Tutorat MATH 205 Concordia : calcul intégral

Cours répertorié

Aperçu du cours

MATH 205 à Concordia développe l’intégration, les applications de l’intégrale définie, les intégrales impropres ainsi que les suites et séries. Il comprend les critères de convergence, les séries de puissances et les séries de Taylor et de Maclaurin.

Commencez ici

Dériver une intégrale à borne variable
Choisir un critère de convergence des séries
Suivre le parcours de révision de l’intra d’automne 2026

À préparer pour la suite du cours

Le plan de MATH 205 de l’automne 2026 place les suites à la semaine 8 et le critère intégral à la semaine 9, après la matière des semaines 1 à 6 de l’intra. Prouver la convergence d’une suite et borner un reste. Suivez les consignes actuelles de votre groupe.

Approfondir une étape du raisonnement

Choisissez un atelier lorsque cette notion figure dans la matière annoncée par votre enseignant. Ces exercices originaux ne reproduisent pas un examen et ne couvrent pas tout le cours.

Atelier : accumulation définie par un graphique

Notions à travailler pour MATH 205

Intégrales définies et indéfiniesTechniques d’intégrationApplications de l’intégrationIntégrales impropresSuites et convergenceSéries de puissances et de Taylor

Difficultés fréquentes

Choisir une méthode d’intégration d’après la structure
Distinguer une suite tendant vers zéro d’une série convergente

Se préparer à ce cours

Bien maîtriser les règles de dérivation, la simplification algébrique et les identités trigonométriques facilite le choix d’une méthode d’intégration.

Conditions d’inscription

Le préalable indiqué est MATH 203 ou un cours de Calcul I équivalent.

Consulter le catalogue officiel

Vérifier un préalable : la règle de la chaîne

Soit $x$ réel. Dérivez $(2x+1)^4$ par rapport à $x$ . Quel facteur vient de la fonction intérieure?

Voir le raisonnement

Posons $u=2x+1$ , la fonction intérieure. La dérivée de la fonction extérieure $u^4$ est $4u^3$ , et $du/dx=2$ . La règle de la chaîne multiplie ces taux : $4(2x+1)^3\cdot2=8(2x+1)^3$ . La dérivée intérieure apporte le facteur 2.

Dériver une accumulation dont la borne supérieure varie

Utilisez le théorème fondamental du calcul et la règle de la chaîne pour distinguer une valeur accumulée de son taux de variation.

Pour $x$ réel, soit $A(x)=\int_1^{x^2}\sqrt{1+t^2}\,dt.$ Trouvez $A^{\prime}(x)$ sans chercher de primitive. Comparez ensuite les signes de $A^{\prime}(-1)$ , $A^{\prime}(0)$ et $A^{\prime}(1)$ .

L’intégrande est positif, mais cela impose-t-il que $A$ soit croissante pour tout $x$ ? Regardez comment la borne $x^2$ évolue lorsque $x$ augmente à partir d’une valeur négative.

Voir un indice

Appelez d’abord la borne supérieure $u$ et posez $F(u)=\int_1^u\sqrt{1+t^2}\,dt$ . Le théorème fondamental donne $F^{\prime}(u)$ . Appliquez ensuite la règle de la chaîne à $A(x)=F(x^2)$ .

Voir la solution expliquée

1. Dériver par rapport à la borne

L’intégrande est continu pour tout $t$ réel, donc $F^{\prime}(u)=\sqrt{1+u^2}$ . La lettre $t$ est une variable muette d’intégration : $F$ dépend de la borne $u$ , et non de $t$ .

2. Inclure le taux de variation de la borne

Ici, $u=x^2$ , donc $du/dx=2x$ . La règle de la chaîne donne $A^{\prime}(x)=\sqrt{1+(x^2)^2}\,(2x)=2x\sqrt{1+x^4}.$ Cette formule vaut pour tout $x$ réel. Il n’est pas nécessaire de calculer une primitive.

3. Distinguer la valeur de son taux de variation

À $x=-1$ , la borne diminue lorsque $x$ augmente, donc $A^{\prime}(-1)=-2\sqrt2<0$ . À $x=1$ , $A^{\prime}(1)=2\sqrt2>0$ . À $x=0$ , $A^{\prime}(0)=0$ , car le taux de variation instantané de la borne y est nul.

Une pente nulle ne signifie pas une accumulation nulle : $A(0)=\int_1^0\sqrt{1+t^2}\,dt<0$ . Lorsque la borne supérieure est plus petite que la borne inférieure, l’intégrale définie reste orientée : inverser les bornes change son signe.

