Travaillez les dérivées, les approximations par la tangente et la méthode d’Euler en MAT135H1. Suivez un exemple résolu ou partez d’une notion à expliquer. Envoyez votre sujet pour confirmer les notions que nous pouvons travailler avant de réserver.
MAT135H1 à U of T St. George relie les taux de variation aux formules, graphiques, estimations numériques et explications. L’exemple ci-dessous montre comment une dérivée mène à une approximation affine et à un pas d’Euler.
Révisez la notation fonctionnelle, les fractions, les puissances et les échelles des graphiques. Calculez un taux moyen et précisez ses unités avant de revoir les règles de dérivation. Utilisez les guides liés pour l’algèbre et les limites. Ce sont des conseils d’étude; le préalable officiel est le calcul de niveau secondaire.
Calcul de niveau secondaire. Consultez la fiche officielle pour les exclusions. Il s’agit du cours MAT135H1 du campus St. George.
Consulter le catalogue officielSoit un réel et . Utilisez la tangente en pour estimer . Pourquoi l’estimation devrait-elle être légèrement trop grande?
La dérivée est la pente à l’abscisse . On a et , donc . Notons l’approximation par la tangente. Alors , d’où . Pour les abscisses positives, les pentes diminuent quand l’abscisse augmente : la courbe reste sous sa tangente, donc l’estimation est trop grande. Le calcul direct donne .
Un taux donne la pente d’un graphique et permet d’estimer une variation sur un court intervalle. Cet exemple original relie ces idées et compare plusieurs pas d’Euler au prolongement d’une seule tangente.
Soit le temps en heures et la quantité d’une substance en milligrammes. Prenons le modèle idéalisé , où est la base de l’exponentielle naturelle et la constante s’exprime en heures inverses. Le symbole prime dans désigne la dérivée par rapport au temps. On obtient La formule vérifie donc l’équation différentielle « le taux vaut 0,2 fois la quantité actuelle » et la condition initiale . Il suffit ici de dériver pour vérifier la solution.
Initialement, milligrammes par heure. Sur le graphique du temps en abscisse et de la quantité en ordonnée, la tangente au point a une pente de 20. Une petite durée produit donc environ 20 fois cette durée en milligrammes supplémentaires. Cela ne prédit pas une augmentation exacte de 20 milligrammes sur une heure entière. Notons une durée en heures. Le taux moyen est Pour des durées de 0,1 et 0,01 heure, il vaut environ 20,2013 et 20,0200 milligrammes par heure. Ce sont des pentes de sécantes, les droites qui relient le point de départ à un point ultérieur du graphique. Elles se rapprochent du taux instantané 20 lorsque l’intervalle diminue.
Notons l’approximation par la tangente près du temps zéro. La quantité initiale vaut 100 et la pente initiale vaut 20, donc À , on estime milligrammes. Le modèle exact donne , soit environ 0,0201 milligramme de plus. La pente réelle augmente avec la quantité, tandis que la tangente conserve sa pente de 20. La longueur de l’intervalle compte dans la précision de cette approximation locale.
Utilisons maintenant seulement et la quantité initiale pour estimer la quantité après une heure. Soit heure le pas, le numéro du pas, le temps correspondant et l’estimation d’Euler en milligrammes. La minuscule désigne une approximation; est la valeur exacte du modèle. La règle est La première pente vaut , donc . Au nouveau point approché, la pente vaut , donc . Chaque augmentation est une durée multipliée par un taux; elle s’exprime en milligrammes.
Après une heure, la première tangente donne , les deux pas d’Euler donnent 121 et le modèle exact donne . Euler améliore l’estimation en actualisant la pente, mais sous-estime encore la quantité : le taux positif continue d’augmenter pendant chaque pas. Un champ de pentes place un petit segment de pente à chaque temps et quantité représentés. À quantité égale, les pentes sont égales; aux quantités positives plus grandes, elles sont plus fortes. Euler utilise la pente au point approché de départ de chaque pas.
Pour le même modèle, calculez avec ses unités. Est-ce le taux moyen de la première heure?
milligrammes par heure est le taux instantané après une heure. Le taux moyen vaut milligrammes par heure. Ils diffèrent, car le taux augmente pendant cette heure.
Appliquez Euler jusqu’à une heure avec heure. Donnez les quatre quantités successives et comparez la dernière à la valeur exacte.
Chaque pas multiplie l’estimation actuelle de la quantité par . À partir de 100 milligrammes, les quatre estimations sont : 105 ; 110,25 ; 115,7625 ; 121,550625 milligrammes. La valeur exacte est environ 122,1403 : l’erreur est donc environ 0,5897 milligramme, contre 1,1403 pour le pas de 0,5 heure. Le plus petit pas est plus précis ici; les deux valeurs restent approchées.
Quelqu’un propose milligrammes pour Euler après une heure avec un pas de 0,5 heure. Expliquez et corrigez l’hypothèse incorrecte.
La pente est restée fixée à sa valeur initiale de 20. Après le premier pas, la quantité approchée vaut 110, donc la nouvelle pente est . L’augmentation suivante vaut , d’où . Le résultat 120 suit la première tangente sans actualiser la pente.
Choisissez un autre modèle de taux dans vos exercices. Précisez le point initial, les unités et le pas, puis distinguez les valeurs exactes des estimations.
Votre tuteur peut comparer votre calcul à votre graphique ou à votre explication pour repérer une limite, une dérivée ou un taux mal interprété. Pour une tentative avec la méthode d’Euler, vous pouvez examiner ensemble une étape, distinguer une erreur de pente d’une erreur de calcul, puis pratiquer la suivante avec accompagnement.
À partir de votre plan actuel, combinez une limite ou un graphique, une dérivée à interpréter, une approximation locale à justifier et un calcul d’Euler. Vérifiez les signes, les unités et la distinction entre égalité et approximation. Le plan de votre groupe précise la matière évaluée, les dates et les outils permis.
Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.
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