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John Abbott College · 201-SN3-RE

Tutorat 201-SN3-RE · John Abbott

Calcul intégral : tutorat individuel en ligne et préparation aux examens.

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Cours répertorié

Aperçu du cours

Le cours de calcul intégral de John Abbott couvre les limites, les dérivées, les intégrales indéfinies et définies, les suites, les séries infinies et les séries de puissances. Commencez ci-dessous par choisir entre la substitution et l’intégration par parties, puis utilisez les leçons proposées pour travailler l’intégration et la convergence.

Notions à travailler pour 201-SN3-RE

Limites et dérivéesIntégrales indéfinies et définiesSuites et séries infiniesSéries de puissances

Difficultés fréquentes

  • Reconnaître une fonction intérieure et sa dérivée avant de choisir une substitution
  • Conserver les facteurs issus de la règle de dérivation en chaîne et les valeurs aux deux bornes

Choisissez la décision à travailler

Calcul intégral : substitution et somme d’une série

Changez la variable et les bornes d’une intégrale, puis trouvez la somme et le reste d’une série géométrique. Écrivez les premiers termes avant de choisir la formule.

Vérifiez votre code de cours : John Abbott donne le code 201-SF3-AB au cours offert en français.

Avant de commencer : Prévoyez 20 à 25 minutes pour essayer les deux questions, puis 15 minutes pour vérifier et reprendre les étapes manquées.

1. Changer la variable et les bornes

Calculez ∫022xex2 dx\int_0^2 2x e^{x^2}\,dx par substitution et donnez la valeur exacte.

Voir la solution expliquée
  1. Posez u=x2u=x^2, donc du=2x dxdu=2x\,dx. Les bornes x=0,2x=0,2 deviennent u=0,4u=0,4.
  2. ∫04eu du=e4−1.\int_0^4 e^u\,du=e^4-1.
  3. Vérifiez : la dérivée de ex2e^{x^2} vaut 2xex22xe^{x^2}. Garder la borne supérieure 2 après le passage à uu donnerait le mauvais intervalle.

Choisir une méthode d’intégration

2. Le premier terme n’est pas la somme

Déterminez si ∑n=1∞3(1/4)n\sum_{n=1}^{\infty}3(1/4)^n converge. Si oui, trouvez sa somme et l’erreur après trois termes.

Voir la solution expliquée
  1. Le premier terme vaut a=3/4a=3/4 et la raison est r=1/4r=1/4. Comme ∣r∣<1|r|<1, la série converge.
  2. S=3/41−1/4=1.S=\frac{3/4}{1-1/4}=1.
  3. La somme des trois premiers termes vaut 3/4+3/16+3/64=63/643/4+3/16+3/64=63/64. Le reste positif vaut 1/641/64.

Conseils de révision propres au cours de calcul intégral

Construire votre révision à partir de vos réponses
  1. Revoir la substitution

    Vérifiez la variable initiale, la nouvelle variable et les bornes, puis dérivez votre primitive.

  2. Revoir les séries

    Écrivez les trois premiers termes avant de choisir une formule; vérifiez l’indice initial et la condition de convergence.

Si les séries ne figurent pas encore à votre évaluation, travaillez la substitution maintenant et gardez la seconde question pour plus tard. Précisez les sujets de votre groupe dans votre demande.

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Exercices originaux de Nablio, et non un examen officiel. Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

Sources pour les sujets du cours

Se préparer à ce cours

Révisez la dérivation des fonctions composées, la règle du produit et le calcul d’une intégrale définie à l’aide d’une primitive. Ici, x est une variable réelle et e ≈ 2,718 est la base de l’exponentielle naturelle.

Conditions d’inscription

Calcul différentiel (201-SN2-RE).

Consulter le catalogue officiel

Deux produits semblables, deux méthodes utiles

Choisissez une méthode avant de calculer chaque intégrale. Expliquez ce qui rend cette méthode utile. A=∫012xex2 dx.A=\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx. B=∫01xex dx.B=\int_0^1 x e^x\,dx. Ici, A et B désignent les valeurs des deux intégrales.

Voir un indice

Pour A, cherchez la dérivée de l’exposant. Pour B, demandez-vous quel facteur se simplifie lorsqu’on le dérive.

Voir le raisonnement

  1. A : utiliser la dérivation en chaîne à l’envers

    La dérivée de x2x^2 est 2x2x, exactement le facteur qui multiplie l’exponentielle. Posez u=x2u=x^2, où u est la nouvelle variable d’intégration. Alors du=2x dxdu=2x\,dx. Les bornes 0 et 1 en x deviennent les bornes 0 et 1 en u.

