Approximation de Taylor : quelle est l’erreur de votre polynôme?

Nablio · 25 minPublié le 3 octobre 2026

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Pour les notions du cours et l’aide individuelle, consultez le tutorat MATH 205 à Concordia.

Un polynôme peut remplacer une fonction plus difficile à calculer lorsqu’on cherche une estimation rapide ou un modèle local simple. Cette estimation devient plus utile si l’on sait de combien elle peut s’écarter de la valeur exacte. Le but est donc double : obtenir une approximation et justifier une erreur maximale.

Vous estimerez un logarithme près d’une valeur connue, choisirez assez de termes pour une exponentielle, puis essaierez quatre exercices avec indices et réponses séparés. Sachez calculer des dérivées et manipuler des puissances. Toutes les entrées et sorties de cette leçon sont sans unité; les angles sont en radians.

Ces exercices originaux accompagnent les notions de Taylor et de Maclaurin figurant dans MATH 205 à Concordia. La leçon porte sur des approximations finies. Pour déterminer plutôt où converge une série de puissances infinie, consultez les intervalles de convergence et leurs bornes.

Pour l’automne 2026, le plan de MATH 205 à Concordia exclut explicitement l’inégalité de Taylor. Considérez le travail sur les bornes d’erreur de cette leçon comme un approfondissement, sauf si votre enseignant l’inclut; suivez le plan actuel de votre section pour la matière évaluée.

1. Construire un polynôme autour d’un centre utile

Soit $f$ la fonction à approximer, $a$ un centre fixe et $x$ la valeur d’entrée visée. Choisissez un centre où la fonction et ses dérivées se calculent facilement, de préférence près de $x$ . La distance est $|x-a|$ , pas nécessairement $|x|$ .

Le polynôme de Taylor d’ordre $n$ , noté $P_n$ , utilise les dérivées jusqu’à l’ordre $n$ :

$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$

Ici, $n$ est un entier positif ou nul. L’indice $k$ va de 0 à $n$ : la somme compte donc $n+1$ termes avant de retirer ceux dont le coefficient est nul. La notation $f^{(k)}$ désigne la dérivée d’ordre $k$ , avec $f^{(0)}=f$ . La factorielle $k!$ est le produit des entiers de 1 à $k$ ; $0!=1$ . En particulier, $2!=2$ et $3!=6$ .

À l’ordre deux, la formule devient :

$\begin{aligned}P_2(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)\\&\quad+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2.\end{aligned}$

Le terme constant reproduit la valeur de la fonction, le terme linéaire reproduit sa pente et le terme quadratique reproduit sa dérivée seconde au centre. La division par $2!$ compense les deux dérivations du carré. La même idée explique les autres factorielles.

Ordre et degré : le degré de $P_n$ est au plus $n$ , car certains coefficients peuvent être nuls. Quand $a=0$ , on parle de polynôme de Maclaurin; la méthode reste la même.

Dans le graphique, $e^x$ désigne l’exponentielle naturelle, avec $e\approx2.718$ .

Sur l’intervalle de moins un à un, l’exponentielle et ses polynômes de Maclaurin linéaire et cubique passent par le point d’abscisse zéro et d’ordonnée un. Sur cet intervalle, la courbe cubique suit l’exponentielle de plus près que la tangente. Le graphique seul ne justifie pas une borne d’erreur. — Figure 1. La courbe continue représente $e^x$ , la droite en tirets représente le polynôme linéaire $P_1$ et la courbe en traits et points représente le polynôme cubique $P_3$ . L’accord près du centre motive la méthode. La dérivée suivante fournit la garantie.

2. Passer de la dérivée suivante à une borne d’erreur

Le reste est la différence signée entre la fonction exacte et le polynôme :

$R_n(x)=f(x)-P_n(x).$

Une condition suffisante pour appliquer la borne ci-dessous est que $f$ possède des dérivées continues jusqu’à l’ordre $n+1$ sur un intervalle ouvert contenant tout le segment de $a$ à $x$ . Choisissez un nombre $M\ge0$ tel que

$|f^{(n+1)}(t)|\le M$

pour toute entrée $t$ entre $a$ et $x$ , extrémités comprises. La lettre $t$ sert temporairement à parcourir ce segment. Le théorème de Taylor donne alors

$|R_n(x)|\le\frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.$

Appelons $B$ le membre de droite. C’est une borne supérieure, généralement différente de l’erreur réelle. Il n’est pas nécessaire de trouver le plus petit $M$ possible : toute borne supérieure justifiée convient. Le théorème et ses hypothèses sont présentés dans la section d’OpenStax sur l’approximation de Taylor, en anglais.

