MAT136H1 à U of T : tutorat et guide de calcul II

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Utilisez une intégrale pour retrouver une variation accumulée à partir d’un taux, puis interprétez le résultat. MAT136H1 à U of T St. George relie ces idées aux séries et aux modèles d’équations différentielles.

Notions à travailler pour MAT136H1

Intégration, substitution et intégration par partiesIntégrales impropresPolynômes et séries de TaylorCritère du rapport et rayon de convergence des séries de puissancesÉquations différentielles du premier ordre et systèmes; modèles séparablesCalcul formel pour les intégrales et équations différentielles

Difficultés fréquentes

Choisir une méthode selon la structure de l’intégrande, puis conserver signes et bornes
Distinguer approximation finie et série infinie, puis résultat symbolique et justification de convergence

Se préparer à ce cours

Révisez les règles de la chaîne et du produit, la dérivation des exponentielles et les manipulations algébriques. Vérifiez une primitive par dérivation. Utilisez le signe du taux pour repérer où la quantité accumulée augmente ou diminue avant d’intégrer. Ce sont des conseils d’étude, pas des conditions d’inscription.

Conditions d’inscription

Un cours parmi : MAT130H1 / MAT135H1 / MAT135H5 / MATA30H3 / MATA31H3 / APS162H1 / ESC194H1 / MAT186H1 / MAT196H1. Consultez le calendrier pour les exclusions et les règles d’inscription.

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Un problème pour s’exercer

Notons $t$ le temps écoulé en minutes et $Q(t)$ la quantité de liquide en litres. Le taux net de variation de la quantité de liquide est constant : $Q^{\prime}(t)=-2$ L/min pendant trois minutes. Si $Q(0)=10$ L, que vaut $Q(3)$ ?

Voir le raisonnement

L’intégrale donne la variation, pas la quantité finale : $\int_0^3(-2)\,dt=-6$ L. Ajoutez la quantité initiale : $Q(3)=10-6=4$ L. Le taux négatif indique une diminution; la quantité restante n’est pas négative.

Un taux variable : quantité restante et variation totale

L’intégrale d’un taux net mesure une variation signée. Si le taux change de signe, la quantité finale peut masquer une diminution plus importante suivie d’une remontée.

1. Définir le modèle et étudier le signe

Notons $t$ la valeur numérique du temps en minutes depuis le début de l’observation. Notons $Q(t)$ la valeur numérique de la quantité de liquide en litres, avec $Q(0)=10$ . Supposons que son taux net, exprimé en L/min, ait pour valeur numérique $r(t)=6(t-1)e^{-t},\qquad 0\le t\le3.$ Ainsi, $Q^{\prime}(t)=r(t)$ . L’exponentielle utilise la valeur numérique du temps en minutes. Comme $e^{-t}>0$ , le taux est négatif avant $t=1$ , puis positif. Trouvez la quantité finale et la somme des diminutions et des augmentations en valeur absolue.

Le taux est négatif jusqu’à une minute puis positif. Les régions ombrées montrent la diminution puis l’augmentation de la quantité. — L’aire sous l’axe du temps correspond à une diminution; celle au-dessus à une augmentation. Les aires signées se compensent partiellement dans la variation nette.

2. Choisir une méthode qui simplifie le travail

Le facteur linéaire $t-1$ devient constant par dérivation, tandis que l’exponentielle reste facile à intégrer. L’intégration par parties convient donc. Posons $u=t-1$ et $dv=e^{-t}\,dt$ , d’où $du=dt$ et $v=-e^{-t}$ . Alors $\begin{aligned}&\int6(t-1)e^{-t}\,dt\\&=-6(t-1)e^{-t}\\&\quad+6\int e^{-t}\,dt\\&=-6te^{-t}+C.\end{aligned}$ Ici, $C$ est une constante arbitraire. En notant cette primitive $F(t)=-6te^{-t}$ , on vérifie que $F^{\prime}(t)=-6e^{-t}+6te^{-t}=r(t)$ . La substitution $u=t-1$ ne ferait que déplacer le facteur linéaire : il resterait un produit d’un facteur linéaire et d’une exponentielle.

3. Retrouver la quantité finale

Le théorème fondamental du calcul donne $\begin{aligned}Q(3)-Q(0)&=\int_0^3r(t)\,dt\\&=F(3)-F(0)\\&=-18e^{-3}\\&\approx-0{,}896.\end{aligned}$ Il s’agit d’une perte nette d’environ 0,896 L. La quantité finale vaut donc $Q(3)=10-18e^{-3}\approx9{,}104\text{ L}.$ Il faut ajouter la quantité initiale : l’intégrale seule ne donne pas la quantité restante.