Réessayez sans la solution

Pour $x$ réel, soit $B(x)=\int_0^{3x}\cos(t^2)\,dt.$ Trouvez $B^{\prime}(x)$ sans primitive. Que valent $B(0)$ et $B^{\prime}(0)$ , et pourquoi ne doivent-ils pas nécessairement être égaux?

Vérifier la nouvelle tentative

L’intégrande est continu et la dérivée de la borne supérieure vaut $3$ . Donc $B^{\prime}(x)=\cos((3x)^2)\,3=3\cos(9x^2).$ À zéro, les bornes coïncident, donc $B(0)=0$ ; le taux vaut $B^{\prime}(0)=3\cos0=3$ . La valeur accumulée et son taux de variation instantané répondent à des questions différentes. La formule vaut aussi pour les $x$ négatifs, avec des intégrales orientées.

Choisir la suite

Revoir le préalable sur la règle de la chaîne Si le facteur provenant de la borne manque, reprenez l’exemple sur la fonction intérieure.
Essayer une accumulation à deux bornes variables Quand vous pouvez expliquer le rôle de la borne variable, essayez la question 2(b), où les deux bornes varient.

Pour travailler cet exemple, votre tuteur peut reprendre avec vous $A^{\prime}(x)$ , la dérivée de la fonction d’accumulation, y compris le facteur de la règle de la chaîne. Vous pouvez ensuite expliquer ensemble son signe lorsque $x<0$ et modifier la borne pour une nouvelle tentative.

Exercices sur la convergence des séries

Essayez trois exercices originaux : que faire quand le critère du rapport ne permet pas de conclure, quelle inégalité utiliser dans une comparaison et comment reconnaître une convergence conditionnelle. Chaque question propose un indice facultatif et une réponse expliquée.

Essayer les trois exercices sur les séries

Comment le tutorat aide

Si vous ne savez pas quelle méthode d’intégration ou quel critère de convergence utiliser, votre tuteur peut vous aider à repérer les éléments utiles de l’expression et expliquer les conditions de la méthode. Vous pouvez travailler ensemble la mise en équation et le calcul, y compris les bornes d’une intégrale ou la vérification des extrémités pour une série de puissances. Essayez ensuite une question semblable avec de l’aide avant d’en résoudre une en autonomie.

Préparation aux examens de MATH 205

MATH 205 : exercices de début de cours et suite de la révision

La date de l’intra du 1er novembre est passée. Les exercices des semaines 1 à 6 ci-dessous restent utiles pour revoir le début du cours. Le plan de l’automne 2026 indique que le final porte sur toute la matière du cours; ces exercices ne constituent donc pas une révision complète du final. Consultez les dernières annonces de votre enseignant et l’horaire officiel des examens.

Par où commencer

À essayer d’abord : faites les questions 3 à 5 du niveau 2 sur le choix d’une méthode d’intégration sans ouvrir les solutions. Justifiez votre premier choix avant de calculer. Tracez ensuite une section en disque ou en rondelle dans la leçon sur les volumes.

Reprendre l’étape qui bloque

Si une substitution perd la différentielle ou ne modifie qu’une borne, revoyez l’explication de la substitution. Pour un produit ou une fonction rationnelle, comparez l’intégration par parties et les fractions partielles. Pour les facteurs répétés ou un facteur quadratique irréductible sur les réels, utilisez deux décompositions expliquées et quatre exercices. Si l’intégrale de départ réapparaît après deux intégrations par parties, essayez cet approfondissement facultatif : une explication et trois exercices.
Si les rayons du volume sont incorrects, utilisez l’exemple à axe décalé. Mesurez les deux rayons depuis l’axe de rotation avant de les élever au carré.
Ajoutez les exercices du cours sur les sommes finies, le théorème fondamental, les intégrales trigonométriques et la substitution trigonométrique. Les leçons liées ne remplacent pas ces parties des semaines 1 à 6. Pour comparer les méthodes, utilisez l’atelier sur les identités et la substitution trigonométriques, puis revenez aux exercices autorisés de votre cours.

Mélangez les notions, puis recommencez sans notes : intégrez $\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$ par rapport à x de 0 à 1. Faites ensuite tourner autour de l’axe des x la région entre $y=x$ et $y=x^2$ , pour $0\le x\le1$ . Les coordonnées numériques x et y utilisent une même unité de longueur. Dessinez une rondelle, nommez R son rayon extérieur et r son rayon intérieur, puis construisez et calculez le volume V en unités cubes.