Construisez $P_n$ avec les dérivées évaluées au centre.
Calculez la dérivée d’ordre $n+1$ et bornez sa valeur absolue sur le segment entier.
Calculez $B$ et comparez-le à l’erreur permise $\varepsilon$ , un nombre positif.

Si $B\le\varepsilon$ , la précision absolue demandée est garantie. Si $B>\varepsilon$ , cette borne ne permet pas de conclure : l’approximation peut quand même être assez précise. Essayez une borne plus serrée de la dérivée, un ordre supérieur ou un centre pratique plus proche.

3. Exemple résolu : estimer un logarithme

Approximer $\ln(1.12)$ à l’ordre deux autour de $a=1$

Le logarithme naturel $\ln x$ est défini pour $x>0$ , et $\ln1=0$ . Le centre 1 simplifie les valeurs nécessaires :

$\begin{aligned}f'(t)&=1/t,\\f''(t)&=-1/t^2,\\f'''(t)&=2/t^3.\end{aligned}$

On a donc $f'(1)=1$ et $f''(1)=-1$ . Construisez le polynôme avant d’y substituer l’entrée visée :

$P_2(x)=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}.$

Le déplacement vaut $1.12-1=0.12$ , donc

$\begin{aligned}P_2(1.12)&=0.12-\frac{0.12^2}{2}\\&=0.1128.\end{aligned}$

Vérifier l’erreur sur le bon segment

Sur $[1,1.12]$ , toutes les dérivées nécessaires sont continues. Puisque $t\ge1$ , la dérivée troisième satisfait $0<2/t^3\le2$ . On peut prendre $M=2$ :

$\begin{aligned}|R_2(1.12)|&\le\frac{2(0.12)^3}{3!}\\&=0.000576.\end{aligned}$

Résultat : $0.1128$ approxime $\ln(1.12)$ avec une erreur absolue d’au plus $0.000576$ . La tolérance $0.001$ est donc respectée. Cette conclusion repose sur les dérivées, sans avoir besoin de connaître la valeur décimale du logarithme.

Une vérification numérique ultérieure donne $\ln(1.12)\approx0.113328685$ . L’erreur réelle est donc d’environ $0.000528685$ , sous la borne annoncée. Cette comparaison illustre la différence entre une erreur et sa borne supérieure; elle ne constitue pas la preuve.

4. Exemple résolu : atteindre la précision demandée

Approximer $e^{0.2}$ avec une erreur d’au plus $0.0005$

Choisissez le centre $a=0$ . Chaque dérivée de $f(x)=e^x$ est $e^x$ ; toutes ses dérivées valent donc 1 en zéro. Ici, $e\approx2.718$ est la base de l’exponentielle naturelle.

Sur $[0,0.2]$ , utilisez la borne pratique $e^t\le e<3$ . Ainsi, $M=3$ convient à tous les ordres de dérivation. Cette borne est volontairement large : elle se justifie facilement sans devoir calculer d’abord $e^{0.2}$ .

Essayez l’ordre deux, puis l’ordre trois :

$\begin{aligned}B_2&=\frac{3(0.2)^3}{3!}=0.004,\\B_3&=\frac{3(0.2)^4}{4!}=0.0002.\end{aligned}$

La première borne ne garantit pas la précision demandée. La deuxième le fait. Cela suffit pour choisir l’ordre trois, sans prétendre avoir trouvé le plus petit degré possible.

$\begin{aligned}P_3(x)&=1+x+\frac{x^2}{2}\\&\quad+\frac{x^3}{6},\\P_3(0.2)&=\frac{458}{375}\\&=1.221333\ldots\end{aligned}$

Résultat : la valeur exacte du polynôme $458/375$ a une erreur absolue d’au plus $0.0002$ , bien inférieure à $0.0005$ . Si vous donnez la valeur arrondie $1.22133$ , l’erreur d’arrondi est inférieure à $0.000005$ . Même en l’ajoutant, l’erreur totale reste inférieure à $0.000205$ .

