Concordia MATH 205 : examen blanc de l’intra

1. Une somme et un déplacement (10 points)

(a) La largeur est $\Delta t=2/n$ secondes et la $k$e extrémité droite est $t_k=2k/n$. Le produit d’une vitesse par cette largeur donne un déplacement en mètres.

$$\begin{gathered}S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(3-\frac{4k^2}{n^2}\right)\frac2n\\=6-\frac8{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}6.\end{gathered}$$

En développant $(n+1)(2n+1)$, on obtient $S_n=10/3-4/n-4/(3n^2)$ mètres.

(b) Ainsi, $S_2=1\,\mathrm m$ et $\lim S_n=10/3\,\mathrm m$. On peut vérifier directement : $$\begin{gathered}\int_0^2(3-t^2)\,dt\\=[3t-t^3/3]_0^2=10/3\end{gathered}$$.

(c) La vitesse décroît sur cet intervalle. Les rectangles construits à droite donnent donc une somme signée inférieure à l’intégrale. Les estimations sont inférieures au déplacement exact. Comme $v(t)<0$ pour $\sqrt3<t\le2$, l’objet change de sens. La distance est $\int_0^2|v(t)|\,dt$; elle est ici supérieure au déplacement net.

Barème indicatif

• (a) largeur et extrémités 1; somme correcte 1; formule de la somme des carrés et simplification 2
• (b) S₂ 1; limite 1; mètres 1
• (c) comparaison pour une fonction décroissante 1; intervalle du changement de sens 1; valeur absolue pour la distance 1

Vérification: L’erreur $S_n-10/3=-4/n-4/(3n^2)$ est négative pour tout entier positif $n$.

D1 : Si vous avez additionné des vitesses sans largeur temporelle, écrivez les unités d’un terme avant le calcul. Si vous avez appelé le résultat signé une distance, trouvez d’abord où la vitesse s’annule.

Exercices guidés d’intégration

2. Retrouver une fonction et dériver une accumulation (10 points)

(a) Une intégration donne $F(x)=2x^3-x^2+x+C$. La condition $F(0)=-3$ impose $C=-3$. Donc $F(x)=2x^3-x^2+x-3$.

(b) La fonction à intégrer est continue. Écrivons $$\begin{gathered}A(x)=\int_0^{2x}(2+t^3)\,dt\\-\int_0^x(2+t^3)\,dt\end{gathered}$$. Appliquons le théorème fondamental et la règle de la chaîne à chaque terme :

$$\begin{gathered}A^{\prime}(x)=2\{2+(2x)^3\}\\-(2+x^3)\\=2+15x^3.\end{gathered}$$

La borne inférieure dépend elle aussi de $x$. L’accumulation correspondante est soustraite, d’où le terme négatif.

Barème indicatif

• (a) primitive du polynôme 3; condition initiale 1
• (b) borne supérieure avec le facteur 2 : 2; terme négatif de la borne inférieure 2; simplification 1; explication 1

Vérification: Le calcul direct donne $A(x)=2x+15x^4/4$, dont la dérivée confirme le résultat.

D2 : S’il manque un terme de borne, séparez l’intégrale au point fixe 0. Appliquez la règle de la chaîne à chaque borne variable.

Revoir un calcul guidé à borne variable

3. Une intégrale définie avec une exponentielle (8 points)

Posons $u=1+e^x$, donc $du=e^x\,dx$. Pour $x=0$, $u=2$; pour $x=\ln2$, $u=3$. Ainsi,

$$\begin{gathered}I=\int_2^3u^{-1/2}\,du\\=[2\sqrt u]_2^3\\=2(\sqrt3-\sqrt2).\end{gathered}$$

La nouvelle variable reste positive sur tout l’intervalle : la racine et la primitive y sont bien définies.

Barème indicatif

• changement de variable et différentielle 2
• deux nouvelles bornes 2
• primitive 2
• soustraction exacte aux bornes 1; vérification du signe ou d’un encadrement 1

Vérification: La fonction à intégrer est positive. De plus, $1/\sqrt3\le I\le1/\sqrt2$, car le nouvel intervalle a une largeur de 1.