Vérifier la nouvelle tentative

Posez $u=1+x^2$ : $du=2x\,dx$ et les nouvelles bornes sont $u=1$ et $u=2$ . L’intégrale vaut $\begin{aligned}\int_1^2u^{-2}\,du&=\left[-\frac1u\right]_1^2\\&=\frac12\end{aligned}$ . Pour le volume, $R=x$ et $r=x^2$ sur $0\le x\le1$ , donc $\begin{aligned}V&=\pi\int_0^1(x^2-x^4)\,dx\\&=\frac{2\pi}{15}\end{aligned}$ unités cubes. Élevez les rayons au carré séparément; l’aire entre les courbes utiliserait plutôt $x-x^2$ .

Vous pouvez demander de l’aide pour une question même si vous ne l’avez pas commencée. Apportez l’énoncé à votre enseignant, à une séance de travaux dirigés ou à un tuteur; joignez une tentative si vous en avez une. Travaillez la première étape ensemble, expliquez la méthode, puis essayez une question semblable avec moins d’aide.

Rythme adaptable : vérifiez d’abord votre façon de choisir une méthode d’intégration. Prévoyez des blocs distincts de 20 à 30 minutes pour les méthodes, le théorème fondamental du calcul et la trigonométrie, puis les mises en équation géométriques qui figurent dans la matière annoncée pour l’examen. Mélangez ensuite les types de questions et refaites les étapes manquées sans consulter les solutions.

Plan de l’automne 2026 : matière de l’intra et du final; revérifié le 2 novembre 2026.

Exercices originaux de Nablio. Adaptez les étapes à vos besoins et suivez les annonces actuelles de votre enseignant.

Conseils pour les examens de tout le cours (les sujets varient selon l’examen)

Mélangez les techniques d’intégration. Écrivez les limites qui définissent les intégrales impropres. Pour les séries de puissances, trouvez le rayon de convergence, puis testez chaque borne séparément.

Utilisez le plan de votre section pour choisir les chapitres à réviser. Nous travaillons sur des exercices autorisés et des problèmes comparables, sans réaliser de travaux évalués ni d’examens à votre place.

Liens utiles pour la préparation ou la suite des études; ce ne sont pas des équivalences ni une séquence d’inscription obligatoire.

Pratique autonome

Exercices gratuits et guides pour MATH 205

7 questions

Convergence des séries : trois décisions à justifier

Justifiez trois choix de critères de convergence, puis démontrez une limite de suite et encadrez un reste par le critère intégral. Atelier pour la suite du cours et sept exercices corrigés.

35 min

Choisir une méthode d’intégration

Comparez la substitution, l’intégration par parties, les fractions partielles et la substitution trigonométrique, avec choix des signes, exemples résolus et exercices progressifs.

8 min

Préparer MATH 203 à Concordia : liste de vérification

Vérifiez vos bases en algèbre, fonctions et trigonométrie avant MATH 203 avec des questions originales, des réponses expliquées et un plan de révision.

75 min

Séries de puissances : trouver l’intervalle et tester les bornes

Trouvez les intervalles de convergence, construisez des séries de Maclaurin et approximez une intégrale avec une erreur totale justifiée. Six exemples résolus, deux figures et quatorze exercices corrigés.

25 min

Approximation de Taylor : quelle est l’erreur de votre polynôme?

Construisez un polynôme de Taylor, justifiez une borne d’erreur et choisissez l’ordre selon la précision voulue. Deux exemples résolus, un graphique et quatre exercices progressifs avec indices et réponses.

Approfondissement facultatif : le plan de MATH 205 de l’automne 2026 exclut l’inégalité de Taylor.

35 min

Intégrales impropres : définir la limite, décider la convergence

Définissez les intégrales impropres par des limites séparées et des comparaisons. Étudiez la convergence logarithmique et les restes exacts avec des exemples résolus et huit exercices progressifs.

40 min

Volumes de révolution : construire la section avant d’intégrer

Construisez des intégrales de volume avec disques et rondelles, puis comparez rondelles et coquilles cylindriques dans un exemple facultatif.

Besoin d’aide pour MATH 205?

Envoyez votre sujet et vos disponibilités. Nous confirmerons les notions couvertes et l’horaire par texto ou courriel avant le paiement.

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Questions sur les séances

Dans quelle langue les séances se déroulent-elles?

Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

Nablio est un service indépendant sans affiliation avec cet établissement.

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