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Une accélération nulle peut accompagner une chute à vitesse non nulle

Un corps idéalisé tombe verticalement dans de l’air immobile. Prenez le bas comme sens positif et notez $v\ge0$ sa vitesse de chute en mètres par seconde. Supposez une force de traînée vers le haut de grandeur $cv^2$ , avec $c=0{,}50\,\mathrm{N\,s^2/m^2}$ . Ce coefficient reste constant pendant tout le mouvement. La masse est $m=2{,}0\,\mathrm{kg}$ . Utilisez $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ ; négligez la poussée d’Archimède et toute autre force. Trouvez la vitesse limite, c’est-à-dire la vitesse de chute constante pour laquelle l’accélération est nulle. L’accélération est-elle déjà nulle à $v=4{,}0\,\mathrm{m/s}$ ? Prévoyez son sens avant de calculer.

Voir un indice

Dessinez le poids vers le bas et la traînée vers le haut. La condition de vitesse limite annule la force résultante, pas la vitesse ni chacune des forces.

Voir le raisonnement

1. Écrire l’équation signée des forces. Notons $a$ l’accélération, positive vers le bas. La deuxième loi de Newton donne $ma=mg-cv^2$ . À $v=4{,}0\,\mathrm{m/s}$ , le poids vaut $mg=20\,\mathrm N$ et la traînée, $0{,}50(4{,}0)^2=8{,}0\,\mathrm N$ . Ainsi, $a=(20-8)/2=6{,}0\,\mathrm{m/s^2}$ vers le bas : la vitesse de chute augmente encore.

2. Annuler l’accélération pour la condition limite. En notant $v_T$ la vitesse limite, $0=mg-cv_T^2$ , donc

$v_T=\sqrt{\frac{mg}{c}}=\sqrt{40}\,\mathrm{m/s}\approx6{,}32\,\mathrm{m/s}.$

On prend la racine positive parce que $v_T$ représente une vitesse de chute vers le bas. Son carré a pour unités $\mathrm N/(\mathrm{N\,s^2/m^2})=\mathrm{m^2/s^2}$ .

3. Vérifier l’équilibre et l’interprétation. À cette vitesse, la traînée vaut $0{,}50(40)=20\,\mathrm N$ , comme le poids. Les forces restent présentes et le corps continue à tomber. Au-dessus de cette vitesse, le modèle donne une accélération vers le haut, qui ralentit un corps descendant; en dessous, l’accélération est vers le bas. La loi supposée décrit cet exemple, pas tous les régimes de traînée.

À vous : changer la masse sans changer la géométrie

Considérez un corps de même forme, de même orientation et de même coefficient de traînée, mais de masse $m=4{,}5\,\mathrm{kg}$ . Gardez les mêmes hypothèses et la même valeur de $g$ . Prévoyez si multiplier la masse par 2,25 multiplie aussi la vitesse limite par 2,25, puis calculez la nouvelle vitesse limite et comparez-la à la première.

Vérifier le facteur de variation

Le nouveau poids vaut $4{,}5(10)=45\,\mathrm N$ . L’équilibre donne $0{,}50v_T^2=45$ , donc $v_T=\sqrt{90}\,\mathrm{m/s}\approx9{,}49\,\mathrm{m/s}$ . Le rapport à la première vitesse est $\sqrt{90/40}=1{,}5$ .

À $c$ et $g$ constants, la vitesse limite est proportionnelle à la racine carrée de la masse : $\sqrt{2{,}25}=1{,}5$ . Vérification de la force : $0{,}50(90)=45$ N. Multiplier la vitesse par 2,25 multiplierait la traînée par $2{,}25^2$ , ce qui ne compenserait pas le nouveau poids. Il faut conserver le coefficient de traînée : changer la forme demanderait un nouveau modèle.

Revoir le diagramme des forces avant une loi de traînée Cette leçon préalable aide à choisir l’objet, les axes et les composantes des forces. Elle ne remplace pas le modèle de traînée ci-dessus.

Un tuteur peut vérifier le sens des forces et vous demander si l’accélération nulle est une hypothèse ou un résultat. Apportez cette décision avec votre calcul.

Matières connexes

Repérez la matière qui correspond au chapitre étudié.

MécaniqueÉlectricité et magnétismeOndes, optique et physique moderne

Difficultés fréquentes

Transformer la situation en modèle
Utiliser vecteurs, signes et unités avec cohérence
Choisir le principe physique pertinent

Comment le tutorat aide

Nous confirmons le soutien possible pour votre chapitre et les disponibilités avant la réservation. Un tuteur peut vous aider à distinguer l’accélération à une vitesse donnée de la vitesse limite, écrire l’équation signée des forces et expliquer pourquoi des forces équilibrées ne signifient pas l’arrêt du corps. Vous pouvez travailler ensemble à partir de l’exemple de traînée ci-dessus ou d’une autre question autorisée.

Préparation aux examens de 203-SNV-MS

Si la traînée fait partie de votre évaluation, résolvez la question de vitesse limite en gardant la solution fermée. Remplacez la vitesse dans la loi de traînée supposée et vérifiez que la traînée égale le poids. Réessayez avec la nouvelle masse, en gardant le coefficient de traînée et l’accélération gravitationnelle constants, puis comparez le résultat au rapport des vitesses prévu.

Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

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Envoyez votre sujet et vos disponibilités. Nous confirmerons les notions couvertes et l’horaire par texto ou courriel avant le paiement.

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Questions sur les séances

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Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

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