Tutorat MATH 264 · McGill

Pointez le pouce droit vers le haut. Les doigts repliés indiquent le sens positif du bord : antihoraire vu depuis les $z$ positifs. Stokes exige une surface orientée, lisse ou lisse par morceaux, un bord d’orientation compatible et un champ continûment différentiable sur un voisinage ouvert de la surface.

Le disque est lisse, son bord circulaire aussi, et le champ polynomial est continûment différentiable partout. Son rotationnel est $\nabla\times\mathbf F=(0,0,2)$. Ainsi,

Pour vérifier directement le long du bord, prenez $\mathbf r(t)=(2\cos t,2\sin t,1)$, $0\le t\le2\pi$. Alors $\mathbf r'=(-2\sin t,2\cos t,0)$ et $\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)=4$, ce qui donne encore $8\pi$.

Le disque n’est pas une surface fermée : lui appliquer le théorème de la divergence ne calculerait pas cette circulation. Stokes relie la circulation au flux du rotationnel, pas au flux du champ $\mathbf F$ lui-même.

La normale compatible est désormais $(0,0,-1)$ et la circulation vaut $-8\pi$. Une vérification directe avec $\mathbf r_{\rm rev}(t)=(2\cos t,-2\sin t,1)$ donne le produit scalaire $-4$. Inverser seulement le bord en gardant la normale vers le haut associerait deux orientations incompatibles.

Pour dériver en $t$, traitez $\sin x$ comme une constante. Pour calculer $u_{xx}$, dérivez deux fois en $x$. Substituez ensuite, séparément, les positions aux limites et le temps initial.

Les dérivées sont

Ainsi, $u_t=u_{xx}$ en tout point intérieur. Comme $\sin0=\sin\pi=0$, les deux valeurs aux limites sont nulles pour tout $t\ge0$. Enfin, $e^0=1$, donc $u(x,0)=\sin x$ sur tout l’intervalle. Le profil initial concorde aussi avec les valeurs nulles aux extrémités $x=0,\pi$.

Testez maintenant $v(x,t)=2e^{-t}\sin x$. Cette fonction vérifie la même EDP et les deux conditions aux limites, mais $v(x,0)=2\sin x$ ne respecte pas le profil initial demandé; par exemple, elle donne $2$ plutôt que $1$ en $x=\pi/2$. Une solution de l’équation différentielle seule n’est pas nécessairement une solution du problème complet avec conditions initiales et aux limites.

Le profil sinusoïdal conserve ses zéros et sa forme tandis que son amplitude décroît. Nous vérifions ici une solution proposée, sans encore établir comment la trouver.

Chaque dérivation du sinus ou du cosinus en $x$ apporte un facteur $2$ par la règle de chaîne.

Pour $u=e^{-4t}\sin(2x)$, les dérivées $u_t$ et $u_{xx}$ valent toutes deux $-4e^{-4t}\sin(2x)$. Les sinus aux extrémités sont nuls, et le facteur temporel vaut $1$ en $t=0$. La première fonction respecte les limites et les données initiales, mais son résidu d’EDP vaut $u_t-u_{xx}=3e^{-t}\sin(2x)$, qui n’est pas identiquement nul. Le fait qu’il s’annule à certaines positions ne suffit pas.

La limite de droite a changé. Vérifiez sa valeur avec le nouveau sinus, puis comparez les deux dérivées.

Deux dérivations spatiales donnent $u_{xx}=-\tfrac14e^{-\lambda t}\sin(x/2)$; la dérivée temporelle donne $u_t=-\lambda e^{-\lambda t}\sin(x/2)$. Leur égalité exige $\lambda=1/4$. Les valeurs aux extrémités sont nulles puisque $\sin0=\sin\pi=0$, et le profil demandé est retrouvé en $t=0$. Changer l’intervalle peut changer la fréquence spatiale admissible et le taux de décroissance. Réutiliser automatiquement $e^{-t}$ ferait échouer la vérification de l’EDP.

L’EDP et les conditions aux limites nulles sont linéaires. Vérifiez chaque mode sinusoïdal avec son propre facteur temporel, puis additionnez les résultats. La linéarité ne rend pas leurs taux de décroissance identiques.

Les dérivées $u_t$ et $u_{xx}$ valent toutes deux $$\begin{aligned}&-e^{-t}\sin x\\&\quad+18e^{-9t}\sin(3x)\end{aligned}$$. Les deux sinus s’annulent en $x=0,\pi$; prendre $t=0$ redonne le profil initial demandé. La fonction à facteur commun $$\begin{aligned}w&=e^{-t}[\sin x\\&\qquad-2\sin(3x)]\end{aligned}$$ vérifie $$\begin{aligned}w_t-w_{xx}&=-16e^{-t}\sin(3x)\end{aligned}$$; elle ne satisfait donc pas l’EDP.

À vous, sans solution : pour le profil initial $3\sin(2x)+\sin(4x)$ sur le même intervalle, écrivez et vérifiez une solution à deux modes avant d’ouvrir la réponse suivante.

Prenez $$\begin{aligned}u&=3e^{-4t}\sin(2x)\\&\quad+e^{-16t}\sin(4x)\end{aligned}$$. Les deux dérivées valent $$\begin{aligned}&-12e^{-4t}\sin(2x)\\&\quad-16e^{-16t}\sin(4x)\end{aligned}$$. Les valeurs aux extrémités sont nulles et le profil initial demandé est retrouvé en $t=0$. Ces sommes sont finies et composées de fonctions lisses : aucune permutation entre une somme infinie et une dérivation n’est nécessaire.