Moment cinétique : choisir le système, l’axe et l’intervalle

Avant de commencer

Vous utiliserez les nombres signés, les composantes de vecteurs et le bras de levier perpendiculaire d’une force. Si le bras de levier vous pose problème, revoyez le moment d’une force et l’équilibre statique. Pour le moment d’inertie et l’énergie cinétique de rotation, consultez les définitions de la leçon sur la poulie en rotation. Ici, ces notions servent à étudier le passage d’un état à un autre, sans reprendre tout le calcul de la poulie.

Les principales grandeurs sont :

• Le moment cinétique selon l’axe choisi : $L_z$, en $\mathrm{kg\cdot m^2/s}$.
• La somme des moments des forces extérieures selon ce même axe : $\sum\tau_{\mathrm{ext},z}$, en $\mathrm{N\cdot m}$.
• Le moment d’inertie autour de cet axe : $I_z$, en $\mathrm{kg\cdot m^2}$.
• La vitesse angulaire signée : $\omega$, en $\mathrm{rad/s}$.

Le moment d’une force fait varier le moment cinétique. Ces grandeurs sont distinctes et n’ont pas les mêmes unités.

1. Nommer le système et tracer l’axe

Supposons qu’un petit morceau de pâte frappe un disque et y reste collé. Pour le choc, choisissez disque et pâte comme système, de l’instant juste avant le contact à celui où les deux tournent ensemble. Les forces de contact entre la pâte et le disque sont alors internes. Elles redistribuent le moment cinétique dans le système.

Choisissez l’axe vertical fixe passant par le centre du disque comme axe $z$. Indiquez que le sens antihoraire est positif. Tous les moments cinétiques et moments de force du calcul doivent se rapporter à ce même axe.

Un axe de support idéal peut exercer une force extérieure sans exercer de moment autour de son propre axe. Dans ce modèle, la gravité et les forces de support verticales ont aussi une composante de moment nulle selon l’axe vertical. Le moment de frottement du palier doit être négligeable pour justifier l’approximation de conservation.

Cela ne permet pas de conclure que la quantité de mouvement totale se conserve : le support peut fournir une impulsion de force extérieure. Cela ne permet pas non plus de conserver l’énergie cinétique : lorsque la pâte colle, de l’énergie cinétique peut devenir déformation, chaleur et son.

Arrêtez-vous un instant : si le système comprend seulement le disque, la force de contact de la pâte est-elle interne? Non. Elle provient de l’extérieur de ce système plus petit et fait varier le moment cinétique du disque.

2. Commencer par l’impulsion angulaire

Pour le système choisi et l’axe fixe,

Entre $t_i$ et $t_f$,

La grandeur $J_{\tau,z}$ est l’impulsion angulaire extérieure. Si la somme des moments extérieurs est constante, l’intégrale devient simplement

Si l’impulsion angulaire extérieure est nulle, les moments cinétiques initial et final sont égaux. Si la somme des moments extérieurs est nulle à chaque instant, le moment cinétique reste constant pendant tout l’intervalle. Des impulsions angulaires opposées peuvent produire des valeurs initiale et finale égales, même si le moment cinétique varie entre les deux.

Pour une approximation, vérifiez que l’impulsion angulaire extérieure est petite par rapport aux moments cinétiques pertinents dans le problème. Un choc bref ne suffit pas : un dispositif de blocage ou un moteur pourrait exercer un grand moment de force pendant cette courte durée.

Nous utilisons seulement la composante selon $z$. Un moment extérieur nul autour de $z$ permet de conserver $L_z$, sans nécessairement conserver toutes les composantes du vecteur moment cinétique.

Exemple : une roue ralentit sous un moment de force

Une roue a un moment d’inertie constant $I_z=0{,}25\,\mathrm{kg\cdot m^2}$ et tourne initialement à $\omega_i=+4{,}0\,\mathrm{rad/s}$. Un moment extérieur résultant constant de $-0{,}30\,\mathrm{N\cdot m}$ agit pendant $2{,}0\,\mathrm s$. Trouvez la vitesse angulaire finale.