D3 : Si l’intégrale en u conserve les bornes en x, transformez les bornes ou revenez à x avant l’évaluation. Ne mélangez pas les variables.

Choisir une méthode d’intégration

4. Une intégrale avec deux facteurs (10 points)

L’intégration par parties convient : dériver $x$ élimine le facteur polynomial, et le cosinus possède une primitive simple. Prenons $u=x$, $dv=\cos x\,dx$; alors $du=dx$, $v=\sin x$.

$$\begin{gathered}J=[x\sin x]_0^{\pi/2}\\-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\\=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}\\=\frac\pi2-1.\end{gathered}$$

Une primitive est $x\sin x+\cos x$. Sa valeur à la borne inférieure est 1; il faut donc en tenir compte.

Barème indicatif

• méthode et choix de u, dv 2
• formule d’intégration par parties correcte 3
• primitive et contributions des deux bornes 3
• résultat exact 1; vérification par dérivation 1

Vérification: $\frac d{dx}(x\sin x+\cos x)=x\cos x$. La réponse est positive, comme l’exige le signe de la fonction sur cet intervalle.

D4 : Si vous trouvez π/2, évaluez toute la primitive en 0. Si l’intégrale restante se complique, revoyez le facteur à dériver.

Choisir une méthode d’intégration

5. Des puissances trigonométriques paires (10 points)

Les identités d’angle double et de réduction de puissance donnent $$\begin{gathered}\sin^2x\cos^2x\\=\tfrac14\sin^2(2x)\\=\tfrac18(1-\cos4x)\end{gathered}$$. Donc,

$$\begin{gathered}\int\sin^2x\cos^2x\,dx\\=\frac x8-\frac{\sin4x}{32}+C.\end{gathered}$$

La dérivée vaut $1/8-(4/32)\cos4x=(1-\cos4x)/8$, soit la fonction initiale selon la même identité.

Barème indicatif

• identités correctes avec les deux facteurs 4
• intégration avec le facteur de fréquence 3; constante 1
• vérification par dérivation 2

Vérification: La dérivée $(1-\cos4x)/8$ est non négative, comme doit l’être $\sin^2x\cos^2x$.

D5 : Si le coefficient du cosinus est incorrect, réduisez les puissances en deux lignes. Si celui de la primitive est incorrect, dérivez le sinus sans oublier le facteur 4.

Choisir une méthode d’intégration

6. Une expression avec un radical (12 points)

Prenons $x=2\tan\theta$, avec $0\le\theta\le\alpha=\arctan(1/2)<\pi/2$. Alors $dx=2\sec^2\theta\,d\theta$. Comme $\sec\theta>0$ sur cet intervalle, $\sqrt{x^2+4}=2\sec\theta$.

$$\begin{gathered}K=\int_0^\alpha\frac{4\tan^2\theta\,2\sec^2\theta}{8\sec^3\theta}\,d\theta\\=\int_0^\alpha(\sec\theta-\cos\theta)\,d\theta.\end{gathered}$$

On a utilisé $$\begin{gathered}\tan^2\theta/\sec\theta\\=(\sec^2\theta-1)/\sec\theta\end{gathered}$$. Une primitive est $\ln(\sec\theta+\tan\theta)-\sin\theta$; l’argument du logarithme est positif sur l’intervalle choisi.

À l’angle $\alpha$, $\tan\alpha=1/2$, $\sec\alpha=\sqrt5/2$ et $\sin\alpha=1/\sqrt5$. En 0, la primitive vaut 0. Ainsi,

$$K=\ln\frac{\sqrt5+1}{2}-\frac1{\sqrt5}.$$

Barème indicatif

• substitution, différentielle, bornes angulaires et signe de la racine 3
• intégrale transformée et identité correctes 4
• primitive 3
• valeurs exactes aux bornes et soustraction 2

Vérification: Dans la variable initiale, une primitive est $$\begin{gathered}\ln(x+\sqrt{x^2+4})\\-x/\sqrt{x^2+4}\end{gathered}$$. Sa dérivée est $$\begin{gathered}1/\sqrt{x^2+4}\\-4/(x^2+4)^{3/2}\\=x^2/(x^2+4)^{3/2}\end{gathered}$$. La valeur numérique est d’environ 0,0340, donc positive.