    A=∫01eu du=[eu]01=e−1.\begin{aligned}A&=\int_0^1 e^u\,du\\&=[e^u]_0^1\\&=e-1.\end{aligned}

    Les crochets indiquent la valeur à la borne supérieure moins celle à la borne inférieure. La contribution de la borne inférieure est e0=1e^0=1.

  2. B : simplifier le produit par une intégration par parties

    La dérivée de x est 1, et exe^x s’intègre facilement. Choisissez u=xu=x et dv=ex dxdv=e^x\,dx, donc du=dxdu=dx et v=exv=e^x. Ici, u est le facteur à dériver, et v est une primitive de exe^x.

    L’intégration par parties utilise la règle du produit à l’envers : ∫u dv=uv−∫v du.\int u\,dv=uv-\int v\,du. Ainsi, B=[xex]01−∫01ex dx=e−(e−1)=1.\begin{aligned}B&=[xe^x]_0^1\\&\quad-\int_0^1 e^x\,dx\\&=e-(e-1)=1.\end{aligned}

    La présence d’un produit ne suffit pas à choisir la méthode. Dans A, le facteur 2x2x correspond à la dérivée de la fonction intérieure x2x^2. Dans B, dériver x simplifie l’intégrale restante.

  3. Vérifier en dérivant

    Pour A, la dérivée de ex2e^{x^2} est 2xex22xe^{x^2}. Pour B, une primitive est (x−1)ex(x-1)e^x : la règle du produit donne sa dérivée, ex+(x−1)ex=xex.e^x+(x-1)e^x=xe^x. À x=1x=1, elle vaut 0; à x=0x=0, elle vaut −1. L’intégrale définie vaut donc 0−(−1)=10-(-1)=1.

À vous : changer l’exposant

Calculez J=∫01xe2x dx,J=\int_0^1 xe^{2x}\,dx, où J désigne la valeur de l’intégrale. Justifiez votre méthode et vérifiez votre primitive en la dérivant. Écrivez la valeur à chaque borne avant de faire la soustraction.

Vérifier votre raisonnement

  1. Choisir et appliquer l’intégration par parties

    Dériver x simplifie le produit. Posez u=xu=x et dv=e2x dxdv=e^{2x}\,dx. Alors du=dxdu=dx et v=12e2xv=\tfrac12e^{2x}. Le facteur 12\tfrac12 compense le facteur 2 qui apparaît lorsqu’on dérive e2xe^{2x}.

    L’intégrale restante introduit un autre facteur 1/2. Une primitive, notée F, est F(x)=x2e2x−14e2x=(x2−14)e2x.\begin{aligned}F(x)&=\tfrac{x}{2}e^{2x}-\tfrac14e^{2x}\\&=\left(\tfrac{x}{2}-\tfrac14\right)e^{2x}.\end{aligned}

  2. Utiliser les deux bornes et vérifier

    F(1)=14e2,F(0)=−14.\begin{aligned}F(1)&=\tfrac14e^2,\\F(0)&=-\tfrac14.\end{aligned} Donc J=F(1)−F(0)=e2+14.\begin{aligned}J&=F(1)-F(0)\\&=\frac{e^2+1}{4}.\end{aligned}

    La dérivée permet de vérifier les facteurs de la règle de dérivation en chaîne : F′(x)=12e2x+2(x2−14)e2x=xe2x.\begin{aligned}F^{\prime}(x)&=\tfrac12e^{2x}\\&+2\left(\tfrac{x}{2}-\tfrac14\right)e^{2x}\\&=xe^{2x}.\end{aligned} Si vous avez obtenu e2/4e^2/4, vous avez oublié la contribution de la borne inférieure. Si votre dérivée ne correspond pas à l’intégrande, vérifiez les facteurs 12\tfrac12 et 14\tfrac14.

Comment le tutorat aide

Votre tuteur peut vous aider à choisir une méthode d’intégration ou à expliquer celle que vous avez essayée, vérifier avec vous un facteur ou un terme aux bornes, puis travailler un problème semblable avant un nouvel essai autonome. Pour les séries, il peut vous aider à préciser les conditions d’un critère de convergence et à tester séparément chaque borne d’une série de puissances.

Préparation aux examens de 201-SN3-RE

Variez les intégrales pour vous exercer à choisir la méthode, puis justifiez chaque critère de convergence et vérifiez séparément les bornes des séries de puissances.

Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.

Tutorat 201-SN2-RECalcul différentiel
Pratique autonome

Exercices gratuits et guides pour 201-SN3-RE

35 min

Choisir une méthode d’intégration

Comparez la substitution, l’intégration par parties, les fractions partielles et la substitution trigonométrique, avec choix des signes, exemples résolus et exercices progressifs.

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Envoyez votre sujet et vos disponibilités. Nous confirmerons les notions couvertes et l’horaire par texto ou courriel avant le paiement.

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Questions sur les séances

Dans quelle langue les séances se déroulent-elles?

Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

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