deux triangles d’aires $\frac12(2)(2)=2$ et $\frac12(3)(3)=4{,}5$, ce qui confirme les contributions. Changer la position initiale déplace tout le graphique de position et la position finale de la même quantité. Cela ne change ni la vitesse donnée ni ces intégrales : déplacement et distance totale restent inchangés.