D6 : Si le signe de la racine n’est pas justifié, choisissez d’abord un intervalle pour l’angle. Si les facteurs 2 ne se simplifient pas, transformez séparément le numérateur, le dénominateur et la différentielle.

Choisir une méthode d’intégration

7. Une fonction rationnelle à intégrer (14 points)

Le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. Le facteur $x^2+1$ n’a pas de racine réelle; le numérateur correspondant doit donc permettre un terme de degré 1 :

$$\begin{gathered}\frac{3x^2+2x+3}{(x+1)(x^2+1)}\\=\frac A{x+1}+\frac{Bx+D}{x^2+1}.\end{gathered}$$

En multipliant par le dénominateur, on obtient $$\begin{gathered}3x^2+2x+3\\=A(x^2+1)\\+(Bx+D)(x+1)\end{gathered}$$. L’identification des coefficients donne $A+B=3$, $B+D=2$, $A+D=3$. Ainsi, $A=2$, $B=1$, $D=1$.

Il reste à intégrer $$\begin{gathered}2/(x+1)+x/(x^2+1)\\+1/(x^2+1)\end{gathered}$$, ce qui donne

$$\begin{gathered}2\ln|x+1|+\frac12\ln(x^2+1)\\+\arctan x+C.\end{gathered}$$

Cette expression est valable sur chaque intervalle contenu dans $(-\infty,-1)$ ou dans $(-1,\infty)$. La constante peut différer d’un intervalle à l’autre. Le second logarithme n’exige pas de valeur absolue, car $x^2+1>0$.

Barème indicatif

• forme correcte avec numérateur linéaire sur le facteur quadratique 3
• équations et valeurs des coefficients 4
• trois termes de la primitive 4; constante arbitraire 1
• domaine et conditions des logarithmes 2

Vérification: La dérivée donne $2/(x+1)+(x+1)/(x^2+1)$. La mise au même dénominateur fournit $$\begin{gathered}2(x^2+1)+(x+1)^2\\=3x^2+2x+3\end{gathered}$$.

D7 : Si les équations des coefficients sont incompatibles, vérifiez que vous avez prévu un terme en x sur le facteur quadratique irréductible. Si vous n’obtenez que des logarithmes, séparez x/(x²+1) et 1/(x²+1).

Choisir une méthode d’intégration

8. Deux régions bornées (12 points)

Les intersections satisfont $x^3=x$, soit $x(x-1)(x+1)=0$. Ainsi, $x=-1,0,1$. Sur $(-1,0)$, $x^3>x$; sur $(0,1)$, $x>x^3$.

L’aire géométrique totale est

$$\begin{gathered}\mathcal A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx\\+\int_0^1(x-x^3)\,dx.\end{gathered}$$

La première intégrale vaut $[x^4/4-x^2/2]_{-1}^0=1/4$. La seconde vaut $[x^2/2-x^4/4]_0^1=1/4$. Donc $\mathcal A=1/2$ unité carrée de coordonnées.

L’intégrale de l’étudiant représente une différence signée. Ses contributions négative et positive s’annulent, car $x-x^3$ est impaire. Pour l’aire géométrique, il faut calculer $\int_{-1}^1|x-x^3|\,dx$, ou séparer là où les courbes changent d’ordre.

Barème indicatif

• trois intersections 3
• courbes supérieures et explication de l’annulation signée 3
• deux intégrales non négatives et leurs évaluations 4
• aire totale et unités carrées 2

Vérification: Les deux régions ont une aire positive et se correspondent par une rotation d’un demi-tour autour de l’origine. Leurs aires sont donc égales.