5. Éviter trois fausses garanties

« La valeur absolue de la dérivée au centre est ma borne. » Seulement si cette valeur majore $|f^{(n+1)}(t)|$ partout entre le centre et la cible. Vérifier uniquement les extrémités ne suffit pas toujours non plus : un maximum intérieur est possible. Étudiez où la valeur absolue de la dérivée augmente ou diminue, utilisez une borne connue valable sur tout l’intervalle ou justifiez une autre estimation.
« Le premier terme omis borne toujours l’erreur. » Un coefficient de Taylor utilise une dérivée au centre. La formule ci-dessus exige une borne de la dérivée sur un segment. Pour une série alternée, la valeur absolue du premier terme omis borne l’erreur absolue par rapport à la somme de la série si les termes omis alternent, si leurs valeurs absolues sont décroissantes au sens large et s’ils tendent vers zéro. Pour appliquer cette règle à $f(x)$ , il faut aussi savoir que la somme de la série vaut $f(x)$ .
« Les courbes semblent proches, donc la précision est suffisante. » Un graphique ne garantit pas une très petite tolérance numérique. Votre réponse écrite doit préciser l’intervalle, la borne de la dérivée et la comparaison finale des erreurs. Si vous arrondissez le résultat décimal, comptez aussi cette erreur supplémentaire.

6. Quatre exercices, du guidé à l’autonome

Essayez chaque exercice avant d’ouvrir l’indice. Une réponse doit préciser le centre, le polynôme, le segment utilisé pour $M$ et la conclusion sur l’erreur.

1. Guidé : une racine près d’un carré parfait

Utilisez le polynôme de Taylor d’ordre un de $f(x)=\sqrt{x}$ , centré en $a=9$ , pour estimer $\sqrt{9.3}$ . Trouvez une borne valide de la dérivée seconde sur $[9,9.3]$ . L’erreur absolue est-elle d’au plus $0.0005$ ?

Indice pour l’exercice 1

Utilisez $f(9)=3$ , $f'(9)=1/6$ et $f''(t)=-1/(4t^{3/2})$ . Sa valeur absolue diminue lorsque $t$ augmente parmi les valeurs positives.

Réponse et raisonnement pour l’exercice 1

Le polynôme linéaire et sa valeur sont

$\begin{aligned}P_1(x)&=3+\frac{x-9}{6},\\P_1(9.3)&=3.05.\end{aligned}$

Le segment entier est positif. Sa plus petite entrée est 9, donc $|f''(t)|\le1/108$ . Avec $M=1/108$ , on obtient

$\begin{aligned}|R_1(9.3)|&\le\frac{(1/108)(0.3)^2}{2!}\\&=\frac1{2400}\\&\approx0.000416667.\end{aligned}$

Oui : $1/2400<0.0005$ , donc la borne garantit la précision demandée pour la valeur exacte $3.05$ .

2. Diagnostic : la cible passe de l’autre côté

Pour $\ln(0.9)$ , une personne réutilise le polynôme d’ordre deux centré en 1 et obtient $P_2(0.9)=-0.105$ . Elle reprend $M=2$ parce que $f'''(1)=2$ . Pourquoi cette justification est-elle incorrecte? Corrigez la borne.

Indice pour l’exercice 2

Le segment est maintenant $[0.9,1]$ . Où la fonction $2/t^3$ atteint-elle sa plus grande valeur sur ce segment?

Réponse et raisonnement pour l’exercice 2

La valeur du polynôme est correcte, mais la borne de la dérivée ne l’est pas. Pour les entrées inférieures à 1, $2/t^3$ dépasse 2. Son maximum sur ce segment se trouve à $t=0.9$ . On peut donc prendre

$M=\frac{2}{(0.9)^3}.$

Les dérivées nécessaires restent continues puisque le segment est entièrement positif. Avec la distance $|0.9-1|=0.1$ ,

$\begin{aligned}|R_2(0.9)|&\le\frac{2(0.1)^3}{6(0.9)^3}\\&=\frac1{2187}\\&\approx0.000457247.\end{aligned}$

Une vérification numérique ultérieure donne une erreur réelle d’environ $0.000360516$ . Elle est sous la borne corrigée, mais au-dessus de la valeur injustifiée $0.001/3$ . Déplacer la cible peut changer $M$ , même si le polynôme reste identique.

