John Abbott 201-SN4-RE | Tutorat et préparation aux examens

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Le cours 201-SN4-RE à John Abbott relie les systèmes linéaires, les matrices et les déterminants à la géométrie vectorielle et à ses applications. La leçon ci-dessous développe la distance d’un point à un plan dans ce contexte.

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Notions à travailler pour 201-SN4-RE

Systèmes linéairesMatricesDéterminantsGéométrie vectorielleApplications des vecteurs

Difficultés fréquentes

Trouver le pied de la perpendiculaire, pas seulement une distance
Garder le numérateur signé jusqu’au calcul de la longueur
Vérifier l’équation du plan et la direction normale

Distance à un plan : trouver le point le plus proche

Trouvez le point d’un plan le plus proche d’un point donné, calculez la distance et vérifiez les deux résultats. Il faut connaître le produit scalaire et la norme d’un vecteur. Les coordonnées utilisent la même unité de longueur sur trois axes perpendiculaires.

Avant de commencer : revoir le produit scalaire et la projection dans le guide sur les matrices et les vecteurs.

Le segment le plus court suit la normale

Soit $\Pi$ le plan $ax+by+cz=k$ , où $a,b,c,k$ sont des constantes réelles et $\mathbf n=(a,b,c)\ne\mathbf0$ . Le vecteur normal $\mathbf n$ est perpendiculaire au plan. Pour un point $P=(p_x,p_y,p_z)$ , le pied de la perpendiculaire $H$ est le point du plan atteint en partant du point donné et en suivant la direction normale. Si $P$ appartient déjà au plan, $H=P$ et la distance est nulle.

Construire la formule à partir de deux conditions

Le pied doit appartenir au plan, et le vecteur qui le relie à $P$ doit suivre la normale. Écrivons $H=P-t\mathbf n$ , où $t$ est un scalaire réel. Substituons dans l’équation du plan : $\begin{aligned}\mathbf n\cdot H&=k,\\\mathbf n\cdot P-t\|\mathbf n\|^2&=k.\end{aligned}$

Définissons le numérateur signé $s=\mathbf n\cdot P-k$ . Comme $\mathbf n\ne\mathbf0$ , le carré de sa norme est positif, donc $\begin{aligned}t&=\frac{s}{\|\mathbf n\|^2},\\H&=P-\frac{s}{\|\mathbf n\|^2}\mathbf n,\\d&=\|t\mathbf n\|=|t|\,\|\mathbf n\|\\&=\frac{|s|}{\|\mathbf n\|}.\end{aligned}$ Ici, $d$ est la distance, dans l’unité de longueur des coordonnées. Utilisez le carré de la norme pour le pied, et la norme pour la distance.

Exemple résolu

Trouvez le point du plan $\Pi:2x-y+2z=-2$ le plus proche de $P=(4,1,0)$ , puis calculez la distance.

1. Relever la normale et calculer le numérateur signé

Les coefficients donnent $\mathbf n=(2,-1,2)$ . Ainsi, $\|\mathbf n\|^2=4+1+4=9$ et $\|\mathbf n\|=3$ . Le membre de droite est $k=-2$ , donc $\begin{aligned}s&=\mathbf n\cdot P-k\\&=8-1+0+2=9.\end{aligned}$

2. Atteindre le pied de la perpendiculaire

Le scalaire vaut $t=9/9=1$ . Soustrayons le vecteur normal correspondant : $\begin{aligned}H&=(4,1,0)\\&\quad-(2,-1,2)\\&=(2,2,-2).\end{aligned}$

3. Vérifier le point et la direction

Le pied appartient au plan, car $2(2)-2+2(-2)=-2$ . De plus, $P-H=(2,-1,2)=\mathbf n$ , donc le segment est perpendiculaire au plan. Les deux conditions sont vérifiées. Sa longueur vaut $d=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=3.$ Le point le plus proche est $(2,2,-2)$ ; la distance vaut 3 unités de longueur des coordonnées.