D8 : Si l’aire d’une région est nulle ou négative, vérifiez l’ordre des courbes entre chaque paire d’intersections. Les contributions d’une intégrale signée peuvent s’annuler, contrairement aux aires géométriques.

Volumes et sections

9. Un solide autour d’un axe décalé (14 points)

L’axe de rotation est horizontal : prenons des tranches verticales d’épaisseur $dx$. Sur $[1,e]$, $0\le\ln x\le1<2$; toute la région est donc sous l’axe. Le bord inférieur $y=0$ en est le plus éloigné.

Le rayon extérieur est $R(x)=2$ et le rayon intérieur est $r(x)=2-\ln x$. La section est une rondelle dont le trou a un rayon $r(x)>0$. Ainsi,

$$\begin{gathered}V=\pi\int_1^e\{4-(2-\ln x)^2\}\,dx\\=\pi\int_1^e\{4\ln x-(\ln x)^2\}\,dx.\end{gathered}$$

Une intégration par parties donne $$\begin{gathered}\int_1^e\ln x\,dx\\=[x\ln x-x]_1^e=1\end{gathered}$$. Pour le carré, choisissons $u=(\ln x)^2$, $dv=dx$, donc $du=2\ln x\,dx/x$ :

$$\begin{gathered}\int_1^e(\ln x)^2dx\\=[x(\ln x)^2]_1^e\\-2\int_1^e\ln x\,dx\\=e-2.\end{gathered}$$

Donc $V=\pi\{4-(e-2)\}=\pi(6-e)$ unités cubes de coordonnées.

L’expression proposée met au carré la hauteur de la bande, $R-r=\ln x$. L’aire d’une rondelle est $\pi(R^2-r^2)$, et non $\pi(R-r)^2$. Les disques proposés correspondent plutôt à une rotation de cette région autour de $y=0$.

Barème indicatif

• orientation, bornes et deux rayons 4
• modèle de rondelles et intégrale correcte 4
• calcul des deux intégrales logarithmiques et valeur exacte 4
• unités cubes et diagnostic de l’intégrale de disques proposée 2

Vérification: Posons $L=\ln x$, avec $0\le L\le1$. Alors $3L\le4L-L^2\le4L$. Comme $\int_1^eL\,dx=1$, le volume doit se situer entre $3\pi$ et $4\pi$. La valeur $\pi(6-e)$ respecte cet encadrement.

D9 : Si la mise en équation est incorrecte, indiquez l’axe et mesurez les deux distances depuis cet axe avant d’intégrer. Si seule la valeur finale est incorrecte, vérifiez la borne inférieure dans les primitives logarithmiques.

Volumes et sections

Repérer l’erreur et reprendre

1. Pour $v(t)=2-t$ sur $[0,3]$, avec les mêmes unités qu’à la question 1, écrivez la somme à droite avec $n$ intervalles égaux et trouvez sa limite. Représente-t-elle une distance ou un déplacement net?
2. Pour $B(x)=\int_{x^2}^{3x}\cos t\,dt$, trouvez $B^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$.
3. Calculez $\int_0^{\ln3}\frac{e^x}{2+e^x}\,dx$.
4. Calculez $\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx$.
5. Trouvez $\int\cos^2(3x)\,dx$.
6. Calculez $\int_0^1\frac{dx}{(x^2+9)^{3/2}}$ par substitution trigonométrique.
7. Trouvez $\int\frac{x^2+1}{x^2+4}\,dx$. Simplifiez d’abord la fonction rationnelle et expliquez la formule de primitive utilisée pour la fraction restante.
8. Trouvez l’aire entre $y=x^2$ et $y=1$, pour $0\le x\le2$. Comparez-la à $\int_0^2(1-x^2)\,dx$.
9. Faites tourner la région $0\le x\le1$, $0\le y\le x$ autour de $y=3$. Trouvez son volume par la méthode des rondelles.