4. Additionner les valeurs absolues pour mesurer toute la variation

La quantité diminue d’abord de $6/e$ L, puis augmente de $6/e-18e^{-3}$ L. Notons $T$ la somme de ces deux valeurs absolues, appelée variation totale de la quantité. Séparons l’intégrale au changement de signe : $\begin{aligned}T&=\int_0^3|r(t)|\,dt\\&=-\int_0^1r(t)\,dt\\&\quad+\int_1^3r(t)\,dt\\&=\frac{12}{e}-18e^{-3}\\&\approx3{,}518\text{ L}.\end{aligned}$ La valeur absolue de la variation nette ne donnerait que 0,896 L et masquerait la remontée. Le minimum vaut $Q(1)=10-6/e\approx7{,}793$ L : le réservoir ne se vide donc jamais sur cet intervalle. Le taux net seul ne permet pas de connaître séparément les volumes entrants et sortants.

Niveau 1 · Utiliser le modèle

Avec les mêmes fonctions $Q$ et $r$ , calculez la variation nette sur $1\le t\le3$ . La quantité augmente-t-elle sur tout cet intervalle?

Voir la solution expliquée

La différence aux bornes donne $F(3)-F(1)=6/e-18e^{-3}\approx1{,}311$ L. Comme $r(t)>0$ pour $1<t\le3$ , la quantité augmente après $t=1$ . Le taux nul au point de départ n’empêche pas la croissance sur l’intervalle.

Niveau 2 · Changer de taux et de méthode

Dans un autre modèle, $s(t)=4t/(1+t^2)$ est la valeur numérique du taux net en L/min, où $t$ reste la valeur numérique du temps en minutes et $0\le t\le2$ . Trouvez la variation nette. Est-elle égale à la variation totale?

Voir la solution expliquée

Utilisez la substitution $u=1+t^2$ , donc $du=2t\,dt$ , avec les nouvelles bornes 1 et 5. Alors $\int_0^2s(t)\,dt=2\int_1^5du/u=2\ln5\approx3{,}219$ L. Le taux est positif ou nul partout; la variation totale égale donc cette augmentation nette. Aucune contribution ne se compense.

Niveau 3 · Passer à une intégrale impropre

Pour prolonger le modèle mathématiquement, supposons que $r(t)=6(t-1)e^{-t}$ reste valable pour tout $t\ge0$ . Trouvez la quantité à long terme et la variation totale sur $[0,\infty)$ . Écrivez l’intégrale impropre sous forme de limite.

Voir la solution expliquée

Notons $b$ une borne temporelle finie. Comme $be^{-b}\to0$ lorsque $b\to\infty$ , $\int_0^\infty r(t)\,dt=\lim_{b\to\infty}[-6be^{-b}]=0$ . La quantité tend vers les 10 L initiaux. La diminution avant le temps 1 vaut $6/e$ en valeur absolue; la remontée ultérieure a la même amplitude. Ainsi, $\int_0^\infty|r(t)|\,dt=12/e\approx4{,}415$ L. Les deux intégrales, avant et après le changement de signe du taux, convergent. Une intégrale nette nulle ne signifie pas une absence de variation.

Avant tout calcul d’accumulation, déterminez si vous cherchez la quantité finale, la variation signée ou la somme des variations en valeur absolue. Choisissez ensuite la méthode et vérifiez signes et unités.

Comment le tutorat aide

Votre tuteur peut examiner votre tentative d’intégrale ou d’équation différentielle pour vous aider à choisir une méthode et à repérer une erreur de modèle, de bornes ou de condition initiale. Vous pouvez ensuite travailler ensemble un problème semblable en justifiant vos choix et en interprétant le résultat, y compris celui d’un outil de calcul formel si son usage est permis.

Préparation aux examens de MAT136H1

Composez une série d’exercices selon votre plan actuel : choix d’intégration, intégrale impropre écrite comme limite, approximation de Taylor, intervalle de convergence avec vérification des extrémités et modèle différentiel. Justifiez chaque méthode. Vérifiez les règles concernant le calcul formel et les autres outils; ce guide ne donne ni date ni prédiction d’examen.

Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.

Pratique autonome

Exercices gratuits et guides pour MAT136H1

35 min

Choisir une méthode d’intégration

Comparez la substitution, l’intégration par parties, les fractions partielles et la substitution trigonométrique, avec choix des signes, exemples résolus et exercices progressifs.

Besoin d’aide pour MAT136H1?

Envoyez votre sujet et vos disponibilités. Nous confirmerons les notions couvertes et l’horaire par texto ou courriel avant le paiement.

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Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

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3. Retrouver la quantité finale

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Niveau 1 · Utiliser le modèle

Niveau 2 · Changer de taux et de méthode

Niveau 3 · Passer à une intégrale impropre

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