Une coupe perpendiculaire à échelle uniforme passe par P=(4,1,0), H=(2,2,−2) et Q=(3,4,−2). H et Q appartiennent au plan. HP est perpendiculaire à HQ et mesure 3; le trajet oblique PQ mesure racine carrée de 14 et est plus long. — Coupe perpendiculaire, avec la même échelle de longueur dans les deux directions. La droite horizontale est l’intersection de cette coupe et du plan; elle ne représente ni un axe de coordonnées ni le plan entier. Ici, $Q=(3,4,-2)$ appartient au plan, $Q-H=(1,2,0)$ et $\|H-Q\|=\sqrt5$ . Ainsi, $\|P-Q\|=\sqrt{9+5}=\sqrt{14}>3$ .

Pourquoi ce point est bien le plus proche

Pour tout point $Q$ du plan, le produit scalaire de $H-Q$ et de $P-H$ est nul. Le théorème de Pythagore donne $\begin{aligned}\|P-Q\|^2&=\|P-H\|^2\\&\quad+\|H-Q\|^2.\end{aligned}$ Le second terme est positif ou nul, et il est nul uniquement si $Q=H$ . Donc $H$ est l’unique point le plus proche.

Deux vérifications à faire seul

1. Un point de l’autre côté

Pour $R=(0,3,-4)$ et $\Pi:2x-y+2z=-2$ , trouvez le pied de la perpendiculaire et la distance. Vérifiez que le pied appartient au plan et que le vecteur qui le relie à $R$ est parallèle à $(2,-1,2)$ .

Voir la solution expliquée

Utilisez $\mathbf n=(2,-1,2)$ . Le numérateur signé vaut $s=0-3-8-(-2)=-9$ , donc $t=-9/9=-1$ . Ainsi, $\begin{aligned}H_R&=R-(-1)\mathbf n\\&=(2,2,-2),\\d&=|-9|/3=3.\end{aligned}$

Le pied appartient bien au plan, car $2(2)-2+2(-2)=-2$ . Le vecteur de liaison est $R-H_R=(-2,1,-2)=-\mathbf n$ . Il est perpendiculaire au plan, même s’il pointe dans le sens opposé à la normale choisie. La distance vaut 3 unités de longueur des coordonnées; la distance signée vaut $-3$ .

2. Un même plan, une autre équation

Soit $S=(4,2,0)$ et $\Gamma:x+2y-2z=2$ . Trouvez son pied de la perpendiculaire et sa distance au plan. Puis utilisez l’équation équivalente $-2x-4y+4z=-4$ pour expliquer lesquels des résultats suivants changent : le numérateur signé, la distance signée, le pied et la distance usuelle.

Voir la solution expliquée

Utilisez d’abord $\mathbf m=(1,2,-2)$ . Alors $\|\mathbf m\|^2=9$ , $s=4+4-0-2=6$ et $\begin{aligned}H_S&=S-\tfrac23\mathbf m\\&=(\tfrac{10}3,\tfrac23,\tfrac43),\\d&=6/3=2.\end{aligned}$ Le pied appartient bien au plan, car $10/3+4/3-8/3=2$ , et $S-H_S=\tfrac23\mathbf m$ .

La nouvelle normale est $\mathbf m^{\prime}=-2\mathbf m$ , dont le carré de la norme vaut 36 et la norme vaut 6. Le nouveau numérateur signé vaut $s^{\prime}=-8-8+0-(-4)=-12$ . Le vecteur à soustraire pour obtenir le pied est $\frac{-12}{36}(-2\mathbf m)=\tfrac23\mathbf m.$ Le pied reste le même. Le numérateur signé passe de 6 à $-12$ , et la distance signée passe de 2 à $-2$ . La distance usuelle reste $|-12|/6=2$ unités de longueur des coordonnées.

Pour approfondir la géométrie vectorielle et la distance d’un point à un plan :

Comment le tutorat aide

Votre tuteur peut vérifier vos opérations sur les lignes à partir des équations initiales et expliquer un calcul vectoriel à l’aide d’un schéma. Pour la distance d’un point à un plan, vous pouvez vérifier ensemble la direction normale et le pied de la perpendiculaire, puis résoudre un problème semblable de façon autonome.

Préparation aux examens de 201-SN4-RE

Retenez les systèmes, matrices, déterminants et notions de géométrie vectorielle prévus dans votre section. Faites une série variée sans indication de méthode : choisissez comment commencer, montrez les calculs et vérifiez le résultat dans les équations initiales ou le schéma. Refaites ensuite un exercice manqué sans consulter la solution.

Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.

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