Tutorat en mathématiques pour le génie en ligne

Un pas d’Euler suit le taux de variation actuel

Notons $T(t)$ la température d’un objet en degrés Celsius et $t\ge0$ le temps écoulé en secondes. Un modèle simplifié de refroidissement suppose une température uniforme dans l’objet, une température ambiante constante de $20\,{}^\circ\mathrm C$, aucun apport de chaleur interne et un coefficient constant $k=0{,}1\,\mathrm{s}^{-1}$. Le modèle est $$\frac{dT}{dt}=-k(T-20\,{}^\circ\mathrm C).$$ À partir de $T(0)=80\,{}^\circ\mathrm C$, utilisez un seul pas d’Euler explicite pour estimer la température après 2 secondes.

Le raisonnement

La méthode d’Euler explicite estime la température suivante à partir du taux de variation actuel. Soit $h$ le pas de temps positif en secondes; $T^{\prime}(t)$ est la dérivée de la température en degrés Celsius par seconde. La mise à jour est $$T(t+h)\approx T(t)+hT^{\prime}(t).$$

Au départ, l’objet est 60 degrés Celsius plus chaud que la pièce. La multiplication par $-k$ donne $$T^{\prime}(0)=-6\,{}^\circ\mathrm C/\mathrm s.$$ Le signe négatif indique que l’objet refroidit.

Pour $h=2\,\mathrm s$, la variation estimée de température est de $2(-6)=-12$ degrés Celsius. On l’ajoute à la température initiale : $$T(2\,\mathrm s)\approx68\,{}^\circ\mathrm C.$$ Des secondes multipliées par des degrés Celsius par seconde donnent une variation en degrés Celsius.

L’estimation est inférieure aux 80 degrés Celsius initiaux et supérieure à la température ambiante de 20 degrés Celsius. Elle est approximative : Euler conserve la pente initiale pendant tout le pas, alors que, dans ce modèle, la vitesse de refroidissement diminue en valeur absolue à mesure que l’objet refroidit.

À vous de jouer

Utilisez plutôt deux pas d’Euler explicite de 1 seconde. Quelle température estimez-vous après 2 secondes? Recalculez la pente après le premier pas.

Préparer votre séance

Apportez l’équation du modèle, les valeurs initiales et les unités. Distinguez les hypothèses physiques de la méthode numérique et indiquez clairement les approximations.

Exemple original de Nablio, non tiré d’un examen universitaire. Votre plan de cours détermine la matière à travailler.