Calculez d’abord le moment cinétique initial et l’impulsion angulaire :

Puisque $\mathrm{N\cdot m\cdot s}=\mathrm{kg\cdot m^2/s}$, ces grandeurs peuvent s’additionner :

La roue tourne encore dans le sens antihoraire, mais moins vite. Le moment de force négatif réduit un moment cinétique positif; il n’inverse pas immédiatement la rotation. Pour vérifier, $\alpha=\tau_z/I_z=-1{,}2\,\mathrm{rad/s^2}$, donc $\omega_f=4{,}0+(-1{,}2)(2{,}0)=1{,}6\,\mathrm{rad/s}$.

3. Calculer le moment cinétique avant de choisir une formule

Pour une particule ponctuelle, avec une origine fixe située sur l’axe choisi,

Dans le plan horizontal $xy$, la composante signée vaut

Sa grandeur est $rmv\sin\theta$, où $\theta$ est l’angle entre $\mathbf r$ et $\mathbf v$. On peut aussi écrire $mvb$, où $b$ est la distance perpendiculaire entre l’axe et la droite portant la vitesse de la particule. Le signe vient du sens de $\mathbf r\times\mathbf v$.

La formule $mvR$ correspond à un cas particulier : la vitesse est tangente au cercle de rayon $R$, donc perpendiculaire à $\mathbf r$. Une composante de vitesse radiale ne contribue pas au moment cinétique selon cet axe. Une particule peut avoir un moment cinétique même si elle se déplace en ligne droite.

Pour un objet rigide en rotation autour de l’axe fixe $z$,

Il s’agit de la composante selon l’axe de rotation. Nous ne supposons pas que les vecteurs complets $\mathbf L$ et $\boldsymbol\omega$ sont parallèles pour tout objet possible en trois dimensions.

Vérification rapide : une particule suit une droite qui passe directement par l’axe. Quel est son moment cinétique selon cet axe? Zéro, puisque la distance perpendiculaire est nulle.

4. Quand la répartition de la masse change

Si l’impulsion angulaire extérieure totale est négligeable et que les états initial et final correspondent chacun à une rotation commune autour du même axe, alors

Le moment d’inertie décrit la répartition de la masse par rapport à l’axe. Pour des masses ponctuelles, chaque contribution vaut $mr^2$. Rapprocher une masse de l’axe réduit sa contribution, même si la masse totale reste inchangée.

Exemple : rapprocher la masse de l’axe

Un appareil en rotation, mécanisme interne compris, a $I_i=0{,}60\,\mathrm{kg\cdot m^2}$ et $\omega_i=+2{,}0\,\mathrm{rad/s}$. Le mécanisme ramène de la masse vers l’axe, de sorte que $I_f=0{,}24\,\mathrm{kg\cdot m^2}$. Négligez les moments extérieurs autour de l’axe fixe. Aux deux états comparés, les pièces tournent ensemble et n’ont aucune vitesse radiale.

Vérifiez le produit : $(0{,}24)(5{,}0)=1{,}20$. L’appareil tourne plus vite parce qu’il possède le même moment cinétique avec un plus petit moment d’inertie.

Vérifiez maintenant les énergies cinétiques des deux états :

L’énergie cinétique de rotation augmente de $1{,}80\,\mathrm J$. Le mécanisme interne fournit de l’énergie en déplaçant la masse. Pour un mécanisme sans pertes, sans autre variation d’énergie entre les états comparés, son énergie stockée diminue de $1{,}80\,\mathrm J$; des pertes exigeraient un apport supérieur. Un moment extérieur nul n’impose pas une énergie cinétique constante.

Pour une rotation commune autour du même axe, sans autre mouvement dans les états comparés, remplacez $\omega$ par $L_z/I_z$ :

À $L_z$ non nul fixé, un plus petit $I_z$ correspond à une plus grande énergie cinétique de rotation. Cette formule appliquée aux états comparés n’inclut pas l’énergie cinétique radiale pendant le déplacement vers l’axe.

5. Un morceau de pâte colle à un disque

Un disque horizontal est initialement immobile. Son moment d’inertie autour d’un axe vertical fixe vaut $I_d=0{,}40\,\mathrm{kg\cdot m^2}$. Un petit morceau de pâte de masse $m=0{,}20\,\mathrm{kg}$ se déplace horizontalement à $v=3{,}0\,\mathrm{m/s}$, frappe tangentiellement à $R=0{,}50\,\mathrm m$ et reste collé à cette distance de l’axe.