3. Approfondissement : un coefficient nul peut aider

Soit $P(x)=1-x^2/2$ . Utilisez $P(0.3)$ pour approximer $\cos(0.3)$ . Montrez que $P$ , bien que de degré deux, est aussi le polynôme de Maclaurin d’ordre trois du cosinus. Utilisez une borne de la dérivée quatrième pour garantir une erreur absolue d’au plus $0.0004$ .

Indice pour l’exercice 3

Les quatre premières dérivées du cosinus sont $-\sin x$ , $-\cos x$ , $\sin x$ et $\cos x$ . Le coefficient de $x^3$ est nul.

Réponse et raisonnement pour l’exercice 3

En zéro, la fonction et ses trois premières dérivées valent $1,0,-1,0$ . Ainsi,

$P_3(x)=1-\frac{x^2}{2},$

ce qui est de degré deux. Sur $[0,0.3]$ , la dérivée quatrième est le cosinus et sa valeur absolue est au plus 1. Donc

$\begin{aligned}|R_3(0.3)|&\le\frac{(0.3)^4}{4!}\\&=0.0003375\\<0.0004.\end{aligned}$

La valeur $P_3(0.3)=0.955$ respecte la tolérance. On a utilisé l’ordre trois dans le théorème même si aucun terme cubique n’apparaît. L’ordre décrit les dérivées reproduites, pas nécessairement la plus grande puissance non nulle.

4. Autonome : une approximation sur tout un intervalle

Approximez $e^x$ pour tout $x$ dans $[-0.4,0.4]$ , avec les polynômes de Maclaurin et la borne $M=3$ . Comparez les ordres trois et quatre. Lequel cette borne permet-elle de valider pour une erreur absolue d’au plus $0.001$ sur tout l’intervalle? Donnez le polynôme choisi.

Indice pour l’exercice 4

Chaque segment allant de 0 à une cible permise est contenu dans $[-0.4,0.4]$ , où $e^t<3$ . La plus grande distance au centre est 0.4. Utilisez cette distance dans chaque borne.

Réponse et raisonnement pour l’exercice 4

La borne de la dérivée s’applique sur l’intervalle entier, et $|x|\le0.4$ . Les bornes suivantes sont donc valides pour chaque cible permise :

$\begin{aligned}B_3&=\frac{3(0.4)^4}{4!}=0.0032,\\B_4&=\frac{3(0.4)^5}{5!}=0.000256.\end{aligned}$

L’ordre quatre est validé; la borne d’ordre trois ne permet pas de conclure. Utilisez

$\begin{aligned}P_4(x)&=1+x+\frac{x^2}{2}\\&\quad+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}.\end{aligned}$

L’erreur absolue est d’au plus $0.000256$ partout sur l’intervalle indiqué. Il s’agit d’une seule garantie pour plusieurs entrées, plutôt que d’un calcul pour une seule cible.

7. Vérifier sa méthode et poursuivre

Pouvez-vous expliquer pourquoi votre centre est pratique, pourquoi votre $M$ couvre toutes les entrées entre le centre et la cible, et si votre borne finale respecte la tolérance demandée? Si une réponse manque, corrigez cette étape avant d’ajouter des termes.

Essayez le contrôle de l’erreur de Taylor sur la page de MATH 262 à McGill pour comparer une approximation qui respecte la tolérance à une autre dont l’erreur la dépasse.

Si vous avez du mal à décider si une somme infinie converge, reprenez trois décisions de convergence à expliquer. Pour trouver toutes les entrées qui font converger une série de puissances, poursuivez avec les intervalles et les tests aux bornes. Ces questions ne remplacent pas le contrôle de l’erreur d’une approximation finie étudié ici.

Lien avec le cours : la description officielle de MATH 205 à Concordia comprend les séries de Taylor et de Maclaurin. Ces exemples d’étude sont originaux et ne sont pas des évaluations du cours. Votre plan de cours actuel détermine les méthodes et la matière exigées dans votre classe.

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