Modélisez la pâte comme une masse ponctuelle. Choisissez un sens d’arrivée qui donne un moment cinétique positif. Négligez l’impulsion angulaire extérieure autour de l’axe pendant le choc. Trouvez la vitesse angulaire commune, puis comparez les énergies cinétiques initiale et finale.

Étape 1 : garder le même système

Le système comprend disque et pâte, y compris la pâte avant son contact avec le disque. L’intervalle va de l’instant juste avant le contact à celui où ils tournent ensemble. Leur interaction est interne. Le support maintient le centre fixe, mais n’exerce aucun moment autour de son propre axe idéal sans frottement.

Étape 2 : calculer le moment cinétique initial

Le disque ne contribue pas au départ puisqu’il est immobile. La vitesse d’arrivée est tangente, donc

Étape 3 : inclure la pâte dans le moment d’inertie final

Le rayon est au carré dans le moment d’inertie de la masse ponctuelle. Le moment cinétique d’arrivée contient une seule puissance de la distance perpendiculaire.

Étape 4 : utiliser le bilan de moment cinétique

La vérification donne $(0{,}45)(2/3)=0{,}30\,\mathrm{kg\cdot m^2/s}$. Le signe positif correspond au moment cinétique d’arrivée.

Étape 5 : calculer l’énergie séparément

Avant le contact, seule la pâte possède de l’énergie cinétique :

Après le contact, les deux tournent ensemble :

L’énergie cinétique du système diminue de $0{,}80\,\mathrm J$. Le choc avec collage est inélastique : de l’énergie devient déformation interne, chaleur et son. L’énergie totale reste comptabilisée, mais l’énergie cinétique seule ne se conserve pas.

Pour ce modèle de disque initialement immobile frappé tangentiellement,

Ici, le rapport vaut $0{,}05/0{,}45=1/9$, ce qui correspond à $0{,}10/0{,}90$. Ce rapport appartient au modèle décrit; un disque déjà en rotation ou un choc non tangentiel exige un nouveau bilan.

Et si le disque tourne déjà?

Ajoutez son moment cinétique initial avec le bon signe :

Avec notre convention, les contributions horaires sont négatives. Une contribution initiale horaire assez grande peut produire une rotation finale horaire, même si la pâte arrive avec un moment cinétique positif. Si l’impulsion angulaire extérieure est non nulle, incluez-la au lieu de déclarer la conservation.

6. Choisir un bilan pour chaque intervalle

Un choc sans frottement au palier et un freinage ultérieur sont deux intervalles distincts. Vous pouvez conserver $L_z$ pendant le choc, puis utiliser $\Delta L_z=J_{\tau,z}$ pendant le freinage. La vitesse angulaire finale du choc devient la vitesse initiale du freinage.

Avant de calculer, écrivez ces quatre lignes :

1. Système : quels objets sont inclus avant et après?
2. Axe et signe : quel axe fixe, et quel sens de rotation est positif?
3. Intervalle et impulsion angulaire extérieure : qu’est-ce qui agit pendant ce changement précis?
4. Vérifications séparées : les unités, le signe et la comparaison d’énergie sont-ils cohérents?

Si la géométrie vous pose problème, revenez à la leçon sur le bras de levier. Pour choisir entre les méthodes de forces, d’énergie et de quantité de mouvement, consultez travail, énergie ou quantité de mouvement.

Essayer sans la solution

Les six exercices sur le moment cinétique passent du choix du système à une particule non tangentielle, à l’impulsion angulaire, au changement d’inertie, au collage sur un disque et à un choc avec moment extérieur. Chaque exercice propose un indice, une solution expliquée et un lien vers l’étape à revoir.

Apportez votre schéma et votre premier bilan au tutorat de mécanique à Ahuntsic ou au tutorat de mécanique à Vanier. Un tuteur peut vérifier avec vous le système, l’axe et la condition de conservation avant de revoir les calculs. Les séances sont offertes en anglais.

Références de cours et de physique

La description du 203-SN1-RE d’Ahuntsic nomme la conservation du moment cinétique. La liste des cours du programme de Vanier identifie Mechanics par le code 203SN1RE, et le wiki de physique du département comprend des ressources sur le moment cinétique. Ces références établissent la pertinence du sujet, sans confirmer la matière d’une évaluation particulière.

Pour une autre présentation de la physique, consultez les sections OpenStax sur le moment cinétique et sa conservation, en anglais. Les exemples et exercices de ce parcours ont été rédigés pour cette leçon.